1^e Procédé de découpage d'une figure selon la représentation des marches d'un escalier, permettant la formation d'une autre figure en un seul trait de ciseaux ou de scie. Par exemple, on peut transformer un rectangle en un carré, à la condition que les côtés du rectangle soient dans le rapport des carrés de deux entiers consécutifs. Un rectangle 4 × 9, découpé tel qu’illustré, permet la formation d'un carré 6 × 6.

2^e Objet dont la construction par assemblage de cubes permet des récréations. Le nombre de cubes nécessaires pour construire un escalier de n marches correspond à un nombre triangulaire de rang n. Si deux escaliers atteignent le même sommet, le nombre de cubes est un nombre carré de rang n. Si trois escaliers atteignent le même sommet, le nombre de cubes est un nombre pentagonal de rang n. 

Plus généralement, le nombre de cubes nécessaires pour construire m escaliers de n marches atteignant le même sommet est un k-gonal où k correspond à (m + 2), m étant le nombre d'escaliers. Chaque escalier respectivement simple et double a quatre marches dans l’illustration suivante. Le premier est formé de 10 cubes, le deuxième de 16 cubes et, te troisième de 22 cubes.

3^e Procédé de construction de carrés magiques normaux d’ordre 2n + 1 qui consiste à partager le carré en secteurs par des lignes continues dont cinq en escaliers. Le partage se fait comme il est montré dans le carré ci-dessous.

1. On trace une droite verticale entre la colonne (n + 1) et la colonne (n + 2).

2. On trace deux droites horizontales et parallèles au-dessus et au-dessous de la ligne (n + 1).

3. On trace une ligne en escalier au-dessus de la diagonale de gauche, puis une autre au-dessous de cette diagonale dans le quadrant inférieur à droite.

4. On trace une ligne en escalier au-dessous de la diagonale de droite.

On écrit les entiers à la suite dans l’ordre indiqué en suivant le cycle des secteurs B, I, D, E, H, F. On commence par remplir la bordure périphérique du contour et on rejoint le centre bordure par bordure. Dans le dernier circuit, on fait B, I, E, F, puis E. Voici la première moitié du carré qui contient les entiers de 1 à 41 :

Pour l’autre moitié, on trouve le nombre complémentaire de chacun en soustrayant chaque élément de 82 (n² + 1). Par exemple, le complémentaire de 1 est 81, de 2 c’est 80, etc. Dans toute case symétrique par rapport au centre, on complète les diagonales avec chaque complémentaire. Puis, on complète les lignes par rapport à un axe vertical qui sépare le carré en deux parties congruentes ; on complète les colonnes par rapport à un axe horizontal qui sépare le carré en deux parties congruentes. Cela donne le carré magique suivant.

L’application de ce procédé produit un carré magique à bordures. Voici un carré magique d’ordre 13 dans lequel on trouve des carrés magiques d’ordres 3, 5, 7, 9 et 11 :

4^e L'escalier de Penrose est une figure impossible ; l'escalier de Schröder est une figure ambiguë. 

© Charles-É. Jean

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