Dictionnaire de mathématiques récréatives Carré magique à bordures

Dictionnaire de mathématiques récréatives

Bordures

° Carré magique à bordures. – Carré magique d'ordre n qui peut être subdivisé en (n - 4)/2 carrés magiques lorsque n est pair et en (n - 3)/2 carrés magiques lorsque n est impair. Les carrés internes sont formés de façon concentrique. Leurs éléments appartiennent également à tous les plus grands carrés dont ils forment un sous-ensemble. Le plus petit carré magique interne est d'ordre 3 lorsque n est impair, et d'ordre 4 lorsque n est pair. Généralement, le plus grand carré magique est normal. Sa densité est alors n(n² + 1)/2. Celle de chacun des autres carrés de façon décroissante peut être trouvée en soustrayant successivement (n² + 1) du résultat précédent. Il existe des méthodes particulières de construction de carrés magiques à bordures. Le premier carré magique illustré est d'ordre 7. Sa densité est 175. Les densités des deux carrés internes sont 125 et 75. Le second carré magique illustré est d'ordre 8. Les densités des carrés d'ordres 8, 6 et 4 sont respectivement 260, 195 et 130.

40	7	9	21	8	44	46
5	31	32	14	13	35	45
22	33	48	1	26	17	28
27	30	3	25	47	20	23
38	16	24	49	2	34	12
39	15	18	36	37	19	11
4	43	41	29	42	6	10

46	21	22	23	24	39	40	45
28	56	12	11	14	47	55	37
29	49	64	2	3	61	16	36
31	17	5	59	58	8	48	34
33	13	57	7	6	60	52	32
35	50	4	62	63	1	15	30
38	10	53	54	51	18	9	27
20	44	43	42	41	26	25	19

Voici un carré magique à bordures d'ordre 11 :

116	1	2	3	4	5	110	109	108	107	106
115	97	21	22	23	24	92	91	90	89	7
114	96	82	37	38	39	78	77	76	26	8
113	95	81	71	49	50	68	67	41	27	9
112	94	80	70	64	57	62	52	42	28	10
11	29	43	53	59	61	63	69	79	93	111
17	34	47	56	60	65	58	66	75	88	105
18	35	48	55	73	72	54	51	74	87	104
19	36	46	85	84	83	44	45	40	86	103
20	33	101	100	99	98	30	31	32	25	102
16	121	120	119	118	117	12	13	14	15	6

Les densités de ces cinq carrés magiques sont données dans ce tableau.

Ordre	3	5	7	9	11
Densité	183	305	427	549	671
Facteur	61 × 3	61 × 5	61 × 7	61 × 9	61 × 11

Voici un carré magique à bordures d’ordre 25 :

613	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	600	599	598	597	596	595	594	593	592	591	590	589
612	566	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	554	553	552	551	550	549	548	547	546	545	544	14
611	565	523	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	512	511	510	509	508	507	506	505	504	503	61	15
610	564	522	484	133	134	135	136	137	138	139	140	141	474	473	472	471	470	469	468	467	466	104	62	16
609	563	521	483	449	169	170	171	172	173	174	175	176	440	439	438	437	436	435	434	433	143	105	63	17
608	562	520	482	448	418	201	202	203	204	205	206	207	410	409	408	407	406	405	404	178	144	106	64	18
607	561	519	481	447	417	391	229	230	231	232	233	234	384	383	382	381	380	379	209	179	145	107	65	19
606	560	518	480	446	416	390	368	253	254	255	256	257	362	361	360	359	358	236	210	180	146	108	66	20
605	559	517	479	445	415	389	367	349	273	274	275	276	344	343	342	341	259	237	211	181	147	109	67	21
604	558	516	478	444	414	388	366	348	334	289	290	291	330	329	328	278	260	238	212	182	148	110	68	22
603	557	515	477	443	413	387	365	347	333	323	301	302	320	319	293	279	261	239	213	183	149	111	69	23
602	556	514	476	442	412	386	364	346	332	322	316	309	314	304	294	280	262	240	214	184	150	112	70	24
25	71	113	151	185	215	241	263	281	295	305	311	313	315	321	331	345	363	385	411	441	475	513	555	601
38	83	124	161	194	223	248	269	286	299	308	312	317	310	318	327	340	357	378	403	432	465	502	543	588
39	84	125	162	195	224	249	270	287	300	307	325	324	306	303	326	339	356	377	402	431	464	501	542	587
40	85	126	163	196	225	250	271	288	298	337	336	335	296	297	292	338	355	376	401	430	463	500	541	586
41	86	127	164	197	226	251	272	285	353	352	351	350	282	283	284	277	354	375	400	429	462	499	540	585
42	87	128	165	198	227	252	268	373	372	371	370	369	264	265	266	267	258	374	399	428	461	498	539	584
43	88	129	166	199	228	247	397	396	395	394	393	392	242	243	244	245	246	235	398	427	460	497	538	583
44	89	130	167	200	222	425	424	423	422	421	420	419	216	217	218	219	220	221	208	426	459	496	537	582
45	90	131	168	193	457	456	455	454	453	452	451	450	186	187	188	189	190	191	192	177	458	495	536	581
46	91	132	160	493	492	491	490	489	488	487	486	485	152	153	154	155	156	157	158	159	142	494	535	580
47	92	123	533	532	531	530	529	528	527	526	525	524	114	115	116	117	118	119	120	121	122	103	534	579
48	82	577	576	575	574	573	572	571	570	569	568	567	72	73	74	75	76	77	78	79	80	81	60	578
37	625	624	623	622	621	620	619	618	617	616	615	614	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	13

Les deux derniers carrés magiques ont été construits selon un procédé dit en escaliers. Aussi appelé carré magique à enceintes ou carré magique concentrique.

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