Quand on demande à un élève de construire un carré magique avec les éléments donnés, la réaction initiale est parfois de placer les nombres à peu près au hasard. Cette démarche nécessite souvent beaucoup de temps et est parfois fastidieuse. Il est de bon aloi de se familiariser avec des procédés de formation.

2.1 Les essais systématiques
Il y a 362 880 possibilités d’inscrire les neuf éléments dans un carré d’ordre 3 sans exiger qu’il soit magique. On peut cependant réduire le nombre de possibilités en faisant la liste des combinaisons de trois nombres dont la somme est égale à la densité.

On forme un carré magique avec les entiers consécutifs de 3 à 11. La densité est alors 21. Les combinaisons possibles de trois nombres dont la somme est 21 sont : (3, 7, 11), (3, 8, 10), (4, 6, 11), (4, 7, 10), (4, 8, 9), (5, 6, 10), (5, 7, 9) et (6, 7, 8). Il existe donc huit combinaisons.

Connaissant ces combinaisons, on pourrait immédiatement tenter des essais. Toutefois, on simplifie le travail en établissant un tableau de fréquence des éléments c’est-à-dire en comptant le nombre de fois que chaque nombre apparaît dans les huit combinaisons. Par exemple, le 3 apparaît deux fois. Voici un tableau qui donne la fréquence en regard de chaque élément.

On pousse l’analyse plus loin en attribuant à chaque case du carré d’ordre 3 une cote d’utilité relative. En effet, chaque élément d’une case d’un coin est l’intersection de trois rangées, chaque élément central des cases périphériques est l’intersection de deux rangées et le médian l’intersection de quatre rangées. Le médian devient donc la case cible du carré. Voici la cote d’utilité relative pour chaque case :

On compare maintenant le tableau de fréquences avec celui des cotes d’utilité relative. Comme seul le 7 apparaît quatre fois dans les combinaisons, il est nécessairement le médian. Les éléments 4, 6, 8 et 10 apparaissent chacun trois fois. Ils sont donc dans les coins. On les place de façon à respecter la densité, puis on complète. Une disposition des nombres est :

2.2 Procédé des obliques
Soit à former un carré magique avec les nombres : 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11.

Première étape. Mise en ordre des éléments
Il faut d’abord s’assurer que ces neuf nombres peuvent former un carré magique. Pour cela, on les classe en trois suites dites horizontales qui ont la même raison. En même temps, il faut que les trois suites dites verticales aient une même raison. Dans le cas présent, on peut disposer les neuf nombres donnés pour qu’il y ait trois suites horizontales dont la raison est 2 et trois suites verticales dont la raison est 3. Voici une disposition :

On est alors certain que les neuf nombres peuvent former un carré magique. Dans ce cas, on écrit les nombres ligne par ligne dans l’ordre : 1, 3, 5, 4, 6, 8, 7, 9, 11. C’est une suite corrigée.

Deuxième étape. Distribution des éléments dans le carré
On a vu précédemment que la suite corrigée des nombres est : 1, 3, 5, 4, 6, 8, 7, 9, 11. On peut distribuer les nombres ainsi.

· Le premier nombre est placé au centre de la première ligne.

· Le deuxième nombre est placé sur la troisième ligne à droite.

· Le troisième nombre est placé sur la ligne du milieu à gauche.

· Le quatrième, le cinquième et le sixième nombre sont placés successivement sur la diagonale libre en commençant par le bas.

· Le septième, le huitième et le neuvième nombre sont placés respectivement dans une case vide sur la ligne du milieu, la première ligne et la troisième ligne.

Cela donne ce carré magique.

2.3 Déplacement des éléments
Un carré magique étant donné, lorsqu’on déplace les éléments par rotation autour d’un point ou par symétrie par rapport à un axe, on peut construire jusqu’à sept autres carrés magiques.

2.3.1 Par rotation
La rotation s’effectue d’abord à partir du carré de gauche ci-dessous. En faisant tourner de 90° ce carré autour du médian dans le sens horaire, on obtient la deuxième figure. En faisant tourner le deuxième carré de la même façon, on obtient la troisième figure et ainsi de suite. On obtient successivement :

Le dernier carré est identique au carré initial. Bref, à partir d’un carré magique, on peut par rotation obtenir trois autres carrés magiques.

2.3.2 Par symétrie axiale
On prend le carré magique initial ci-dessous.

On considère la deuxième rangée horizontale comme l’axe de symétrie. En intervertissant les éléments extrêmes de chaque colonne, on obtient cette figure.

On considère la deuxième rangée verticale comme l’axe de symétrie toujours à partir de la figure initiale. En intervertissant les éléments extrêmes de chaque ligne, on obtient cette figure.

On considère la diagonale qui contient 8, 5 et 2 comme l’axe de symétrie toujours à partir de la figure initiale. En intervertissant les nombres situés aux extrémités de chaque oblique, on obtient cette figure.

On considère la diagonale qui contient 6, 5 et 4 comme l’axe de symétrie. En intervertissant les nombres situés aux extrémités de chaque oblique, on obtient cette figure.

À partir d’un carré magique, on peut par symétrie obtenir quatre autres carrés magiques.

Il existe donc huit carrés magiques d’ordre 3 qui ont exactement les mêmes éléments. On dit que ces carrés magiques sont équivalents.

2.4 Opération sur les carrés magiques
On peut produire de nombreux carrés magiques en additionnant n’importe lequel nombre aux éléments d’un carré magique connu. Voici un exemple :

La densité du premier carré est 15 ; celle du second est 19,5. Il y a une différence de 4,5, soit 3 ´ 1,5, entre les densités des deux carrés.

Au lieu de l’addition, on peut utiliser la soustraction, la multiplication ou la division. Voici un exemple de division :

La densité du premier carré est 15 ; celle du second est 3,75. Il y a une différence de 11,25, soit 4 ´ 3,75, entre les densités des deux carrés.

De plus, on peut additionner ou soustraire deux carrés magiques. Cela donne un troisième carré magique. Voici un exemple d’addition :

La densité du premier carré est 15 ; celle du deuxième est 4,5 ; celle du troisième est 19,5. Si on soustrait les deux carrés au lieu de les additionner, on trouve ce nouveau carré magique dont la densité est 10,5 :

2.5 Un carré magique général
On demande maintenant l’aide de l’algèbre pour produire de nouveaux carrés magiques. Il doit sans doute exister un modèle qui s’applique aux figures connues. Combien ce modèle doit-il compter de variables au minimum ? Quelle est la relation entre les variables ?

Pour former un carré magique général, on peut procéder ainsi.

1. On pose d’abord a comme médian.

2. On complète une diagonale avec (a + b) et (a - b). La densité est alors 3a.

3. On complète l’autre diagonale avec a + c et a - c.

4. Enfin, on complète chaque rangée pour avoir 3a comme densité.

Maintenant, on donne des valeurs arbitraires à a, à b et à c. On aura chaque fois un nouveau carré magique. Par exemple, si a = 5, b = -3 et c = 10, on obtient :

2.6 Relation entre la densité et le médian
Il existe une relation entre la densité et le médian d’un carré magique d’ordre 3 ? En effet, la densité est égale au triple du médian. On peut le démontrer ainsi.

Soit le carré magique suivant et d la densité.

On écrit trois égalités.

r + v + z = d (diagonale de gauche)

s + v + y = d (deuxième colonne)

t + v + x = d (diagonale de droite)

On fait la somme des trois égalités en tenant compte du rang des variables.

On obtient : (r + s + t) + 3v + (z + y + x) = 3d

d + 3v + d = 3d

D’où, 3v = d

La densité est donc égale au triple du médian.

Corollaire : Le médian est le tiers de la densité d’un carré magique d’ordre 3.

Problème 7
Formez un carré magique d’ordre 3 constitué par l’ensemble des entiers consécutifs : 3, 4, 5, ..., 10, 11. Le 3 est en bonne position dans le carré.

Problème 13
a) À partir du carré ci-après, formez un autre carré magique en déplaçant les éléments par symétrie si l’axe est la diagonale qui contient 18.

Faites successivement les opérations indiquées à partir du dernier carré trouvé. Formez ainsi un autre carré magique.

a) Vous multipliez par 12.

b) Vous additionnez 39.

c) Vous divisez par 3.

d) Vous soustrayez 21.

Problème 17
Partez du carré magique ci-dessous.

Problème 19
Composez un carré magique général d’ordre 3 avec les variables x, y et z.