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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Abondant

° Nombre abondant. Entier naturel dont la somme des diviseurs propres est supérieure au nombre lui-même. Les 49 plus petits nombres abondants sont tous pairs. Ce sont :

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

 

12

18

20

24

30

36

40

42

48

1

54

56

60

66

70

72

78

80

84

88

2

90

96

100

102

104

108

112

114

120

126

3

132

138

140

144

150

156

160

162

168

174

4

176

180

186

192

196

198

200

204

208

210

Dans ce tableau, 17 nombres ne sont pas un multiple d’un abondant. Ce sont : 12, 18, 20, 30, 42, 56, 66, 70, 78, 88, 102, 104, 114, 138, 174, 186 et 196. On les appelle nombres abondants primitifs. Les huit plus petits abondants impairs sont des multiples de 315. Ils sont formés par le produit de 315 et successivement de 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 et 17.  

Les 39 plus petits abondants impairs sont :

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

 

945

1575

2205

2835

3465

4095

4725

5355

5775

1

5985

6435

6615

6825

7245

7425

7875

8085

8415

8505

2

8925

9135

9555

9765

10 395

11 025

11 655

12 285

12 705

12 915

3

13 545

14 175

14 805

15 015

15 435

16 065

16 695

17 325

17 955

18 585

Dans ce tableau, 13 nombres ne sont pas abondants primitifs : 2835, 4725, 6615, 7875, 8505, 10 395, 11 025, 12 285, 14 175, 15 435, 16 065, 17 325 et 17 955. Les sommes successives des diviseurs propres des nombres abondants impairs forment la suite suivante.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

 

975

1649

2241

2973

4023

4641

5195

5877

6129

1

6495

6669

7065

7063

7731

7455

8349

8331

8433

8967

2

8931

9585

9597

10 203

12 645

12 051

12 057

14 595

12831

13 293

3

13 911

15 833

15 147

17 241

15 435

18 495

17 001

21 363

20 445

18 855


Soit q le rapport de la somme des diviseurs propres d’un nombre et du nombre lui-même, si q < 0,5 le nombre est dit déficient ; si q = 0,5 le nombre est dit parfait ; si q > 0,5 le nombre est dit abondant. Le plus petit nombre abondant impair a été découvert par Bachet (1581-1638). 

Voici trois propriétés des abondants :

Tout multiple d’un nombre parfait est un abondant. Par exemple, puisque 28 est un parfait, les termes de la suite 56, 84, 112, 140, ... sont abondants.

Tous les multiples de 6 sont abondants, puisque 6 est un nombre parfait.

Tout multiple d’un nombre abondant pair est un abondant. Par exemple, puisque 12 est un abondant pair, les termes de la suite 24, 36, 48, 60, ... sont abondants.

© Charles-É. Jean

Index : A

Un nombre abondant est aussi appelé nombre excessif ou nombre redondant. Fibonacci (v.1175- v.1240) appelait défaillant un nombre non abondant.

 

 

 

 

 

 

 

Voir aussi : 
Nombre aliquote

Nombre étrange

Nombre multiparfait

Nombre superabondant

Nombres amiables