Géométrique

° Carré magique géométrique – Carré dans lequel le produit des éléments de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale est identique. Par extension, ce produit est appelé densité. Il n'existe pas de carré magique géométrique formé des entiers naturels consécutifs à partir de l'unité. 

Le carré magique d'ordre 3 ci-dessous est formé par les puissances consécutives de 2 à partir de 1. Sa densité est 4096. 

Le carré suivant est le carré magique géométrique d'ordre 3 ayant la plus petite densité et comprenant des entiers différents. Sa densité est 216. 

Celui-ci est un carré magique géométrique diabolique d’ordre 4. Sa densité est 46 656. De plus, le produit des éléments de chaque section carrée de quatre cellules est égal à la densité.

Formation de carrés magiques géométriques
1. On peut former des carrés magiques géométriques à partir de carrés magiques arithmétiques. On prend le premier carré magique ci-dessous qui est arithmétique et on considère l’élément comme la puissance d’une même base. Le deuxième carré montre cette situation, et le troisième le résultat final.

2. On peut former un carré magique géométrique d’ordre 3 à partir d’un seul nombre. On écrit, par exemple, 6 au centre. La densité sera 6³ ou 216. On recherche les paires de nombres dont le produit est 6² ou 36. Les possibilités sont : (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9), (6, 6). On choisit deux paires et on les place chacune sur une diagonale. On complète chaque ligne ou colonne périphérique. Voici un exemple :

3. On peut former un carré magique géométrique d’ordre 4 en définissant quatre quadruplets de termes ayant entre eux des rapports horizontalement et verticalement. Par exemple, on commence par choisir trois nombres, comme 2, 3 et 4. Le quatrième nombre est (3 ´ 4)/2 = 6. On multiplie le premier quadruplet (2, 3, 4, 6) successivement par 3, 9 et 27. On obtient : (6, 9, 12, 18), (18, 27, 36, 54), (54, 81, 108, 162). On choisit un carré diabolique normal comme ci-après à gauche. On inscrit les termes trouvés dans le même ordre.

Le premier carré est le numéro 177 de l’index de Frénicle. Sa densité est 34. Le second carré est un carré magique géométrique dont la densité est 104 976.

4. On peut former un carré magique géométrique d’ordre 4 à partir de deux carrés latins. On choisit, par exemple, les nombres 0, 1, 2 et 3 qui jouent le rôle d’exposants et on forme avec eux deux carrés latins diagonaux. Par la suite, on choisit 2 comme base pour le premier carré et 3 pour le second ; puis on multiplie les résultats. Voici un exemple :

Pour la première case, on fait 2⁰ ´ 3⁰ = 1 ; pour la deuxième case, 2² ´ 3² = 36 ; pour la troisième case, 2³ ´ 3³ = 216, etc. La densité du carré magique géométrique est 46 656. C’est probablement le plus petit carré magique géométrique d’ordre 4 composé de nombres différents.

Carrés magiques géométriques généraux
On peut former un carré magique général d’ordre 3 à partir de trois nombres pris au hasard. Soit a, b, c les trois nombres, on choisit, par exemple, a comme nombre de départ, b comme la raison de toute suite horizontale et c la raison de toute suite verticale. On peut écrire :

On choisit un des huit carrés magiques arithmétiques d’ordre 3 et on écrit les nombres dans le même ordre. Cela donne le carré magique géométrique général suivant :

Sa densité est a³b³c³. On n’a qu’à remplacer chaque variable par une valeur quelconque. Par exemple, si on suppose que a = 1, b = 2 et c = 3, on aura le carré magique géométrique suivant.

La densité de ce carré est 216.

Ce procédé peut être appliqué à tout carré d’ordre supérieur à 3. À titre d’exemple, pour un carré d’ordre 4, on établit les quatre suites.

On choisit un des 880 carrés magiques arithmétiques d’ordre 4 et on écrit les nombres dans  le même ordre. Cela donne le carré magique géométrique général suivant :

La densité du carré est a⁴b⁶c⁶. Le produit de chacun des carrés 2 ´ 2 des coins de même que de celui du centre est égal à la densité. Par exemple, si on suppose que a = 1, b = 2 et c = 3, on aura le carré magique géométrique suivant.

La densité de ce carré est 46 656.

Le carré magique géométrique se distingue du carré magique arithmétique en ce que l'opération sur les nombres est la multiplication au lieu de l'addition.