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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Carré

° Nombre carré. – Nombre polygonal  qui est engendré par un carré. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers gnomoniques carrés. Le terme général est n2. Les cinq plus petits carrés peuvent être représentés ainsi :

Un nombre est carré si, lui ayant soustrait 1, le résultat est le produit de deux entiers dont la différence est 2. L’entier compris entre les deux facteurs est le rang du carré. Pour trouver son successeur, on lui additionne son rang et le rang suivant. Par exemple, 576 est un carré car 575 = 23 × 25. Il est de rang 24. Son successeur est 576 + (24 + 25) = 625. Voici un tableau qui contient les 99 plus petits carrés :

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

1

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

2

400

441

484

529

576

625

676

729

784

841

3

900

961

1024

1089

1156

1225

1296

1369

1444

1521

4

1600

1681

1764

1849

1936

2025

2116

2209

2304

2401

5

2500

2601

2704

2809

2916

3025

3136

3249

3364

3481

6

3600

3721

3844

3969

4096

4225

4356

4489

4624

4761

7

4900

5041

5184

5329

5476

5625

5776

5929

6084

6241

8

6400

6561

6724

6889

7056

7225

7396

7569

7744

7921

9

8100

8281

8464

8649

8836

9025

9216

9409

9604

9801

 

Voici 14 propriétés concernant les nombres de cette classe :

La période des unités des nombres successifs correspond à un palindrome de neuf chiffres, si on exclut le zéro : 149 656 941.

Les unités sont 0, 1, 4, 5, 6 et 9.

La somme des n premiers carrés est un pyramidal carré de rang n.

La somme de deux carrés successifs est un centré carré D2.

La différence de deux carrés successifs est un entier impair.

Tout carré est la différence de deux pyramidaux carrés successifs.

L'octuple d'un triangulaire augmenté de 1 est un carré. (Diophante)

La somme de deux triangulaires successifs est un carré.

Tout carré de rang n est la somme de n et de deux fois le triangulaire de rang (n - 1).

Tout entier est un carré ou est la somme de deux, trois ou quatre carrés. (Fermat)

Tout entier naturel, sauf de la forme (4n + 2), peut être exprimé comme la différence de deux carrés.

Tout carré auquel on soustrait 1 est un promèque de classe d = 2.

Deux fois la somme de deux carrés de rangs n et (n + 1) moins 1 est un carré de rang (2n + 1).

L’ensemble des carrés forme une suite arithmétique de degré 2.

Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la première ligne et celle de la troisième ligne sont identiques ; de même, la somme des carrés des éléments de la première colonne et celle de la troisième colonne sont identiques.

13

2

9

4

8

12

7

14

3

Les six plus petits nombres à la fois triangulaires et carrés sont : 1, 36, 1225, 41 616, 1 413 721 et 48 024 900. Les triangulaires sont successivement de rangs 1, 8, 49, 288, 1681 et 9800. Les carrés sont successivement de rangs 1, 6, 35, 204, 1189 et 6930. Sachant que 1 et 6 sont les deux plus petits rangs des carrés, on peut trouver chacun des successeurs en multipliant le rang précédent par 6 et en soustrayant le rang antérieur. On a ainsi : 6 × 6 - 1 = 35, 35 × 6 - 6 = 204, 204 × 6 - 35 = 1189, etc.

Le seul nombre supérieur à l'unité qui est à la fois carré et pyramidal carré est 4900. Ce résultat fut conjecturé par Édouard Lucas en 1875 et prouvé par G. N. Watson en 1918. Il existe seulement quatre carrés de quatre chiffres dont tous les chiffres sont pairs : 4624, 6084, 6400 et 8464. 

Certains chiffres peuvent être arrangés pour donner plus d’un carré. Par exemple, avec 1, 6 et 9, on peut composer 169 = 132,  196 = 142,  961 = 312 ; avec 1, 2, 6 et 9, on peut composer 1296 = 362, 2916 = 542 et 9216 = 962. Certains carrés peuvent être formés d'un autre carré auquel on ajoute des séquences de chiffres selon des règles déterminées, comme dans ces deux exemples :

16 = 42

1156 = 342

111 556 = 3342

49 = 72

4489 = 672

444 889 = 6672

Les nombres carrés sont des nombres figurés.  Sous sa forme arithmétique, un nombre carré est appelé carré parfait.

© Charles-É. Jean

Index : C

Aussi appelé nombre quadrangulaire.

 

 

 

 

 

 

Voir Carré