Dictionnaire de mathématiques récréatives Nombre abondant

Dictionnaire de mathématiques récréatives

Abondant

° Nombre abondant. – Entier naturel dont la somme des diviseurs propres est supérieure au nombre lui-même. Les 49 plus petits nombres abondants sont tous pairs. Ce sont :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0		12	18	20	24	30	36	40	42	48
1	54	56	60	66	70	72	78	80	84	88
2	90	96	100	102	104	108	112	114	120	126
3	132	138	140	144	150	156	160	162	168	174
4	176	180	186	192	196	198	200	204	208	210

Dans ce tableau, 17 nombres ne sont pas un multiple d’un abondant. Ce sont : 12, 18, 20, 30, 42, 56, 66, 70, 78, 88, 102, 104, 114, 138, 174, 186 et 196. On les appelle nombres abondants primitifs. Les huit plus petits abondants impairs sont des multiples de 315. Ils sont formés par le produit de 315 et successivement de 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 et 17. Les 39 plus petits abondants impairs sont :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0		945	1575	2205	2835	3465	4095	4725	5355	5775
1	5985	6435	6615	6825	7245	7425	7875	8085	8415	8505
2	8925	9135	9555	9765	10 395	11 025	11 655	12 285	12 705	12 915
3	13 545	14 175	14 805	15 015	15 435	16 065	16 695	17 325	17 955	18 585

Dans ce tableau, 13 nombres ne sont pas abondants primitifs : 2835, 4725, 6615, 7875, 8505, 10 395, 11 025, 12 285, 14 175, 15 435, 16 065, 17 325 et 17 955. Les sommes successives des diviseurs propres des nombres abondants impairs forment la suite suivante.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0		975	1649	2241	2973	4023	4641	5195	5877	6129
1	6495	6669	7065	7063	7731	7455	8349	8331	8433	8967
2	8931	9585	9597	10 203	12 645	12 051	12 057	14 595	12831	13 293
3	13 911	15 833	15 147	17 241	15 435	18 495	17 001	21 363	20 445	18 855

Soit q le rapport de la somme des diviseurs propres d’un nombre et du nombre lui-même, si q < 0,5 le nombre est dit déficient ; si q = 0,5 le nombre est dit parfait ; si q > 0,5 le nombre est dit abondant. Le plus petit nombre abondant impair a été découvert par Bachet (1581-1638). Voici trois propriétés des abondants :
Y Tout multiple d’un nombre parfait est un abondant. Par exemple, puisque 28 est un parfait, les termes de la suite 56, 84, 112, 140, ... sont abondants.
Y Tous les multiples de 6 sont abondants, puisque 6 est un nombre parfait.
Y Tout multiple d’un nombre abondant pair est un abondant. Par exemple, puisque 12 est un abondant pair, les termes de la suite 24, 36, 48, 60, ... sont abondants.

Un nombre abondant est aussi appelé nombre excessif ou nombre redondant. Fibonacci (v.1175- v.1240) appelait défaillant un nombre non abondant.

Voir aussi : Nombre aliquotaire, Nombre étrange, Nombre multiparfait, Nombre superabondant, Nombres amiables

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