° Nombre triangulaire. – Nombre polygonal qui est engendré par un triangle équilatéral. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers gnomoniques triangulaires ou des n entiers naturels. Le terme général est n(n + 1)/2. Les cinq plus petits triangulaires peuvent être représentés ainsi :

Un nombre est triangulaire si on peut décomposer son octuple en un produit de deux nombres pairs successifs. Son rang est la moitié du plus petit pair.

Pour trouver son successeur, on lui additionne son rang et 1. Par exemple, 253 est un triangulaire car 253 = 22/2 × 23. Il est de rang 22. Son successeur est 253 + 22 + 1 = 276. Les 99 plus petits triangulaires sont :

Un nombre est triangulaire si, en le multipliant par 8 et en additionnant 1 au produit, on obtient un carré. Par exemple, 15 est triangulaire car 15 × 8 + 1 = 11². 

Lorsque le triangulaire est de rang n, le carré est de rang (2n + 1). Pour connaître le rang du triangulaire correspondant à un carré, on retranche 1 à la racine carrée et on divise par 2. Soit le carré 121, on peut écrire (11 - 1) ÷ 2 = 5. D’où, 15 est de rang 5. 

Un nombre triangulaire correspond au nombre de façons de disposer n objets pris deux à deux.

Il y a 10 façons de disposer cinq lettres. Et 10 est un triangulaire de rang 4. Quand on a n objets, le triangulaire de rang (n - 1) est le nombre de façons de les disposer deux à deux.

Voici quelques propriétés concernant les nombres de cette classe :

La période des unités des nombres successifs correspond à un palindrome de 20 chiffres: 01 360 518 655 681 506 310.

Les unités sont 0, 1, 3, 5, 6 et 8.

La somme des n premiers triangulaires est un pyramidal triangulaire de rang n.

La différence de deux triangulaires successifs est un gnomonique triangulaire.

La différence d’un triangulaire de rang n et de son rang est un triangulaire de rang (n - 1).

La somme de deux triangulaires successifs est le carré du rang du plus grand.

La somme de deux triangulaires successifs qu’on multiplie par le rang du plus grand est un cube dont la base est le rang du plus grand. Par exemple, (10 + 15)5 = 125 = 5³.

Le double d'un triangulaire est le produit de son rang par le rang suivant.

L'octuple d'un triangulaire de rang n augmenté de 1 est un carré de rang (2n + 1). (Diophante)

La différence du carré de deux triangulaires successifs est un cube.

Le carré d’un nombre triangulaire est égal à la somme du cube du rang n du triangulaire et du carré du triangulaire de rang (n - 1). Par exemple, 100 = 10² = 4³ + 6². La somme des deux bases est égale à la base du triangulaire.

Neuf fois un triangulaire augmenté de 1 est un triangulaire dont le rang est le triple plus un du rang du premier.

Si t est un triangulaire, alors (9t + 1), (25t + 3), (49t + 6), (81t + 10), ... sont également des triangulaires.

Chaque entier est soit un triangulaire, soit la somme de deux ou de trois triangulaires. (Fermat)

Deux triangulaires successifs dont le premier est pair sont divisibles par un même nombre qui est le rang du plus grand des deux.

Tous les nombres parfaits sont triangulaires.

Deux nombres triangulaires dont la différence de rang est 5 ont la même unité si le plus petit est de rang impair et un chiffre augmenté de 5 si le plus petit est de rang pair.

Deux nombres triangulaires dont la différence de rang est 9 ont le même résidu.

Deux nombres triangulaires dont la différence de rang est 20 ont la même unité.

Les différences successives de deux nombres triangulaires voisins dans une même colonne forment une suite arithmétique dont la raison est 100.

Le produit d’un triangulaire de rang n et de la somme des inverses des n plus petits triangulaires est le carré de n. Par exemple, 4^D(1/1 + 1/3 + 1/6 + 1/10) = 4². 

L’ensemble des triangulaires forme une suite arithmétique de degré 2.

Si on soustrait terme à terme les nombres triangulaires T et les nombres impairs I, on obtient la suite des nombres triangulaires décalée de deux termes. Voici un exemple :

Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des triangulaires des éléments de la première ligne et celle de la troisième ligne sont identiques ; de même, la somme des triangulaires des éléments de la première colonne et celle de la troisième colonne sont identiques.

Soit T(n) un triangulaire de rang n, T(13) + T(2) + T(9) = T(7) + T(14) + T(3) = 139 ; de même, T(13) + T(4) + T(7) = T(9) + T(12) + T(3) = 129. De ces égalités, on peut déduire, par exemple, que T(2) + T(9) - [T(4) + T(7)] = 10. Si on adopte l’exposant D comme dans l’article Quand les oiseaux volent, on peut écrire entre autres : 13^D + 2^D + 9^D = 7^D + 14^D + 3^D .

La suite des triangulaires est la même que celle des gnomoniques tétraédriques. Les sept plus petits entiers qui sont en même temps triangulaires et carrés sont : 1, 36, 1225, 41 616, 1 413 721, 48 024 900 et 1 631 432 881. Excepté 1, les deux seuls nombres qui sont à la fois factoriels et triangulaires sont 6 et 120. 

Les triangulaires interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment dans les probabilités et dans l'analyse combinatoire. 

Les triangulaires sont des nombres figurés.

Pour en savoir plus, lisez l'article Quand les oiseaux volent !