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Ceci est le 25e article publié par Récréomath.


Carrés magiques d’ordre 6

Par Charles-É. Jean

Un carré est magique lorsque la somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chacune des deux diagonales est identique. Cette somme est appelée densité du carré magique. L’ordre du carré correspond au nombre d’éléments d’une ligne, d’une colonne ou d’une diagonale. Un carré d’ordre 6 contient 14 rangées de six éléments : six lignes, six colonnes et deux diagonales.

Les éléments utilisés pour former un carré magique d’ordre 6 sont les entiers consécutifs de 1 à 36. On parle alors de carré magique normal. Sa densité est 111.

Selon le mathématicien français, Jacques Ozanam (1640-1717), la construction de carrés magiques d’ordre pair n’est pas aussi facile que celle des carrés d’ordre impair. Il ajoute que parmi les carrés d’ordre pair la difficulté est plus grande lorsque l’ordre est impairement pair. C’est pourquoi, les carrés magiques d’ordre 6 font partie d’une classe spéciale par rapport aux difficultés de formation qu’ils engendrent. Peu d’études existent à leur sujet. Certains auteurs ont admis avoir fait des recherches mais avec un succès mitigé.

Sommaire

1. Procédé linéaire

2. Procédé de La Hire

3. Somme de deux carrés magiques

4. Procédé de Strachey

5. Dissection d’un carré magique

6. Carrés magiques à compartiments

7. Carrés magiques à bordures

8. Table d’addition

9. Un carré magique général

    Problèmes et solutions

1. Procédé linéaire
Pour former un carré magique d’ordre 4, on écrit les nombres de 1 à 16 et on intervertit les éléments dans chacune des deux diagonales. Nous allons nous inspirer de ce procédé, pour former des carrés magiques normaux d’ordre 6.

Dans une grille 6 ´ 6, on écrit les nombres de 1 à 36 dans l’ordre naturel comme ci-après.

1

2

3

4

5

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7

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10

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36

On permute les éléments de la deuxième ligne, puis ceux de la cinquième ligne. On obtient ceci.

1

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32

33

34

35

36

On permute les éléments de la deuxième colonne, puis ceux de la cinquième colonne. On obtient ceci.

1

32

3

4

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6

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29

10

9

26

7

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25

31

2

33

34

5

36

On permute les quatre éléments du milieu de la première ligne, ceux de la première colonne, les deux éléments du milieu de la deuxième ligne, les deux de la sixième ligne, les deux de la deuxième colonne, les deux de la sixième colonne. On obtient ceci.

1

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4

3

32

6

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27

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25

31

2

34

33

5

36

On intervertit les deux éléments extrêmes de la quatrième ligne, puis ceux de la troisième colonne. On obtient ce carré qui est magique.

1

35

34

3

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6

30

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9

10

26

7

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24

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11

28

27

8

25

31

2

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33

5

36

 

2. Procédé de La Hire
Philippe de La Hire (1640-1718) a indiqué un procédé qui permet de former des carrés magiques normaux en additionnant les éléments correspondants de deux carrés intermédiaires. On forme un carré magique avec les nombres de la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dans ce carré, on écrit d’abord les nombres de 1 à 6 dans les diagonales et cela dans les deux sens. On complète chaque ligne tout en plaçant les nombres complémentaires de façon symétrique. Les paires complémentaires sont (1, 6), (2, 5) et (3, 4). On s’assure que, dans chaque colonne, on retrouvera des triplets de nombres complémentaires. La somme de chaque ligne est 15 et celle des colonnes est 21. Voici le premier carré intermédiaire :

6

2

3

4

5

1

1

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3

4

2

6

1

2

4

3

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6

6

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4

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5

1

1

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3

2

6

6

5

3

4

2

1

On forme un deuxième carré en écrivant les nombres de la suite 0, 6, 12, 18, 24, 30 dans cet ordre et cela dans les deux diagonales. On poursuit avec des triplets de 0 et de 30 sur la première et la sixième ligne, des triplets de 6 et 24 sur la deuxième et la cinquième ligne, puis des triplets de 12 et de 18 sur la troisième et la quatrième ligne. La somme de chaque rangée est 90. Voici le deuxième carré intermédiaire :

0 30 0 30 30 0
6 6 24 24 6 24
18 12 12 12 18 18
12 18 18 18 12 12
24 24 6 6 24 6
30 0 30 0 0 30

On additionne les éléments homologues des deux carrés. On obtient ce carré magique.

6

32

3

34

35

1

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11

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8

30

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23

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18

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10

9

26

12

36

5

33

4

2

31

Ce carré magique apparaît sur le revers d’une médaille offerte à Louis XIV par Louis-Victor Marie, duc d’Aumont, au 17e siècle.

 

3. Somme deux carrés magiques
On forme un premier carré magique avec les nombres de 1 à 6. Chaque ligne est constituée des six nombres différents. Sur une même ligne, la somme des nombres de la première et de la dernière colonne est 7. Il en est de même de la deuxième et de la cinquième colonne, puis de la troisième et de la quatrième colonne. On s’assure que les diagonales sont constituées des six nombres différents. On peut obtenir ce carré dont la densité est 21.

4

2

1

6

5

3

3

2

6

1

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4

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6

1

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1

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4

3

2

1

6

5

4

4

5

1

6

2

3

On forme un second carré magique avec les nombres 0, 6, 12, 18, 24, 30. Chaque colonne est constituée des six nombres différents. Dans une même colonne, la somme des nombres de la première et de la dernière ligne est 30. Il en est de même de la deuxième et de la cinquième ligne, puis de la troisième et de la quatrième ligne. On s’assure que les diagonales soient constituées des six nombres différents. On peut obtenir ce carré dont la densité est 90.

0

30

30

0

30

0

24

24

6

6

24

6

18

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12

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18

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18

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18

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6

6

24

24

6

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30

0

0

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0

30

On additionne les deux carrés précédents. On obtient ce carré qui est magique et normal.

4

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3

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5

1

36

2

33

 

4. Procédé de Strachey
Ralph Strachey (1868-1923) a imaginé un procédé pour la formation de carrés magiques d’ordre 6. On partage la figure en quatre carrés d’ordre 3. Dans le carré supérieur gauche, on écrit les nombres de 1 à 9, dans le carré inférieur droit les nombres de 10 à 18, dans le carré supérieur droit les nombres de 19 à 27, dans le carré inférieur gauche les nombres de 28 à 36. Pour former les carrés magiques d’ordre 3, on applique le procédé qui a été expliqué en 3.5 dans Carrés magiques d'ordre 3. Cela donne ce carré qui n’est pas magique.

8

1

6

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19

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3

5

7

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2

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29

13

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11

Seules les colonnes montrent une somme de 111. Pour ajuster les lignes et les diagonales, on intervertit 8 et 35, 5 et 32, 4 et 31. On obtient alors ce carré qui est magique.

35

1

6

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24

3

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7

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23

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31

9

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8

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5

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16

4

36

29

13

18

11

 

5. À partir d’un carré magique
À partir d’un carré magique, il est possible de composer de nouveaux carrés magiques. Voici trois façons de le faire :

5.1 Par rotation
En faisant tourner les éléments d’un carré magique de 90, 180 ou 270 degrés autour du centre, on peut obtenir un autre carré magique qui est dit équivalent au premier. Soit le carré

4

32

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6

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1

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2

33

Le carré ci-après provient d’une rotation de 90 degrés dans le sens horaire à partir du carré magique précédent.

34

9

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5

8

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1

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11

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28

16

21

10

3

Les deux diagonales sont interverties.


5.2 Par symétrie axiale
Une façon de former un autre carré magique est de permuter ligne par ligne les éléments de la première et de la sixième colonne, ceux de la deuxième et de la cinquième colonne, puis ceux de la troisième et de la quatrième colonne. À partir du carré magique précédent, on obtient un autre carré magique qui est dit équivalent à celui qui l’a engendré.

4

27

22

15

9

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2

3

10

21

16

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33

Les deux diagonales sont interverties.


5.3 Pour une somme de 37
Soit le carré magique

1

35

34

3

32

6

30

29

9

10

26

7

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28

27

8

25

31

2

4

33

5

36

On soustrait de 37 chacun de ces éléments. On obtient :

36

2

3

34

5

31

7

8

28

27

11

30

18

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14

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16

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24

25

26

9

10

29

12

6

35

33

4

32

1

La somme des éléments des termes correspondants des deux carrés magiques précédents est 37.

 

6. Carrés magiques à compartiments
Un carré magique d’ordre n est à compartiments quand il est constitué d’un certain nombre de petits carrés magiques différents d’un même ordre sans qu’il y ait de vide et d’empiétement. Ces petits carrés magiques sont appelés compartiments.

Un carré d’ordre 6 peut être partagé en quatre compartiments d’ordre 3. Les densités des quatre compartiments doivent être égales. La somme des entiers consécutifs de 1 à 36 est 666. Pour que le carré soit magique, il faut que la somme des éléments de chaque compartiment soit 666 ÷ 4 = 166,5. Comme cela est impossible, il n’existe pas de carré magique normal d’ordre 6 formé de quatre compartiments d’ordre 3.

On peut toutefois composer des carrés magiques non normaux d’ordre 6 en s’assurant que le médian est le même dans chacun des quatre compartiments. La densité du carré magique d’ordre 6 est alors le double de celle des compartiments. Dans le carré ci-dessous, la densité des compartiments est 60 et celle du carré magique est 120. Le médian de chaque compartiment est 20.

23

16

21

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18

20

22

16

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8

23

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4

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26

12

20

28

17

32

11

16

36

8

 

7. Carrés magiques à bordures
Un carré magique à bordures d’ordre 6 est un carré magique qui est constitué d’un carré magique d’ordre 4 en son centre. La densité du carré interne peut varier. Toutefois, si le carré d’ordre 6 est normal, sa densité est 111.

Le carré interne doit contenir 16 éléments. On peut, par exemple, placer les nombres de 11 à 26 dans un tel carré. On commence par former un carré magique normal comme il est expliqué dans l’article : Carrés magiques d'ordre 4.

1

14

7

12

16

5

10

3

9

4

15

6

8

11

2

13

La densité de ce carré est 34. On additionne 10 à chacun des éléments. On obtient le carré interne ci-après dont la densité est 74.

Les bordures doivent contenir 20 éléments, soit les nombres de 1 à 10 et de 27 à 36. On fait des paires d’éléments dont la somme est 37 : (1, 36), (2, 35), (3, 34), (4, 33), etc. On place deux paires dans les coins, par exemple (1, 36) et (6, 35) comme il est montré.

1

 

 

 

 

6

 

11

24

17

22

 

 

26

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19

14

25

16

 

 

18

21

12

23

 

31

 

 

 

 

36

Sur la première ligne, on doit trouver quatre nombres dont la somme est 104. On choisit une combinaison, par exemple (5, 30, 34, 35). On place ces éléments sur la première ligne et leur complémentaire sur la dernière ligne dans la même colonne. Parmi les éléments qui restent, on choisit une combinaison dont la somme est 79 et on les place dans la première colonne. Cette combinaison est (8, 10, 28, 33). On place les complémentaires dans chaque ligne. On obtient ce carré.

1

5

30

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6

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21

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4

31

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7

3

2

36

 

8. Table d’addition
On peut construire des carrés magiques non normaux en générant les éléments par la table d’addition. Les nombres à additionner sont choisis horizontalement et verticalement de telle manière que chaque suite a une même raison. Voici une telle table dans laquelle la suite horizontale est 1, 3, 5, 7, 9, 11 et la suite verticale 2, 5, 8, 11, 14, 17 :

 

1

3

5

7

9

11

2

3

5

7

9

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6

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20

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26

28

On prend comme modèle un carré magique normal ou on adopte un procédé illustré précédemment. Voici un modèle :

4

27

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15

9

34

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17

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24

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30

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20

14

11

2

3

10

21

16

28

33

On lit les éléments de la table dans cet ordre : 3, 5, 7, 9, 11, 13, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 9, 11, etc. Le premier élément 3 qui provient de la table est mis à la place du 1 du modèle, le deuxième élément 5 est mis à la place du 2 du modèle, le troisième élément 7 est mis à la place du 3 du modèle et ainsi de suite. Voici ce carré magique dont la densité est 93 :

9

19

18

13

10

24

20

17

17

20

8

11

18

16

19

22

15

3

13

6

9

12

25

28

26

23

14

11

14

5

7

12

16

15

21

22

 

9. Un carré magique général
Un carré magique général est un carré composé de lettres qui permettent la formation de carrés magiques par l’attribution d’une valeur arbitraire à chaque lettre. On peut procéder ainsi.

On forme un premier carré magique comme ci-après avec la suite : a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a. La densité du carré magique est 21a.

2a

3a

2a

5a

4a

5a

6a

3a

6a

a

4a

a

3a

5a

6a

5a

a

a

4a

6a

2a

a

2a

6a

2a

a

3a

4a

6a

5a

4a

3a

2a

5a

4a

3a

On forme un second carré magique avec la suite : 0, b, 2b, 3b, 4b, 5b. La densité du carré magique est 15b.

0

4b

3b

3b

4b

b

4b

3b

0

b

2b

5b

2b

0

5b

5b

0

3b

3b

b

4b

4b

b

2b

5b

2b

b

0

3b

4b

b

5b

2b

2b

5b

0

On additionne les deux carrés magiques. On obtient ce carré magique général dont la densité est (21a + 15b).

2a

3a + 4b

2a + 3b

5a + 3b

4a + 4b

5a + b

6a + 4b

3a + 3b

6a

a + b

4a + 2b

a + 5b

3a + 2b

5a

6a + 5b

5a + 5b

a

a + 3b

4a + 3b

6a + b

2a + 4b

a + 4b

2a + b

6a + 2b

2a + 5b

a + 2b

3a + b

4a

6a + 3b

5a + 4b

4a + b

3a + 5b

2a + 2b

5a + 2b

4a + 5b

3a

Si a = 1 et b = 6, on aura un carré magique normal. Le voici :

2

27

20

23

28

11

30

21

6

7

16

31

15

5

36

35

1

19

22

12

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25

8

18

32

13

9

4

24

29

10

33

14

17

34

3

En donnant toute autre valeur à a et à b, on obtiendra d’autres carrés magiques. Par exemple, si a = 2 et b = 3, on aura ce carré magique dont la densité est 87.

4

18

13

19

20

13

24

15

12

5

14

17

12

10

27

25

2

11

17

15

16

14

7

18

19

8

9

8

21

22

11

21

10

16

23

6

 

Problèmes
Vous voulez relever des défis. Amusez-vous à résoudre ces problèmes. Les solutions sont données à la fin.

Problème 1. Complétez la figure suivante pour obtenir un carré magique normal.

1

32

34

3

35

6

12

8

28

27

11

25

19

23

15

16

14

24

           
           
           


Problème 2. Complétez la figure suivante pour former un carré magique normal.

2

 

 

 

 

7

 

11

 

 

25

 

 

 

21

15

 

 

 

 

20

18

 

 

 

14

 

 

24

 

30

 

 

 

 

35


Problème 3. Complétez la figure suivante pour former un carré magique normal.

 

 

16

15

 

 

 

 

23

21

 

 

18

35

 

 

20

17

1

24

 

 

32

2

 

 

34

33

 

 

 

 

4

3

 

 


Problème 4. Soit le carré magique

30

0

0

30

0

30

6

6

24

24

6

24

12

18

18

18

12

12

18

12

12

12

18

18

24

24

6

6

24

6

0

30

30

0

30

0

Composez un carré magique avec les nombres de 1 à 6 de telle manière que si on additionne ce carré au précédent, on obtient un carré magique normal.


Problème 5. Formez un carré magique à bordures d’ordre 6 avec les nombres impairs de 1 à 71.


Problème 6. Formez un carré magique à compartiments d’ordre 6 lorsque la densité de chacun des quatre carrés magiques est 75.


Problème 7. En vous basant sur le procédé de Strachey, formez un carré magique d’ordre 6 avec les nombres pairs consécutifs dont le plus petit est 10.

 

* * * * *

Solutions

Solution 1. La densité d’un carré magique normal est 111. Voici le carré complété :

1

32

34

3

35

6

12

8

28

27

11

25

19

23

15

16

14

24

18

17

21

22

20

13

30

26

9

10

29

7

31

5

4

33

2

36


Solution 2. La densité est 111. On complète les bordures pour que la somme dans chaque rangée horizontale ou verticale soit 37. Voici le carré complété :

2

36

31

27

8

7

34

11

16

22

25

3

32

26

21

15

12

5

9

23

20

18

13

28

4

14

17

19

24

33

30

1

6

10

29

35


Solution 3. La densité est 111. Voici le carré complété :

19

8

16

15

28

25

27

5

23

21

6

29

18

35

12

9

20

17

1

24

22

30

32

2

10

13

34

33

14

7

36

26

4

3

11

31


Solution 4. Le carré magique formé avec les nombres de 1 à 6 peut être :

3

5

6

1

2

4

4

5

1

6

2

3

3

2

1

6

5

4

4

2

1

6

5

3

4

5

6

1

2

3

3

2

6

1

5

4

Le carré magique qui en découle est :

33

5

6

31

2

34

10

11

25

30

8

27

15

20

19

24

17

16

22

14

13

18

23

21

28

29

12

7

26

9

3

32

36

1

35

4


Solution 5. La densité du carré interne doit être 144. Celle du grand carré doit être 216. Voici un carré magique à bordures :

1

9

59

67

69

11

15

21

47

33

43

57

19

51

29

39

25

53

55

37

27

49

31

17

65

35

41

23

45

7

61

63

13

5

3

71


Solution 6. La densité du carré magique est 150. Voici un carré magique à compartiments :

28

21

26

31

17

27

23

25

27

21

25

29

24

29

22

23

33

19

34

13

28

37

9

29

19

25

31

17

25

33

22

37

16

21

41

13


Solution 7. Voici un carré magique dont la densité est 270 :

78

10

20

60

46

56

14

72

22

50

54

58

70

26

12

52

62

48

24

64

74

42

28

38

68

18

76

32

36

40

16

80

66

34

44

30

FIN