|
Diagonal
°
Carré latin diagonal. – Carré latin
d'ordre n dans lequel les n symboles de chaque diagonale
principale apparaissent une et une seule fois. Il n'existe pas de carré latin
diagonal d'ordre 3. Il existe six carrés latins diagonaux d'ordre 4, sans
compter ceux obtenus par rotation
ou par symétrie
orthogonale. Les éléments des quatre coins lus dans un même ordre donnent les
six permutations des quatre éléments.
Voici les six carrés latins diagonaux
d'ordre 4 :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
3 |
4 |
2 |
|
1 |
4 |
3 |
2 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
4 |
2 |
1 |
3 |
|
3 |
2 |
1 |
4 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
2 |
4 |
3 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
3 |
1 |
2 |
4 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
Les éléments du carré 2 ´ 2
central de chaque grille appartiennent à la même permutation que celle des
coins, mais dans le sens contraire.
Pour
former un carré latin diagonal d’ordre 4, on procède ainsi :
1.
On choisit une permutation des nombres de 1 à 4, par exemple 1, 3, 2, 4.
2.
On écrit cette permutation dans les quatre coins en tournant dans un sens
choisi.
3.
On écrit la même permutation dans le carré central 2 ´
2 en commençant par une des cases de la diagonale où apparaît le deuxième
élément. On obtient le carré de gauche.
4. On complète
chaque rangée avec des nombres différents.
On obtient le carré de droite.
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1 |
|
|
3 |
|
1 |
4 |
2 |
3 |
|
|
3 |
1 |
|
|
2 |
3 |
1 |
4 |
|
|
2 |
4 |
|
|
3 |
2 |
4 |
1 |
|
4 |
|
|
2 |
|
4 |
1 |
3 |
2 |
Il
existe 120 carrés latins diagonaux d’ordre 5. Voici les huit carrés latins
quand la première ligne est formée de 1, 2, 3, 4, 5 dans cet ordre :
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
2 |
5 |
4 |
1 |
3 |
|
5 |
3 |
4 |
1 |
2 |
|
2 |
4 |
5 |
3 |
1 |
|
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
5 |
1 |
|
4 |
5 |
2 |
3 |
1 |
|
5 |
3 |
2 |
1 |
4 |
|
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
4 |
1 |
3 |
2 |
|
2 |
4 |
1 |
5 |
3 |
|
3 |
1 |
4 |
5 |
2 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
|
3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
|
3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
|
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
|
5 |
3 |
1 |
2 |
4 |
|
3 |
5 |
2 |
1 |
4 |
|
4 |
5 |
2 |
3 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
|
2 |
5 |
4 |
3 |
1 |
|
5 |
1 |
4 |
3 |
2 |
|
5 |
3 |
4 |
1 |
2 |
|
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
4 |
1 |
2 |
5 |
3 |
|
4 |
3 |
5 |
2 |
1 |
|
3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
|
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
|
2 |
4 |
1 |
5 |
3 |
|
2 |
4 |
1 |
5 |
3 |
Dans les deux carrés latins diagonaux suivants d’ordre 7,
chaque ligne est formée par la suite des entiers de 1 à 7 en ordre croissant
et cyclique. La première ligne ne change pas. Les autres lignes proviennent de
la symétrie orthogonale par rapport à la droite qui sépare les lignes 4 et 5.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
2 |
|
6 |
7 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
5 |
6 |
7 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
2 |
3 |
|
7 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
|
7 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
2 |
3 |
|
5 |
6 |
7 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
6 |
7 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
2 |
Un carré latin diagonal formé de nombres est aussi magique.
Philippe de La Hire (1640-1718) a montré comment on peut former des carrés
magiques normaux en additionnant les
éléments correspondants de deux carrés latins. Voici deux exemples :
1. On forme deux carrés latins, de préférence diagonaux,
le premier avec les nombres de 1 à 4, le deuxième avec les nombres 0, 4, 8 et
12. On fait la somme des éléments correspondants, ce qui donne un carré
magique normal.
|
2 |
3 |
4 |
1 |
+
|
4 |
8 |
0 |
12 |
=
|
6 |
11 |
4 |
13 |
|
1 |
4 |
3 |
2 |
0 |
12 |
4 |
8 |
1 |
16 |
7 |
10 |
|
3 |
2 |
1 |
4 |
12 |
0 |
8 |
4 |
15 |
2 |
9 |
8 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
8 |
4 |
12 |
0 |
12 |
5 |
14 |
3 |
2. Chaque ligne du premier carré est formée des entiers de
1 à 5 dans l’ordre naturel, le 1 étant décalé de deux cases d’une ligne
à l’autre comme pour le saut du cavalier. Chaque ligne du deuxième carré
est formée de 0, 5, 20, 10, 15 dans cet ordre, le 0 étant décalé de trois
cases d’une ligne à l’autre. On fait la somme des éléments
correspondants, ce qui donne un carré magique normal.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
+
|
0 |
5 |
20 |
10 |
15 |
=
|
1 |
7 |
23 |
14 |
20 |
|
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
20 |
10 |
15 |
0 |
5 |
24 |
15 |
16 |
2 |
8 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
15 |
0 |
5 |
20 |
10 |
17 |
3 |
9 |
25 |
11 |
|
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
20 |
10 |
15 |
0 |
10 |
21 |
12 |
18 |
4 |
|
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
10 |
15 |
0 |
5 |
20 |
13 |
19 |
5 |
6 |
22 |
Méthode indienne
On peut former des carrés latins
diagonaux d’ordre impair en appliquant la méthode indienne.
On commence par poser le 1 au milieu de la première ligne. On écrit
des 1 en appliquant le saut du cavalier et en se déplaçant vers la
droite jusqu’à ce qu’on atteigne une case déjà occupée. Lorsque
le cavalier atteint une case en dehors du carré, on le ramène dans la
même ligne ou dans la même colonne en tenant compte du nombre de cases
dépassées. Quand la case devant être atteinte est occupée, on place
le nombre suivant sous le dernier écrit. On continue avec 2, 3, 4 et 5.
On obtient un carré latin diagonal d’ordre 5. Le voici :
|
2 |
4 |
1 |
3 |
5 |
|
3 |
5 |
2 |
4 |
1 |
|
4 |
1 |
3 |
5 |
2 |
|
5 |
2 |
4 |
1 |
3 |
|
1 |
3 |
5 |
2 |
4 |
Une façon plus simple serait d’écrire d’abord
les 1, puis, dans chaque colonne, de compléter la suite par 2, 3, 4, 5
dans cet ordre de haut en bas. Quand on atteint la case inférieure de
la colonne, on revient à la case supérieure de la même colonne.
Voici un exemple d’un carré
latin diagonal d’ordre 7 formé en appliquant la même méthode :
|
2 |
4 |
6 |
1 |
3 |
5 |
7 |
|
3 |
5 |
7 |
2 |
4 |
6 |
1 |
|
4 |
6 |
1 |
3 |
5 |
7 |
2 |
|
5 |
7 |
2 |
4 |
6 |
1 |
3 |
|
6 |
1 |
3 |
5 |
7 |
2 |
4 |
|
7 |
2 |
4 |
6 |
1 |
3 |
5 |
|
1 |
3 |
5 |
7 |
2 |
4 |
6 |
Le carré latin diagonal appartient à la classe des récréations combinatoires.
© Charles-É. Jean
Index
: D
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Voir aussi :
Carré latin antidiagonal
Carré gréco-latin
Carré latin inextensible
Carré latin normalisé
Carré
latin orthogonal
Carré latin pandiagonal
Carré latin régulier
Carré
latin symétrique
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