Dictionnaire de mathématiques récréatives Carré magique à compartiments

Compartiments

° Carré magique à compartiments. – Carré magique d'ordre n qui peut être partagé en carrés magiques d'un même ordre sans vide et sans empiétement.

Un carré magique normal d'ordre 12 peut être formé par 16 carrés magiques d'ordre 3, neuf carrés d'ordre 4 ou quatre carrés d'ordre 6. La densité du carré magique normal d'ordre 9 illustré est 369. Il est composé de neuf petits carrés magiques d'ordre 3 dont les densités forment une suite arithmétique : 15, 42, 69, 96, 123, 150, 177, 204, 231. La raison de la suite est 27.

71	64	69	8	1	6	53	46	51
66	68	70	3	5	7	48	50	52
67	72	65	4	9	2	49	54	47
26	19	24	44	37	42	62	55	60
21	23	25	39	41	43	57	59	61
22	27	20	40	45	38	58	63	56
35	28	33	80	73	78	17	10	15
30	32	34	75	77	79	12	14	16
31	36	29	76	81	74	13	18	11

Il existe des carrés magiques à compartiments dans lesquels les densités des petits carrés sont égales. Le carré général ci-dessous est un carré magique à compartiments d’ordre 8 dans lequel on trouve quatre variables : q, r, s et t.

s	q	5q + 6r + 2s + t	6q + 6r + s + t	r + s	q + r	5q + 5r + 2s + t	6q + 5r + s + t
5q + 6r + s + t	6q + 6r + 2s + t	0	q + s	5q + 5r + s + t	6q + 5r + 2s + t	r	q + r + s
4q + 6r + s + t	3q + 6r + 2s + t	3q	2q + s	4q + 5r + s + t	3q + 5r + 2s + t	3q + r	2q + r + s
3q + s	2q	4q + 6r + 2s + t	3q + 6r + s + t	3q + r + s	2q + r	4q + 5r + 2s + t	3q + 5r + s + t
2r + s	q + 2r	5q + 4r + 2s + t	6q + 4r + s + t	3r + s	q + 3r	5q + 3r + 2s + t	6q + 3r + s + t
5q + 4r + s + t	6q + 4r + 2s + t	2r	q + 2r + s	5q + 3r + s + t	6q + 3r + 2s + t	3r	q + 3r + s
4q + 4r + s + t	3q + 4r + 2s + t	3q + 2r	2q + 2r + s	4q + 3r + s + t	3q + 3r + 2s + t	3q + 3r	2q + 3r + s
3q + 2r + s	2q + 2r	4q + 4r + 2s + t	3q + 4r + s + t	3q + 3r + s	2q + 3r	4q + 3r + 2s + t	3q + 3r + s + t

La densité de chacun des carrés d’ordre 4 est : 12q + 12r + 4s + 2t. La densité du grand carré est : 24q + 24r + 8s + 4t. En posant q = 2, r = 3, s = 4 et t = 5 et en additionnant 1 au résultat de chaque case, on trouve le carré magique suivant.

5	3	42	40	8	6	39	37
38	44	1	7	35	41	4	10
36	38	7	9	33	35	10	12
11	5	40	34	14	8	37	31
11	9	36	34	14	12	33	31
32	38	7	13	29	35	10	16
30	32	13	15	27	29	16	18
17	11	34	28	20	14	31	25

La densité de chacun des carrés magiques d’ordre 4 est 90 et celle du carré magique d’ordre 8 est 180. Ce carré magique n’est pas normal.

Index : C

Pour en savoir plus, consultez les articles suivants de l'auteur :

Carrés magiques à compartiments

Carrés magiques d'ordre 3

Carrés magiques d'ordre 4

Carrés magiques d'ordre 5

Carrés magiques d'ordre 6

Une nouvelle approche pour la construction de carrés magiques d’ordre 5

Les treillis magiques

Consultez aussi les livres

Initiation aux carrés magiques

Secrets des carrés magiques d'ordre 3