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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Pythagoriciens

° Nombres pythagoriciens. Ensemble de trois entiers naturels tels que la somme des carrés des deux premiers est égale au carré du troisième. Les trois nombres correspondent aux mesures des côtés d'un triangle rectangle. Un ensemble de trois de ces nombres est appelé triade ou triplet de Pythagore

Voici quelques propriétés concernant les nombres pythagoriciens.

Tous les impairs sauf 1 sont pythagoriciens. On le voit dans la colonne des x du tableau ci-dessous.

Tous les nombres impairement pairs sauf 2 sont pythagoriciens. Si on multiplie par 2 chacun des triplets du tableau, le premier élément du triplet sera successivement égal à 6, 10, 14, 18, ...

Tous les nombres pairement pairs sont pythagoriciens En multipliant le triplet (3, 4, 5) successivement par 2, 3, 4, 5, ... , le deuxième élément sera 8, 12, 16, 20 ... 

Dans le tableau suivant, on donne d’abord à x les valeurs impaires. Pour trouver y, on fait (x2 - 1)/2. Puis z = y + 1.

n

x

y

z

z - x

y + z

1

1

0

1

0

1

2

3

4

5

2 = 2 × 12

9 = 32

3

5

12

13

8 = 2 × 22

25 = 52

4

7

24

25

18 = 2 × 32

49 = 72

5

9

40

41

32 = 2 × 42

81 = 92

6

11

60

61

50 = 2 × 52

121 = 112

7

13

84

85

72 = 2 × 62

169 = 132

8

15

112

113

98 = 2 × 72

225 = 152

9

17

144

145

128 = 2 × 82

289 = 172

10

19

180

181

162 = 2 × 92

361 = 192

En fonction de n, y = 2n(n - 1), soit le quadruple d’un nombre triangulaire et z = (2n2 - 2n + 1), soit un nombre centré D2 carré. Si on soustrait x de z, on obtient (x - 1)2/2. Si on additionne y et z, on trouve le carré de x. Le tableau suivant est formé à partir des données du précédent. La valeur de x est le carré des nombres impairs. La valeur de y est le double du produit de y et de z du tableau précédent. Puis, z = y + 1.

n x y z z - x y + z = x2

1

1

0

1

   

2

9

40

41

32 = 2 × 42

81 = 92

3

25

312

313

288 = 2 × 122

625 = 252

4

49

1200

1201

1152 = 2 × 242

2401 = 492

5

81

3280

3281

3200 = 2 × 402

6561 = 812

6

121

7320

7321

7200 = 2 × 602

14 641 = 1212

7

169

14 280

14 281

14 112 = 2 × 842

28 561 = 1692

8

225

25 312

25 313

25 088 = 2 × 1122

50 625 = 2252

9

289

41 760

41 761

41 472 = 2 × 1442

83 521 = 2892

10

361

65 160

65 161

64 800 = 2 × 1802

130 321 = 3612

En fonction de n, y = 4n(n - 1)(2n2 - 2n + 1). Si on soustrait x de z, on obtient (x - 1)2/2, qui est deux fois le carré de y du premier tableau. Si on additionne y et z, on trouve le carré de x. Pour former le tableau suivant, on prend la valeur de x du premier tableau ; on l’appelle a. On prend la valeur de y  du même tableau ; on l’appelle b. On fait x = b2 - a2 et y = 2ab. Le z de ce tableau est le carré de z du premier tableau.

n

x

y

z

z - x

z - y

1

1

0

1 = 12

0

1

2

7

24

25 = 52

18 = 32

1

3

119 = 17 × 7

120

169 = 132

50 = 2 × 52

49 = 72

4

527 = 31 × 17

336

625 = 252

98 = 2 × 72

289 = 172

5

1519 = 49 × 31

720

1681 = 412

162 = 2 × 92

961 = 312

6

3479 = 71 × 49

1320

3721 = 612

242 = 2 × 112

2401 = 492

7

6887 = 97 × 71

2184

7225 = 852

338 = 2 × 132

5041 = 712

8

12 319 = 127 × 97

3360

12 769 = 1132

450 = 2 × 152

9409 = 972

9

20 447 = 161 × 127

4896

21 025 = 1452

578 = 2 × 172

16 129 = 1272

10

32 039 = 199 × 161

6840

32 761 = 1812

722 = 2 × 192

25 921 = 1612

La valeur de x est le produit de deux termes successifs de la suite 1, 7, 17, 31, 49, 71, ... dont le terme général est (2n2 - 1). Si on multiplie par 8 tout nombre de cette suite augmenté de 1, on obtient la suite des carrés pairs dont la base est un multiple de 4. La valeur de y est le produit de trois entiers consécutifs dont le premier est 2(n - 1). Si on soustrait x de z, on obtient 2(2n - 1)2. Si on soustrait y de z, on trouve les carrés de la suite 1, 7, 17, 31, 49, .... En fonction de n, x = (2n2 - 1)(2n2 - 4n + 1). Par ailleurs, (x + 2) sauf pour n = 1 est la suite des carrés impairs 32, 112, 232, 392, 592, 832,1112, 1432, 1792

Albert H. Beiler a donné 10 triplets lorsque 48 est pythagoricien. Les voici :

n

x

y

z

z + x

z - x

1

14

48

50

64 = 26

36 = 22 × 32

2

20

48

52

72 = 23 × 32

32 = 25

3

36

48

60

96 = 25 × 3

24 = 23 × 3

4

55

48

73

128 = 27

18 = 2 × 32

5

64

48

80

144 = 24 × 32

16 = 24

6

90

48

102

192 = 26 × 3

12 = 22 × 3

7

140

48

148

288 = 25 × 32

8 = 23

8

189

48

195

384 = 27 × 3

6 = 2 × 3

9

286

48

290

576 = 26 × 32

4 = 22

10

575

48

577

1152 = 27 × 32

2

On note que les facteurs premiers de (z + x) et de (z - x) sont 2 et 3, comme de 48 d’ailleurs. Selon Albert H. Beiler, tous les nombres de la forme 16pp est un premier impair, comme 16 × 5 = 80, appartiennent à 10 triplets. Aussi, tous les nombres de la forme p3qp et q sont des premiers impairs, comme 33 × 5 = 135, appartiennent à 10 triplets.

© Charles-É. Jean

Index : P

Voir aussi : 

Quadruplet de Pythagore

Quintuplet de Pythagore

Triangle de Pythagore

Triplet de Pythagore