° Nombre multiparfait. – Entier naturel dont la somme des diviseurs est égale à un multiple de lui-même. Le nombre 120 est multiparfait, car la somme de ses diviseurs est 360. Comme la somme des diviseurs est égale à trois fois 120, on dit que ce nombre est triparfait. Tout nombre parfait est un multiparfait de multiple 2. D'après la définition de nombre multiparfait, on peut considérer un nombre parfait comme un biparfait. Du biparfait à l'octaparfait, on connaît 2046 nombres multiparfaits. Ils sont répartis ainsi :

On pense que les multiparfaits du triparfait à l'heptaparfait ont tous été trouvés. Tous les nombres multiparfaits connus sont pairs. On se demande s'il existe des nombres multiparfaits impairs. Voici une façon de trouver des nombres multiparfaits :

1. On écrit un nombre premier élevé à une puissance.

2. On trouve la somme des diviseurs de cette expression.

3. On décompose cette somme en nombres premiers, s’il y a lieu, et on écrit le résultat au dénominateur de cette fraction.

4a. Lorsque le dénominateur est un nombre premier, on écrit ce nombre comme numérateur d’une autre fraction.

4b. Lorsque le dénominateur n’est pas un nombre premier, on choisit un ou des facteurs qu’on écrit comme numérateur de toute autre fraction.

5. On continue ainsi jusqu’à ce que le produit des fractions soit égal à 1/n. Si n = 2, le nombre est biparfait ; si n = 3, le nombre est triparfait, etc.

6. On multiplie les numérateurs pour obtenir un nombre multiparfait.

Dans le premier exemple, le produit des numérateurs est 672. Ce nombre est triparfait car l’expression est égale à 1/3. Dans le deuxième exemple, le produit des numérateurs est 32 760. Ce nombre est tétraparfait car l’expression est égale à 1/4.

 Voir aussi : Nombre aliquotaire, Nombre de Mersenne, Nombre étrange, Nombre presque parfait, Nombre superabondant

© Charles-É. Jean

Index : M