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Les nombres palindromes Par Charles-É. Jean Est palindrome, toute expression (mot, phrase, nombre) qu’on peut lire de gauche à droite ou de droite à gauche et qui conserve le même sens. RADAR, RÊVER, SERRES sont des mots palindromes. Les nombres 626, 5445, 62 326 sont également palindromes. On peut s’amuser à identifier tous les mots palindromes ; on peut également faire la même démarche avec les nombres. Par exemple, entre 0 et 100, en excluant les nombres d’un seul chiffre, on trouve 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. 1. À votre tour, identifiez les nombres palindromes entre 100 et 500. 2. Pourriez-vous déterminer le nombre de palindromes entre 10 et 10 000 ? 3. On peut se demander combien, parmi les palindromes, sont des carrés. Comme aucun carré ne finit par 2, 3, 7 et 8, on peut exclure tous les nombres qui commencent et finissent par ces chiffres. Pour les nombres de trois chiffres, les possibilités sont donc 1?1, 4?4, 5?5, 9?9. Parmi eux, seuls 121, 484 et 676 sont des carrés palindromes. Combien y a-t-il de carrés palindromes entre 1000 et 11 000 ? 4. Parmi les palindromes, il y en a dont le carré possède la même propriété d’être palindrome. Voici deux exemples : 112 = 121 et 222 = 484. Identifiez cinq palindromes entre 100 et 1000 dont le carré est également palindrome. 5. Le nombre 11, élevé
aux puissances 2, 3 et 4, produit des palindromes. 6. Le double d’un palindrome a la même caractéristique si chacun des chiffres du nombre initial est inférieur à 5. Ainsi 2 × 424 = 848. Dans le même contexte, combien y a-t-il de palindromes entre 100 et 1000 dont le triple est également palindrome ? 7. Lorsqu’un nombre, en des additions successives de son renversé, génère un palindrome, on dit qu’il est palindromique. Prenons 39, son renversé est 93. Faisons l’addition des deux nombres : 39 + 93 = 132. Faisons à nouveau une opération semblable : 132 + 231 = 363. Le résultat 363 est palindrome. Donc, 39 est palindromique en deux renversements. Le nombre 69 est-il palindromique ? Si oui, en combien de renversements ? 8. Combien y a-t-il de nombres inférieurs à 69 qui sont palindromiques en exigeant plus d’un renversement ? 9. Quel est le nombre palindromique entre 90 et 100 qui exige le plus de renversements ? 10. Pour ceux qui n’ont pas peur de calculer ou qui ont accès à un ordinateur, il existe, dans ce domaine, un problème non résolu. En effet, 196 (ou 691) déroute tous les chercheurs. On ne sait pas encore s’il est palindromique. Plusieurs professionnels ou amateurs ont tenté de dénouer l’énigme mais sans résultat. Par exemple, Lynn Yarbrough a fait 79 098 renversements ; Darryl Francis en fit 196 100, toujours sans former un palindrome. Est-il raisonnable de penser que 196 n’est pas palindromique ? 11. On peut, avec des nombres palindromes, former des carrés magiques. Le carré suivant est magique car la somme des nombres est la même horizontalement, verticalement et en diagonale. La somme est 696 : ce qui est également un palindrome.
Formez un carré magique en utilisant les nombres palindromes suivants : 202, 212, 222, 313, 323, 333, 424, 434, 444. Solutions 2. Il y a 189 palindromes. 3. Un seul : 10 201. 4. Les cinq palindromes sont 101, 111, 121, 202 et 212 car 101 × 101 = 10 201 ; 111 × 111 = 12 321 ; 121 × 121 = 14 641 ; 202 × 202 = 40 804 ; 212 × 212 = 44 944. 5. Un palindrome est 101, car 1012 = 10 201 ; 1013 = 1 030 301 ; 1014 = 104 060 401. 6. Il y a 11 palindromes : 101, 111, 121, 131, 202, 212, 222, 303, 313, 323, 333. 7. En quatre renversements : 69 + 96 = 165 ; 165 + 561 = 726 ; 726 + 627 = 1353 ; 1353 + 3531 = 4884. 8. Il y a 15 nombres : 19, 28, 37, 39, 46, 48, 49, 55, 57, 58, 59, 64, 66, 67, 68. 9. Le nombre 98 exige 24 renversements. 10. Même si les renversements sont très nombreux, ce n’est pas suffisant pour montrer que 196 n’est pas palindromique. 11. Voici un carré magique :
© Charles-É. Jean, 1981. Tous droits réservés. |
