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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Mersenne, Marin (1588-1648)

° Nombre de MersenneEntier naturel de la forme (2p - 1) où p est un entier naturel. Le nom de Mersenne qui était théologien et mathématicien français resta lier à cette classe de nombres à cause d’une conjecture qu’il a faite en 1644. Il affirmait que les nombres de la forme (2p - 1) sont  premiers. lorsque p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 et 257 et qu’ils sont composés pour toute autre valeur de n inférieure à 257. D’après le deuxième tableau ci-après, on constate que pour n = 67 et 257 le nombre n’est pas premier et qu’il l’est pour 61, 89 et 107, nombres omis par Euler. Voici les 20 plus petits nombres de Mersenne avec des indications sur leur propriété d’être premier ou composé :

Rang

2p - 1

Nombre

Premier ou composé

1

21 - 1

1

-

2

22 - 1

3

Nombre premier

3

23 - 1

7

Nombre premier

4

24 - 1

15

3 × 5

5

25 - 1

31

Nombre premier

6

26 - 1

63

32 × 7

7

27 - 1

127

Nombre premier

8

28 - 1

255

3 × 5 × 17

9

29 - 1

511

7 × 73

10

210 - 1

1023

3 × 11 × 31

11

211 - 1

2047

23 × 89

12

212 - 1

4095

32 × 5 × 7 × 13

13

213 - 1

8191

Nombre premier

14

214 - 1

16 383

3 × 43 × 127

15

215 - 1

32 767

7 × 31 × 151

16

216 - 1

65 535

3 × 5 × 17 × 257

17

217 - 1

131 071

Nombre premier

18

218 - 1

262 143

33 × 7 × 19 × 73

19

219 - 1

524 287

Nombre premier

20

220 - 1

1 048 575

3 × 52 × 11 × 31 × 41

Un nombre de Mersenne de rang n est égal à la somme des puissances successives de 2 où p varie de 0 à (n - 1). Ainsi, le nombre de Mersenne de rang 5 est 20 + 21 + 22 + 23 + 24 = 31. En base 2, les nombres de Mersenne sont constitués de p chiffres 1, soit, dans l’ordre, 12, 112, 1112, 11112, 11 1112, 111 1112, etc. Ces nombres composés d’un seul 1 sont appelés nombres uniformes U1. Le nombre de l’échiquier est un nombre de Mersenne. 

Une condition nécessaire pour qu'un nombre de Mersenne soit premier est que la puissance p soit première. Avant 1952, on connaissait 12 nombres premiers de Mersenne. Avec l’arrivée des calculateurs électroniques en 1952, on en a trouvé six autres. Depuis ce temps, 30 autres ont été découverts. Voici les 48 nombres premiers de Mersenne connus en 2013, l’année de leur découverte et leurs auteurs :

Rang

p

2p - 1

Année

Auteur

1

2

3

Antiquité

Mentionné par Euclide

2

3

7

Antiquité

Mentionné par Euclide

3

5

31

Antiquité

Mentionné par Euclide

4

7

127

Antiquité

Mentionné par Euclide

5

13

8191

1461

Reguis, Pietro Cataldi

6

17

131 071

1588

Pietro Cataldi

7

19

524 287

1588

Pietro Cataldi

8

31

10 chiffres

1772

Leonhard Euler

9

61

19 chiffres

1883

I. M. Pervouchine

10

89

27 chiffres

1911

R. E. Powers

11

107

33 chiffres

1914

R. E. Powers

12

127

39 chiffres

1876

Édouard Lucas

13

521

157 chiffres

1952

Raphael M. Robinson

14

607

183 chiffres

1952

Raphael M. Robinson

15

1 279

386 chiffres

1952

Raphael M. Robinson

16

2 203

664 chiffres

1952

Raphael M. Robinson

17

2 281

687 chiffres

1952

Raphael M. Robinson

18

3 217

969 chiffres

1957

Hans Riesel

19

4 253

1 281 chiffres

1961

Alexander Hurwitz

20

4 423

1 332 chiffres

1961

Alexander Hurwitz

21

9 689

2 917 chiffres

1963

Donald B. Gillies

22

9 941

2 993 chiffres

1963

Donald B. Gillies

23

11 213

3 376 chiffres

1963

Donald B. Gillies

24

19 937

6 002 chiffres

1971

Bryant Tuckerman

25

21 701

6 533 chiffres

1978

Laura Nickel, Curt Noll

26

23 209

6 987 chiffres

1979

Curt Noll

27

44 497

13 395 chiffres

1979

Harry L. Nelson, D. Slowinski

28

86 243

25 962 chiffres

1982

David Slowinski

29

110 503

33 265 chiffres

1988

Luther Welsh, Walter Colquitt

30

132 049

39 751 chiffres

1983

David Slowinski

31

216 091

65 050 chiffres

1985

David Slowinski

32

756 839

227 832 chiffres

1992

David Slowinski, Paul Gage

33

859 433

258 716 chiffres

1994

David Slowinski, Paul Gage

34

1 257 787

378 632 chiffres

1996

David Slowinski, Paul Gage

35

1 398 269

420 921 chiffres

1996

Joel Armengaud et al.

36

2 976 221

895 932 chiffres

1997

Gordon Spence et al.

37

3 021 377

909 526 chiffres

1998

Roland Clarkson et al.

38

6 972 593

2 098 960 chiffres

1999

Nayan Hajratwala et al.

39

13 466 917

4 053 946 chiffres

2001

Michael Cameron et al.

40

20 996 011

6 320 430 chiffres

2003

Michael Shafer et al.

41

24 036 583

7 235 733 chiffres

2004

Josh Findley et al.

42

25 964 951

7 816 230 chiffres

2005

Martin Nowak et al.

43

30 402 457

9 152 052 chiffres

2005

Curtis Cooper et al.

44

32 582 657 9 808 358 chiffres

2006

Curtis Cooper et al.

45

37 156 667

11 185 272 chiffres

    2008

Hans-Michael Elvenich et al.

46

42 643 801

12 837 064 chiffres

    2009

Odd Magnar Strindmo et al.

47

43 112 609

12 978 189 chiffres

    2008

Edson Smith et al.

48

57 885 161

17 425 170 chiffres

2013

Curtis Cooper et al.

Pour trouver combien un nombre de Mersenne a de chiffres, on prend la valeur de p et on la multiplie par log 2 = 0,30103 ... Si p est égal à 40, on fait : 20 996 011 × 0,30103 ... = 6 320 430. 

Tout nombre premier de Mersenne engendre un nombre parfait.

© Charles-É. Jean

Index : P

Voir : 

Nombre aliquote

Nombre étrange

Nombre presque parfait

Nombre superabondant