Amiables

° Nombres amiables. – Se dit d'entiers naturels formant une paire, tels que chacun d'eux est égal à la somme des diviseurs propres de l'autre. Ainsi, 220 et 284 sont des nombres amiables. La somme des diviseurs propres de 220 est 284 et celle de 284 est 220. Euler (1707-1783) donna une liste de 61 paires de nombres amiables. On connaît aujourd'hui plus de 13 000 paires de nombres amiables. En voici 15 :

1184 et 1210 (Nicolo Paganini)                   2620 et 2924
5020 et 5564                                              6232 et 6368
10 744 et 10 856                                        12 285 et 14 595
17 296 et 18 416 (Fermat)                          63 020 et 76 084
66 928 et 66 992                                        67 095 et 71 145
69 615 et 87 633                                        79 750 et 88 730
122 265 et 139 815                                    141 664 et 153 176
142 310 et 168 730                                    171 856 et 176 336
176 272 et 180 848                                    196 724 et 202 444
308 620 et 389 924                                    437 456 et 455 344
503 056 et 514 736                                    522 405 et 525 915
609 928 et 686 072                                    1 175 265 et 1 438 983
1 280 565 et 1 340 235                              1 358 595 et 1 486 845
9 363 584 et 9 437 056 (Descartes)
111 448 537 712 et 118 853 793 424
3⁵ · 7² · 13 · 19 · 53 · 6959 et 3⁵ · 7² · 13 · 19 · 179 · 2087 (Euler)

Aucune paire de nombres amiables, formée par un pair et un impair, n'est connue. On ne connaît pas de règle générale qui permettrait de trouver tous les nombres amiables. Thabit ibn Qurra (836-901) a indiqué une formule pour trouver certains nombres amiables. Si a = 3 × 2ⁿ - 1, b = 3 × 2^n-1 - 1 et c = 9 × 2^2n-1 - 1 sont premiers lorsque n est un entier naturel plus grand que l'unité, alors 2ⁿ × a × b et 2ⁿ × c sont amiables. Par exemple, si n = 2, alors a = 11, b = 5 et c = 71. Les trois nombres sont premiers. Les deux nombres amiables sont 2² × 11 × 5 = 220 et 2² × 71 = 284. On a découvert que cette formule vaut seulement pour n égal à 2, à 4 et à 7 en considérant les valeurs de n inférieures à 20 000. Aussi appelés nombres amicaux.

Voir aussi : Nombre abondant, Nombre aliquotaire, Nombre étrange, Nombre superabondant

© Charles-É. Jean

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