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Carré
° Nombre centré carré.
– Nombre figuré qui peut être
représenté par un ensemble de points disposés de façon régulière sur des
carrés. Les nombres centrés carrés de dimension inférieure ou égale à 5
sont définis ci-après.
n Nombre centré carré D1
Nombre centré linéaire
ou de dimension 1 dont les points sont disposés sur les côtés d’un carré.
Tout nombre de rang n de cette classe, sauf 1, est un multiple de 4. Les
dix plus petits nombres de cette classe sont : 1, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,
32 et 36. Le terme général de rang n, en excluant 1, est 4(n -
1). Les quatre plus petits peuvent être représentés ainsi :
Pour trouver le rang d’un centré carré D1 autre que 1, on
divise le nombre par 4 et on additionne 1 au quotient. Pour trouver son
successeur, on lui additionne 4. Par exemple, 28 est de rang 8 car 28 ÷ 4 = 7.
Son successeur est 32.
Voici six propriétés concernant cette classe de
nombres :
Si on excepte 1, la période des unités des
nombres successifs correspond à un nombre de cinq chiffres pairs tous
différents : 48 260.
La somme des n plus petits centrés
carrés D1 est un centré carré D2 de rang n.
La somme de deux centrés carrés D1 successifs,
en excluant 1, est égale à l’octuple du rang du plus petit moins 4.
La différence de deux centrés carrés D1
successifs, en excluant 1, est 4.
Tout centré carré D1 est la différence de
deux centrés carrés D2 successifs.
Les nombres centrés carrés D1 forment une
suite arithmétique
de degré 1.
n Nombre centré
carré D2
Nombre centré plan ou
de dimension 2 dont les points sont disposés sur les côtés parallèles de
carrés. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n
plus petits centrés carrés D1. Le terme
général est (2n2 - 2n + 1). Les
quatre plus petits peuvent être représentés ainsi :
Les 49 plus petits centrés carrés D2 sont :
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0 |
|
1 |
5 |
13 |
25 |
41 |
61 |
85 |
113 |
145 |
|
1 |
181 |
221 |
265 |
313 |
365 |
421 |
481 |
545 |
613 |
685 |
|
2 |
761 |
841 |
925 |
1013 |
1105 |
1201 |
1301 |
1405 |
1513 |
1625 |
|
3 |
1741 |
1861 |
1985 |
2113 |
2245 |
2381 |
2521 |
2665 |
2813 |
2965 |
|
4 |
3121 |
3281 |
3445 |
3613 |
3785 |
3961 |
4141 |
4325 |
4513 |
4705 |
Un nombre est de cette classe si, lui ayant soustrait 1 et
ayant divisé le résultat par 4, le quotient est un triangulaire.
Le rang du centré carré D2 est supérieur de 1 au rang du triangulaire. Pour
trouver son successeur, on lui additionne quatre fois son rang. Par exemple,
113 est un centré carré D2 car (113 - 1)/4 = 28 qui est le triangulaire
de rang 7. Le centré carré est de rang 8. Son successeur est 113 + (4 × 8) =
145.
Voici sept propriétés concernant cette classe de nombres :
La période des unités des nombres successifs
correspond à un nombre de cinq chiffres qui est palindrome : 15 351.
Les unités sont 1, 3 et 5.
La somme des n plus petits centrés
carrés D2 est un octaédrique
de rang n.
La différence de deux centrés carrés D2
successifs est le quadruple du rang du plus petit.
Tout centré carré D2 est la somme de deux
carrés successifs.
Tout centré carré D2 est la différence de
deux octaédriques successifs.
Les nombres centrés carrés D2 forment une
suite arithmétique de degré 2.
La suite des centrés carrés D2 est la même que celle des gnomoniques
octaédriques. Soit (x, y, z) un triplet
de Pythagore, z est un centré carré D2, y = z - 1 et x
est la racine carrée de (2z - 1). On obtient les triplets : (1, 0,
1), (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (13, 84,
85), (15, 112, 113), etc.
n Nombre centré carré
D3
Nombre centré solide
ou de dimension 3 dont les points sont disposés sur un solide associé à
un carré. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n
plus petits centrés
carrés D2. Le terme général est n(2n2 +1)/3.
Les 10 plus petits centrés carrés D3 sont : 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231,
344, 489 et 670. La suite des centrés carrés D3 est la même que celle des octaédriques.
n Nombre centré
carré D4
Nombre centré hypersolide
ou solide de dimension 4 dont les points sont disposés sur un hypersolide
associé à un carré. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme
des n plus petits centrés
carrés D3. Le terme général est n(n + 1)(n2
+ n + 1)/6. Les 10 plus petits centrés carrés D4 sont : 1, 7, 26,
70, 155, 301, 532, 876, 1365, 2035. La suite des centrés carrés D4 est la
même que celle des hyperoctaédriques.
n Nombre centré
carré D5
Nombre centré solide D5 ou
de dimension 5 dont les points sont disposés sur un solide de dimension 5
associé à un carré. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme
des n plus petits centrés carrés D4.
Le terme général est n(n + 1)(n + 2)(n2
+ 2n + 2)/30. Les 10 plus petits centrés carrés D5 sont : 1, 8,
34, 104, 259, 560, 1092, 1968, 3333 et 5368. Les différences successives des
suites à partir de la suite des centrés carrés D5 sont :
La suite des nombres de cette classe est la même que celle
des octaédriques D5.
© Charles-É. Jean
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