Résidu
Nombre d’un seul chiffre issu de l'addition des chiffres d'un entier naturel et de la répétition, au besoin, de l'addition des chiffres du résultat obtenu. Le résidu de la somme de deux nombres est égal au résidu de la somme de leur résidu. Cette propriété est le fondement de la preuve par 9 pour l’addition et la soustraction. Soit 569 + 247 = 816, le résidu de 569 est 2 et celui de 247 est 4. La somme des résidus est 6. Le résidu de 816 est bien 6. On peut prendre des raccourcis comme ignorer les 0 ; regrouper les chiffres dont la somme est 9 toutes les fois que c’est possible et ignorer les 9. On peut aussi regrouper certains chiffres, les additionner, trouver le résidu de la somme et additionner les résidus. Le résidu d’un nombre correspond au reste de la division de ce nombre par 9, sauf que le reste 0 est mis pour 9. Par exemple, si on divise 346 par 9, le résultat est 38 reste 4. Le résidu de 346 est 4. La table suivante donne les résidus pour la somme des résidus de 1 à 9.

Par exemple, si on prend deux nombres dont le résidu de l’un est 7 et celui de l’autre 8, le résidu de ces deux nombres est 6 qui se trouve à l’intersection de la ligne 7 et de la colonne 8. On peut trouver un chiffre qui manque dans une addition en appliquant le théorie des résidus. Soit 6*12 + 758 = 7170 où l'astérisque représente le chiffre manquant. Les résidus sont respectivement 9, 2, 6. Le résidu des deux nombres additionnés est 2 car 9 + 2 = 11. Il manque 4 pour que le résidu de la somme soit 6. Le premier nombre est 6412.

Le résidu du produit de deux nombres est égal au résidu du produit de leur résidu. Cette propriété est le fondement de la preuve par 9 pour la multiplication et la division. Soit 125 ´ 43 = 5375. Le résidu de 125 est 8 ; celui de 43 est 7. Le résidu de 8 ´ 7 = 56 est 2 ; celui de 5375 est 2. La table suivante donne les résidus pour le produit des résidus de 1 à 9.

On peut trouver un chiffre qui manque dans une multiplication. Soit 126 ´ 83 = 10*58 où l'astérisque représente le chiffre manquant. Les résidus sont respectivement 9, 2 et 5. On fait 9 ´ 2 = 18. Le résidu est 9. Le chiffre qui manque est 9 - 5 = 4. Le produit est donc 10 458. La table ci-après donne les résultats de résidus (première colonne) élevés à une puissance de 1 à 9 (première ligne). Par exemple, le résidu de 7⁸ est 4, ce qui veut dire que le résidu de 232⁸ est 4 de même que le résidu de 583⁸.

Y Le résidu
n de la somme de neuf nombres consécutifs est 9.
n des multiples de 3 est 3, 6 ou 9.
n de la différence de deux nombres ayant les mêmes chiffres est 9.
n de la différence d’un nombre et de son résidu est 9.

Y La période des résidus
n des nombres triangulaires correspond à un nombre de neuf chiffres : 136 163 199 ; deux triangulaires dont la différence de rang est 9 ont le même résidu.
n des carrés correspond à un nombre de neuf chiffres : 149 779 419 ; deux carrés dont la différence de rang est 9 ont le même résidu.
n des nombres hexagonaux correspond à un nombre de neuf chiffres : 166 193 139 ; deux hexagonaux dont la différence de rang est 9 ont le même résidu.

La théorie des résidus s’applique notamment en numérologie. Traditionnellement, chaque lettre correspond au résidu de son rang alphabétique. Par exemple, M = 4 car elle est de rang 13 dont le résidu est 4. Voici le tableau de correspondance :

Le nombre d'étapes nécessaires pour atteindre le résidu est appelé persistance. La persistance de 2876 est 2, car on obtient son résidu en deux étapes : 2 + 8 + 7 + 6 = 23 et 2 + 3 = 5. Le résidu de RÉCRÉOMATH est : 9 + 5 + 3 + 9 + 5 + 6 + 4 + 1 + 2 + 8 = 7.

© Charles-É. Jean

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