Carré
°
Nombre carré. –
Nombre
polygonal qui est engendré par un carré. Tout nombre de rang n
de cette classe est la somme des n premiers gnomoniques
carrés. Le terme général est n2.
Les cinq plus petits carrés peuvent être représentés ainsi :

Un nombre est carré si, lui ayant soustrait 1, le résultat
est le produit de deux entiers dont la différence est 2. L’entier compris
entre les deux facteurs est le rang du carré. Pour trouver son successeur, on
lui additionne son rang et le rang suivant. Par exemple, 576 est un carré
car 575 = 23 × 25. Il est de rang 24. Son successeur est 576 + (24 + 25) = 625.
Voici un tableau qui contient les 99 plus petits carrés :
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
1 |
100 |
121 |
144 |
169 |
196 |
225 |
256 |
289 |
324 |
361 |
2 |
400 |
441 |
484 |
529 |
576 |
625 |
676 |
729 |
784 |
841 |
3 |
900 |
961 |
1024 |
1089 |
1156 |
1225 |
1296 |
1369 |
1444 |
1521 |
4 |
1600 |
1681 |
1764 |
1849 |
1936 |
2025 |
2116 |
2209 |
2304 |
2401 |
5 |
2500 |
2601 |
2704 |
2809 |
2916 |
3025 |
3136 |
3249 |
3364 |
3481 |
6 |
3600 |
3721 |
3844 |
3969 |
4096 |
4225 |
4356 |
4489 |
4624 |
4761 |
7 |
4900 |
5041 |
5184 |
5329 |
5476 |
5625 |
5776 |
5929 |
6084 |
6241 |
8 |
6400 |
6561 |
6724 |
6889 |
7056 |
7225 |
7396 |
7569 |
7744 |
7921 |
9 |
8100 |
8281 |
8464 |
8649 |
8836 |
9025 |
9216 |
9409 |
9604 |
9801 |
Voici 14 propriétés concernant les nombres de cette classe :
La période des unités des nombres successifs correspond à un palindrome
de neuf chiffres, si on exclut le zéro : 149 656 941.
Les unités sont 0, 1, 4, 5, 6 et 9.
La somme des n premiers carrés est un pyramidal
carré de rang n.
La somme de deux carrés successifs est un centré
carré D2.
La différence de deux carrés successifs est un entier impair.
Tout carré est la différence de deux pyramidaux carrés successifs.
L'octuple d'un triangulaire
augmenté de 1 est un carré. (Diophante)
La somme de deux triangulaires successifs est un carré.
Tout carré de rang n est la somme de n et de deux fois le
triangulaire de rang (n - 1).
Tout entier est un carré ou est la somme de deux, trois ou quatre carrés.
(Fermat)
Tout entier naturel, sauf de la forme (4n + 2), peut être exprimé comme
la différence de deux carrés.
Tout carré auquel on soustrait 1 est un promèque
de classe d = 2.
Deux fois la somme de deux carrés de rangs n et (n + 1) moins 1
est un carré de rang (2n + 1).
L’ensemble des carrés forme une suite arithmétique
de degré 2.
Dans un carré magique
d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la première ligne et celle
de la troisième ligne sont identiques ; de même, la somme des carrés des
éléments de la première colonne et celle de la troisième colonne sont
identiques.
Les six plus petits nombres à la fois triangulaires et
carrés sont : 1, 36, 1225, 41 616, 1 413 721 et 48 024 900. Les triangulaires
sont successivement de rangs 1, 8, 49, 288, 1681 et 9800. Les carrés sont
successivement de rangs 1, 6, 35, 204, 1189 et 6930. Sachant que 1 et 6 sont les
deux plus petits rangs des carrés, on peut trouver chacun des successeurs en
multipliant le rang précédent par 6 et en soustrayant le rang antérieur. On a
ainsi : 6 × 6 - 1 = 35, 35 × 6 - 6 = 204, 204 × 6 - 35 = 1189, etc.
Le seul nombre supérieur à l'unité qui est à la fois
carré et pyramidal carré est 4900. Ce résultat fut conjecturé par Édouard
Lucas en 1875 et prouvé par G. N. Watson en 1918. Il existe seulement quatre
carrés de quatre chiffres dont tous les chiffres sont pairs : 4624, 6084, 6400
et 8464.
Certains chiffres peuvent être arrangés pour donner plus d’un
carré. Par exemple, avec 1, 6 et 9, on peut composer 169 = 132,
196 = 142,
961 = 312 ; avec 1, 2, 6
et 9, on peut composer 1296 = 362, 2916 = 542
et 9216 = 962. Certains carrés peuvent être
formés d'un autre carré auquel on ajoute des séquences de chiffres selon des
règles déterminées, comme dans ces deux exemples :
16 = 42 |
1156 = 342 |
111 556 = 3342 |
49 = 72 |
4489 = 672 |
444 889 = 6672 |
Les nombres carrés sont des nombres figurés.
Sous sa
forme arithmétique, un nombre carré est appelé carré
parfait.
© Charles-É. Jean
Index
: C
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Aussi appelé nombre quadrangulaire.
Voir
Carré
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