Initiation aux carrés magiques, ch. 1

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Ceci est le huitième livre édité par Récréomath.

Initiation aux carrés magiques
Par Charles-É. Jean

* * * *

Chapitre 1. Généralités sur les carrés magiques (ci-après)

Chapitre 2. Carrés magiques d’ordre 3

Chapitre 3. Carrés magiques d’ordre 4

Chapitre 4. Carrés magiques d’ordre 5

Avant-propos

Les carrés magiques représentent un sujet important des mathématiques récréatives. Depuis les temps immémoriaux, des magiciens, des philosophes, des mathématiciens ont étudié les carrés magiques sous différents angles.

Certains y ont vu des signes cabalistiques qui porteraient le bonheur ou communiqueraient un pouvoir surnaturel ; d’autres y ont vu l’origine et la signification de la vie; d’autres enfin y voient des ramifications de nombres dont les liens intimes sont très puissants.

D’ailleurs, on a vite remarqué que les carrés magiques contiennent une leçon de grande valeur. Ils sont en effet un exemple consistant de la symétrie et de la régularité mathématique. On y décèle une harmonie et une consistance qui suggèrent l’image des lois de la nature.

Les carrés magiques, qui ont été enrichis par des recherches diversifiées, nous fournissent un matériel très riche. Dans cette perspective, la formation de carrés magiques peut s’intégrer de façon agréable à l’apprentissage de base des mathématiques.

L’étude des carrés magiques s’inscrit dans le cadre de plusieurs objectifs du programme de mathématiques. Citons-en quelques-uns.

1. Effectuer des opérations de base sur les nombres naturels, les entiers ou les fractions à l’aide de divers algorithmes.

2. Effectuer les opérations de base sur des expressions algébriques simples.

3. Repérer un objet sur une ligne et sur une surface.

4. Reproduire une figure plane à l’aide de transformations géométriques.

En même temps, cette étude se veut un complément d’informations sur un sujet qui peut être considéré comme une initiation à l’algèbre. Bref, nous pensons que les carrés magiques constituent un sujet d’enrichissement valable. Leur étude permet de :

1. Faire acquérir à l’élève un ensemble de connaissances fortement unifiées et développées à travers toute l’histoire des différentes cultures

2. Approfondir ou développer des notions mathématiques dans un environnement plus organique

3. Atteindre certains objectifs du programme avec une meilleure performance

4. Placer l’élève dans le contexte de résolutions de problème

5. Développer certains concepts et certaines habiletés

6. Initier l’élève à des courtes recherches

7. Développer un matériel où la créativité sera stimulée par des découvertes

Il existe de nombreuses classes de carrés magiques et de nombreux procédés pour les construire. Après avoir présenté quelques généralités, nous indiquons des procédés de formation de carrés magiques d’ordres 3, 4 et 5.

L’élève pourra raffermir ses connaissances et saisir la structure des carrés magiques en résolvant les 50 problèmes. Les uns sont liés directement aux explications données ; les autres débordent quelque peu du cadre de ce texte.

Bonne lecture !

***

Chapitre 1

Généralités sur les carrés magiques

* * * * * * * * * * *

L’invention des carrés magiques remonte apparemment à cinq mille ans avant l’ère chrétienne.

8

3

4

1

5

9

6

7

2

Ceci est le plus vieux carré magique qui nous soit parvenu. Connu sous le nom de lo shu, il remonte au temps de l’empereur chinois Ta-Yu, lequel régna de 2205 à 2198 avant l’ère chrétienne.

1.1 Formation d’un carré magique
Un carré est magique lorsque la somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale est identique. Les nombres sont appelés éléments du carré magique. La somme des éléments de chaque ligne, colonne ou diagonale est appelée densité du carré magique. Certains auteurs utilisent le terme somme magique ; d’autres emploient le terme constante.

Les éléments généralement utilisés pour former un carré magique sont les entiers consécutifs à partir de 1. On parle alors de carré magique normal. Cependant, nous élargirons la notion de carré magique à tout nombre réel.

L’ordre d’un carré correspond au nombre d’éléments d’une ligne, d’une colonne ou d’une diagonale. Un carré d’ordre 3 contient des rangées de trois éléments.

1.2 Éléments d’un carré magique
Un carré magique d’ordre n contient n² éléments. Par exemple, un carré magique d’ordre 5 est constitué de 25 nombres. Un ensemble de n² nombres choisis au hasard ne forme pas nécessairement un carré magique. C’est pourquoi, les éléments doivent être soigneusement choisis.
· Tout ensemble de n² nombres qui sont en progression arithmétique peut former un carré magique d’ordre n. Lorsque n = 3, on peut choisir, par exemple, la suite des nombres pairs de 4 à 20 : 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. La raison de la suite est 2. On peut former avec cette suite le carré magique ci-dessous dont la densité est 36.

18

4

14

8

12

16

10

20

6

· Tout ensemble de n² nombres constitué de n suites arithmétiques de n nombres et dont les n suites sont entre elles en progression arithmétique peut former un carré magique d’ordre n. Lorsque n = 4, on peut choisir, par exemple, l’ensemble suivant composé de quatre suites horizontales dont la raison est 2 et de quatre suites verticales dont la raison est 10. Voici les quatre suites :

2

4

6

8

12

14

16

18

22

24

26

28

32

34

36

38

Cet ensemble peut engendrer ce carré magique dont la densité est 80.

38

4

6

32

12

26

24

18

22

16

14

28

8

34

36

2

Le médian d’un carré magique d’ordre impair est la case centrale du carré, comme il est illustré dans ce carré d’ordre 3.

1.3 Calcul de la densité d’un carré magique
Sachant que n² éléments peuvent former un carré magique d’ordre n, il est possible de calculer la densité sans connaître la position des éléments dans le carré.

La densité d d’un carré magique d’ordre n est le quotient de la somme S des éléments et de l’ordre n du carré, c’est-à-dire : d = S/n. En effet, sur une même ligne (ou colonne), la somme des éléments est d. Comme il y a n lignes (ou colonnes), la somme S des n² éléments est nd. D’où S = nd et d = S/n.

Soit l’ensemble de neuf entiers : {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}. Le carré magique à former est d’ordre 3. La somme des éléments est 108. D’où, la densité est 108/3 = 36.

Problème 1
Les carrés suivants sont-ils des carrés magiques ? Si oui, indiquez la densité.

a)

2

3

3

2

b)

2,2

0,5

1,8

1,1

1,5

1,9

1,2

2,6

0,8

c)

2/3

-1/2

1/3

-1/6

1/6

1/2

0

5/6

-1/3

d)

18

-2

5

-6

7

20

9

16

-4

Les solutions sont données à la fin du chapitre.

Problème 2
Existe-t-il des carrés magiques d’ordre 2 dont les éléments sont différents ?

Problème 3
Les ensembles suivants peuvent-ils former un carré magique ?
a) {6, 11, 14, 16, 19, 22, 24, 27, 32}

b) {- 1/4, 0, 1/4, 7/4, 2, 9/4, 11/4, 3, 13/4}

c) {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19}

d) {1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10}

Problème 4
Calculez la densité des carrés magiques constitués par les ensembles suivants :

a) {3, 7, 10, 11, 14, 17, 18, 21, 25}

b) {1/4, 3/4, 5/4, 3/2, 2, 5/2, 11/4, 13/4, 15/4}

c) { -8, -7, -6, 1, 2, 3, 10, 11, 12}

d) {-18, -16, -14, -12, -8, -6, -4, -2, 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18}

Problème 5
Les nombres 13, 15, 17, 21, 23, 25 sont les éléments d’un carré magique.

a) Quels sont les nombres qui manquent pour former un carré magique d’ordre 3 ?

b) Quelle est la densité de ce carré ?

Problème 6
Soit la suite arithmétique 4, 9, 14, 19, 24, … En complétant la suite, on forme des carrés magiques de différents ordres. Trouvez la densité d’un carré magique

a) d’ordre 3

b) d’ordre 4

c) d’ordre 5

d) d’ordre 6

Voir Chapitre 2

Solutions des problèmes

Solution 1. a) Non

b) Oui. La densité est 4,5.

c) Oui. La densité est 1/2.

d) Oui. La densité est 21.

Solution 2. On ne peut pas former un tel carré magique.

Solution 3. a) Oui. Voici un exemple dans lequel la densité est 57 :

27

6

24

16

19

22

14

32

11

b) Non

c) Oui. Voici un exemple dans lequel la densité est 40 :

19

2

3

16

6

13

12

9

11

8

7

14

4

17

18

1

d) Non

Solution 4. a) La densité est 42. Voici un exemple de carré magique :

21

3

18

11

14

17

10

25

7

b) La densité est 6. Voici un exemple de carré magique :

13/4

1/4

5/2

5/4

2

11/4

3/2

15/4

3/4

c) La densité est 6. Voici un exemple de carré magique :

11

-8

3

-6

2

10

1

12

-7

d) La densité est 0. Voici un exemple de carré magique :

18

-16

-14

12

-8

6

4

-2

22

-4

-6

8

-12

14

16

-18

Solution 5. a) Les nombres qui manquent sont 5, 7, 9 ou 29, 31, 33

b) La densité est alors 45 ou 69.

Solution 6. a) La somme est 216. La densité est 72.

b) La somme est 664. La densité est 166.

c) La somme est 1600. La densité est 320.

d) La somme est 3294. La densité est 549.