|
Triangulaire
° Nombre triangulaire. –
Nombre polygonal qui est engendré par
un triangle équilatéral. Tout nombre de rang n de cette classe est la
somme des n premiers gnomoniques
triangulaires ou des n entiers
naturels. Le terme général est n(n + 1)/2. Les cinq plus petits
triangulaires peuvent être représentés ainsi :
Un nombre est triangulaire si on peut le décomposer en deux
facteurs : l’impair et la moitié de celui qui est pair parmi deux
entiers consécutifs. Son rang est le plus petit entier, sans tenir compte de la
moitié.
Pour trouver son successeur, on lui additionne son rang et 1. Par
exemple, 253 est un triangulaire car 253 = 22/2 × 23. Il est de rang 22.
Son successeur est 253 + 22 + 1 = 276. Les 99 plus petits triangulaires
sont :
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0 |
|
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
21 |
28 |
36 |
45 |
|
1 |
55 |
66 |
78 |
91 |
105 |
120 |
136 |
153 |
171 |
190 |
|
2 |
210 |
231 |
253 |
276 |
300 |
325 |
351 |
378 |
406 |
435 |
|
3 |
465 |
496 |
528 |
561 |
595 |
630 |
666 |
703 |
741 |
780 |
|
4 |
820 |
861 |
903 |
946 |
990 |
1035 |
1081 |
1128 |
1176 |
1225 |
|
5 |
1275 |
1326 |
1378 |
1431 |
1485 |
1540 |
1596 |
1653 |
1711 |
1770 |
|
6 |
1830 |
1891 |
1953 |
2016 |
2080 |
2145 |
2211 |
2278 |
2346 |
2415 |
|
7 |
2485 |
2556 |
2628 |
2701 |
2775 |
2850 |
2926 |
3003 |
3081 |
3160 |
|
8 |
3240 |
3321 |
3403 |
3486 |
3570 |
3655 |
3741 |
3828 |
3916 |
4005 |
|
9 |
4095 |
4186 |
4278 |
4371 |
4465 |
4560 |
4656 |
4753 |
4851 |
4950 |
Un nombre est triangulaire si en le multipliant par 8 et en
additionnant 1 au produit, on obtient un carré. Par exemple, 15 est
triangulaire car 15 × 8 + 1 = 112.
Lorsque le triangulaire est de
rang n, le carré est de rang (2n - 1). Pour connaître le rang du
triangulaire correspondant à un carré, on retranche 1 à la racine carrée et
on divise par 2. On peut écrire (11 - 1) ÷ 2 = 5. D’où, 15 est de rang 5. Un
nombre triangulaire correspond au nombre de façons de disposer n objets
pris deux à deux.
Il y a 10 façons de disposer cinq lettres. Et 10 est un
triangulaire de rang 4. Quand on a n objets, le triangulaire de rang (n
- 1) est le nombre de façons de les disposer deux à deux.
Voici quelques
propriétés concernant les nombres de cette classe :
La période des unités des nombres successifs correspond à un palindrome
de 20 chiffres: 01 360 518 655 681 506 310.
Les unités sont 0, 1, 3, 5, 6 et 8.
La somme des n premiers triangulaires est un pyramidal
triangulaire de
rang n.
La différence de deux triangulaires successifs est un gnomonique triangulaire.
La différence d’un triangulaire de rang n et de son rang est un
triangulaire de rang (n - 1).
La somme de deux triangulaires successifs est le carré du rang du plus grand.
La somme de deux triangulaires successifs qu’on multiplie par le rang du plus
grand est un cube dont la base est le rang du plus grand. Par exemple, (10 +
15)5 = 125 = 53.
Le double d'un triangulaire est le produit de son rang par le rang suivant.
L'octuple d'un triangulaire de rang n augmenté de 1 est un carré de
rang (2n + 1). (Diophante)
Le carré d’un nombre triangulaire est égal à la somme du cube du rang n
du triangulaire et du carré du triangulaire de rang (n - 1). Par
exemple, 100 = 102 = 43 + 62. La somme des deux
bases est égale à la base du triangulaire.
Neuf fois un triangulaire augmenté de 1 est un triangulaire dont le rang est le
triple plus un du rang du premier.
Si t est un triangulaire, alors (9t + 1), (25t + 3), (49t
+ 6), (81t + 10), ... sont également des triangulaires.
Chaque entier est soit un triangulaire, soit la somme de deux ou de trois
triangulaires. (Fermat)
Deux triangulaires successifs dont le premier est pair sont divisibles par un
même nombre qui est le rang du plus grand des deux.
Tous les nombres parfaits sont triangulaires.
Deux nombres
triangulaires dont la différence de rang est 5 ont la même unité si le plus
petit est de rang impair et un chiffre augmenté de 5 si le plus petit est de
rang pair.
Deux nombres
triangulaires dont la différence de rang est 9 ont le même résidu.
Deux nombres
triangulaires dont la différence de rang est 20 ont la même unité.
Les
différences successives de deux nombres triangulaires voisins dans une même
colonne forment une suite arithmétique dont la raison est 100.
L’ensemble des triangulaires forme une suite arithmétique
de degré 2.
Si on soustrait terme à terme les nombres triangulaires T et les nombres
impairs I, on obtient la suite des nombres triangulaires décalée de deux
termes. Voici un exemple :
|
T |
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
21 |
28 |
36 |
45 |
... |
|
I |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
... |
|
T |
0 |
0 |
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
21 |
28 |
... |
Dans un carré magique d’ordre
3, la somme des triangulaires des éléments de la première ligne et celle de
la troisième ligne sont identiques ; de même, la somme des triangulaires
des éléments de la première colonne et celle de la troisième colonne sont
identiques.
Soit T(n) un triangulaire de rang n, T(13) +
T(2) + T(9) = T(7) + T(14) + T(3) = 139 ; de même, T(13) + T(4) + T(7) = T(9) +
T(12) + T(3) = 129. De ces égalités, on peut déduire, par exemple, que T(2) +
T(9) - [T(4) + T(7)]
= 10. Si on adopte l’exposant D comme dans
l’article Quand les oiseaux volent, on
peut écrire entre autres : 13D
+ 2D + 9D
= 7D + 14D
+ 3D .
La suite des triangulaires est la même que celle des gnomoniques
tétraédriques. Les sept plus petits entiers qui sont en même
temps triangulaires et carrés sont : 1, 36, 1225, 41 616, 1 413 721, 48 024 900
et 1 631 432 881. Excepté 1, les deux seuls nombres qui sont à la fois factoriels
et triangulaires sont 6 et 120.
Les triangulaires interviennent dans de nombreux domaines des
mathématiques, notamment dans les probabilités et dans l'analyse
combinatoire.
Les triangulaires sont des nombres figurés.
© Charles-É. Jean
Index
: T
|
