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Factorielle
Produit des n
entiers consécutifs de 1 à n. Ainsi, la factorielle de 5, notée 5! est
égale à 1 × 2 × 3 × 4 × 5, donc 120. Les factorielles jouent un rôle
important en analyse combinatoire et dans la théorie des probabilités.
Toutefois, elles peuvent intervenir dans les récréations.
On peut chercher le
nombre de chiffres d'une factorielle, identifier les factorielles dont le nombre
de chiffres est un carré parfait ou un cube parfait, chercher le nombre de zéros à la fin, écrire la factorielle sous la forme d’une figure. Par
exemple, 17! peut s'exprimer sous forme d'un triangle, 18! sous forme d'un
losange, et 19! sous forme d'un trapèze. Voici les trois figures :
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6 |
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4 |
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0 |
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3 |
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2 |
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3 |
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7 |
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5 |
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5 |
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3 |
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7 |
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0 |
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5 |
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1 |
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2 |
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1 |
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6 |
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8 |
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7 |
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7 |
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2 |
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8 |
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6 |
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4 |
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5 |
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1 |
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4 |
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2 |
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8 |
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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4 |
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0 |
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8 |
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9 |
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6 |
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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8 |
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3 |
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2 |
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0 |
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0 |
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0 |
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17! |
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18! |
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19! |
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Le mathématicien français Henri Brocard (1845-1922) pensait
qu'il existe seulement trois factorielles (4!, 5! et 7!) qui, additionnées à
l'unité, sont des carrés parfaits.
Le mathématicien hongrois Paul Erdös
(1913-1996) reprit la même conjecture qu'il énonça ainsi : n2 - 1 = k! si
et seulement si n est égale à 5, à 11 ou à 71. Alors, k est
égal à 4, à 5 ou à 7. Le problème n'est pas résolu. Voici la liste des factorielles de 1 à 16 :
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1! = 1 |
9! = 362 880 |
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2! = 2 |
10! = 3 628 800 |
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3! = 6 |
11! = 39 916
800 |
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4! = 24 |
12! = 479 001
600 |
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5! = 120 |
13! = 6 227 020
800 |
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6! = 720 |
14! = 87 178
291 200 |
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7! = 5040 |
15! = 1 307 674
368 000 |
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8! = 40 320 |
16! = 20 922
789 888 000 |
Les factorielles apparaissent quand l’on fait les
différences successives des termes d'une puissance d'entiers consécutifs.
Lorsque la puissance est n, la différence est n!. Voici un
exemple dans lequel la puissance est 4 :
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1 |
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16 |
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81 |
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256 |
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625 |
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1296 |
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2401 |
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15 |
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65 |
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175 |
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369 |
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671 |
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1105 |
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50 |
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110 |
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194 |
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302 |
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434 |
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60 |
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84 |
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108 |
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132 |
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4! |
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4! |
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4! |
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En faisant la somme des factorielles
des chiffres d’un nombre, on peut obtenir un nombre narcissique. Voici deux
exemples :
145 = 1! + 4! +
5!
40 585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5!
Selon Martin Gardner
(1914-2010),
dans Math’ Festival (1981), ce sont les deux seules identités, si on
excepte 1! = 1 et 2! = 2.
Pour trouver le nombre de zéros à la fin de n!, on
divise n par 5. On divise le quotient obtenu par 5 et on répète cette
opération jusqu'à ce que le quotient soit inférieur à 5, sans jamais se
préoccuper du reste de la division. On additionne les quotients successifs. Soit 198!, on divise 198 par 5 ; le
quotient est 39. On divise 39 par 5 ; le quotient est 7. On
divise 7 par 5 ; le quotient est 1. Le nombre de zéros est 39 + 7 +
1 = 47.
On peut exprimer cette formule autrement. Le nombre de zéros à la fin
de n! est égal à [n/5] + [n/25] + [n/125] + [n/625]
+ ..., où les crochets désignent la partie entière.
Excepté 1, les deux
seuls nombres qui sont à la fois factoriels et triangulaires
sont 6 et 120.
© Charles-É. Jean
Index
: F
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