° Nombre palindrome. – Entier naturel égal à lui-même s'il est lu de gauche à droite ou de droite à gauche. Voici les 59 plus petits nombres palindromes :

Dans l'intervalle de 1 à 9, il existe neuf palindromes ; de 10 à 99, il existe neuf palindromes ; de 100 à 999 comme de 1000 à 9999, il existe 90 palindromes ; de 10 000 à 99 999 comme de 100 000 à 999 999, il existe 900 palindromes. Entre 10 et 10 000, il y a trois carrés palindromes : 121, 484 et 676. Le carré palindrome qui suit est 10 201. 

Il n’existe pas de nombre premier palindrome dont le nombre de chiffres est pair car ces nombres sont des multiples de 11. Entre 100 et 1000, il y a 15 palindromes premiers : 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919 et 929 ; entre 10 000 et 100 000, il y en a 93  ; entre 1 000 000 et 10 000 000, il y en a 668. La dernière année palindrome du 20^e siècle a été 1991 ; la première du 21^e siècle a été 2002. 

En additionnant un nombre et son renversé, on peut trouver un nombre palindrome. Par exemple, 23 + 32 = 55, 145 + 541 = 686. Si le nombre obtenu n’est pas palindrome, on peut exécuter la même opération sur le résultat jusqu'à ce qu'on obtienne un palindrome. 

Par exemple, 57 exige deux renversements pour produire en bout de ligne un nombre palindrome : 57 + 75 = 132 et 132 + 231 = 363. Aussi, 78 exige quatre renversements : 78 + 87 = 165, 165 + 561 = 726, 726 + 627 = 1353 et 1353 + 3531 = 4884. Le nombre 89 (ou 98) donne le palindrome 8 813 200 023 188 après 24 renversements ; c'est le nombre de deux chiffres qui exige le plus de renversements. 

Après 100 renversements, 249 entiers inférieurs à 10 000 n'engendrent pas de palindrome. On ne sait pas si 196 (ou 961) peut engendrer un nombre palindrome. Par rapport au nombre de renversements, les 900 entiers de trois chiffres se répartissent ainsi :

On ne sait pas si tous les entiers peuvent engendrer des nombres palindromes peu importe le nombre de renversements. On peut former des carrés magiques en utilisant uniquement des nombres palindromes. 

Voici un carré magique d'ordre 4 constitué de palindromes et dont la densité est 1796 :

L'ensemble des nombres palindromes est un sous-ensemble des nombres renversés.

© Charles-É. Jean  

Consultez le livre 1001 nombres charmants