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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Magique

° Carré magique. – Grille carrée d'ordre n dans laquelle les n2 cases ou cellules contiennent des nombres disposés de telle manière que leur somme est toujours la même sur chaque ligne, dans chaque colonne et dans chacune des deux diagonales principales. Cette somme est appelée densité.

L'appellation carré magique a été introduite par Simon de La Loubère en 1691. Auparavant, seuls les entiers consécutifs de 1 à n2 étaient considérés dans la formation des carrés magiques. On appelle carré magique normal, la figure formée par ces entiers. 

Plusieurs auteurs parlent de carré magique dans son sens original ; d'autres élargissent cette notion à tout ensemble de nombres réels. Moschopoulos, un écrivain de Constantinople né vers 1265, s'intéressa aux carrés magiques. Blaise Pascal (1623-1662) a écrit un traité sur les carrés magiques Traité des nombres magiquement magiques qu’il a adressé à l’Académie des Sciences en 1654. 

Il existe plusieurs procédés de formation de carrés magiques. On connaît notamment le procédé des diagonales, celui du cheminement cyclique et celui de la méthode indienne

Voici six carrés magiques d’ordre 5  et un autre d’ordre 18 :

n Il est composé de cinq nombres de 1 à 5 et sa densité est 15.

2

5

3

1

4

3

1

4

2

5

4

2

5

3

1

5

3

1

4

2

1

4

2

5

3

n Il est composé de nombres décimaux et sa densité est 6,5.

2,4

0,2

1

1,3

1,6

1,5

1,8

2,1

0,4

0,7

0,1

0,9

1,2

2

2,3

1,7

2,5

0,3

0,6

1,4

0,8

1,1

1,9

2,2

0,5

n Son médian est 0 et sa densité aussi 0.

-3

5

-12

1

9

-2

11

-6

7

-10

4

-8

0

8

-4

10

-7

6

-11

2

-9

-1

12

-5

3

n Il est composé de 25 éléments dont certains apparaissent plus d’une fois et sa densité est 55.

6

15

15

7

14

1

18

10

17

9

21

13

5

12

4

16

8

15

7

9

11

3

10

12

19

n Il est composé des nombres de 21 à 46 et sa densité est 165.

30

37

24

31

43

22

34

41

28

40

44

26

38

25

32

36

23

35

42

29

33

45

27

39

21

n Il est composé des nombres de 1 à 100 en base 5 et sa densité est 230 en base 5.

32

44

1

13

30

43

10

12

24

31

4

11

23

40

42

20

22

34

41

3

21

33

100

2

14

n Ce carré magique est dû à W. S. Andrews en 1917. Il est le seul connu qui est composé de la période d’un nombre cyclique. Sur la première ligne, on y trouve la période de 1/19, sur la deuxième ligne la période de 2/19 et ainsi de suite jusqu'à la 18e ligne qui contient la période de 18/19.

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

Le carré magique est d’ordre 18. Sa densité est 81. Les classes de carrés magiques mentionnées dans ce dictionnaire sont :

Algébrique (Carré)

Alphamagique (Carré)

Arithmétique (Carré magique)

Arithmo-géométrique (Carré magique)

Associé (Carré magique)

Bimagique (Carré)

Bordures (Carré magique à)

Cabalistique (Carré)

Châssis (Carré magique à)

Compartiments (Carré magique à )

Composé (Carré magique)

Croix (Carré magique à)

Curieux (Carré magique)

Dentelé (Carré)

Diabolique (Carré)

Frénicle (Carré de)

Général (Treillis magique)

Géométrique (Carré magique)

Gnomonique (Carré magique)

Homogène (Carré magique)

Littéral (Carré magique)

Magico-magique (Carré)

Multimagique (Carré)

Normal (Carré magique)

Pentamagique (Carré)

Premier (Carré magique)

Renversé (Carré magique)

Réversible (Carré magique)

Semi-diabolique (Carré)

Semi-géométrique (Carré)

Semi-magique (Carré)

Simple (Carré magique)

Surtruqué (Carré)

Tétramagique (Carré)

Trimagique (Carré)

Troué (Carré magique)

 

La théorie des carrés magiques offre trois champs de recherche : la construction, le dénombrement et la classification. On peut composer une variété de récréations avec du matériel de manipulation en ajoutant, en modifiant ou en retranchant des conditions. 

Deux carrés magiques peuvent être dits équivalents ou différents. Le carré magique appartient à la classe des treillis magiques. 

Pour la recherche
[Deutsch : magisches Quadrat] [English : magic square] [Español : cuadrado mágico] [Français : carré magique] [Italiano : quadrato magico] [Português : quadrado mágico]

© Charles-É. Jean

Index : M

Voir aussi Carré magique dans l'Aide-mémoire

 

 

Pour en savoir plus, consultez les articles suivants de l'auteur : 

Carrés magiques à compartiments

Carrés magiques d'ordre 3

Carrés magiques d'ordre 4

Carrés magiques d'ordre 5

Carrés magiques d'ordre 6

Une nouvelle approche pour la construction de carrés magiques d’ordre 5 

Les treillis magiques

 

Consultez aussi les livres

Initiation aux carrés magiques

Secrets des carrés magiques d'ordre 3