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Carré
°
Nombre pyramidal carré.
– Nombre figuré qui est
représenté par une pyramide dont
la base est un carré. Les nombres pyramidaux
carrés de dimensions 3, 4 et 5 sont définis.
n Nombre pyramidal carré D3
Tout nombre de rang n de cette classe est la
somme des n premiers carrés. Le terme général est n(n +
1)(2n + 1)/6. Les quatre plus petits pyramidaux carrés peuvent être
représentés ainsi :
Un nombre est pyramidal carré si on peut décomposer son
sextuple en trois facteurs : un entier, le suivant et leur somme. Son rang est
le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne le carré
de rang suivant. Par exemple, 1785 est un pyramidal carré car 1785 × 6 =
17 × 18 × 35. Il est au rang 17. Son successeur est 1785 + 182 =
2109. Les 49 plus petits pyramidaux carrés sont :
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0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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0 |
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1 |
5 |
14 |
30 |
55 |
91 |
140 |
204 |
285 |
|
1 |
385 |
506 |
650 |
819 |
1015 |
1240 |
1496 |
1785 |
2109 |
2470 |
|
2 |
2870 |
3311 |
3795 |
4324 |
4900 |
5525 |
6201 |
6930 |
7714 |
8555 |
|
3 |
9455 |
10 416 |
11 440 |
12 529 |
13 685 |
14 910 |
16 206 |
17 575 |
19 019 |
20 540 |
|
4 |
22 140 |
23 821 |
25 585 |
27 434 |
29 370 |
31 395 |
33 511 |
35 720 |
38 024 |
40 425 |
Voici neuf propriétés concernant les nombres de cette classe :
La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 20
chiffres :15 405 104 556 095 065 900.
Les unités sont 0, 1, 4, 5, 6 et 9.
La somme des n premiers pyramidaux carrés est un hyperpyramidal
carré de rang n.
La somme de deux pyramidaux carrés successifs est un octaédrique.
La différence de deux pyramidaux carrés successifs est un carré.
Tout pyramidal carré est la différence de deux hyperpyramidaux carrés
successifs.
Tout pyramidal carré est la somme de deux pyramidaux triangulaires.
Tout pyramidal carré de rang n est le nombre de carrés de toute
grandeur qu’il est possible de compter dans une grille carrée n × n.
L’ensemble des pyramidaux carrés forme une suite arithmétique
de degré 3.
Le seul nombre supérieur à l'unité qui est à la fois
carré et pyramidal carré est 4900. Ce résultat fut conjecturé par Édouard
Lucas en 1875 et prouvé par G. N. Watson en 1918. Les nombres connus qui sont
à la fois pyramidaux carrés et triangulaires sont : 1, 55, 91 et 208 335.
Aussi appelé nombre pyramidal quadrangulaire.
n Nombre pyramidal
carré D4
Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n
premiers pyramidaux D3 carrés. Le terme général est n(n + 1)2(n
+ 2)/12. Les 10 plus petits nombres de cette classe sont : 1, 6, 20, 50,
105, 196, 336, 540, 825 et 1210. Autre appellation de nombre hyperpyramidal
carré.
n Nombre pyramidal carré
D5
Tout nombre de rang n
de cette classe est la somme des n premiers pyramidaux D4 carrés. Le
terme général est n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(2n
+ 3)/120. Les 10 plus petits pyramidaux D5 carrés sont : 1, 7, 27, 77,
182, 378, 714, 1254, 2079 et 3289. Les différences successives des suites à
partir de la suite des pyramidaux D5 carrés sont :
© Charles-É. Jean
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