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Décagonal
°
Nombre décagonal. –
Nombre
polygonal qui est engendré par un décagone régulier. Tout nombre de
rang
n de cette classe est la somme des n premiers gnomoniques
décagonaux. Le terme général est n(4n
- 3).
Les 39 plus petits décagonaux sont :
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0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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0 |
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1 |
10 |
27 |
52 |
85 |
126 |
175 |
232 |
297 |
|
1 |
370 |
451 |
540 |
637 |
742 |
855 |
976 |
1105 |
1242 |
1387 |
|
2 |
1540 |
1701 |
1870 |
2047 |
2232 |
2425 |
2626 |
2835 |
3052 |
3277 |
|
3 |
3510 |
3751 |
4000 |
4257 |
4522 |
4795 |
5076 |
5365 |
5662 |
5967 |
Un nombre est décagonal si, lui ayant
soustrait 1, le résultat peut être décomposé en deux facteurs : un
entier et le quadruple de cet entier plus 5. Le plus petit entier augmenté de 1
est le rang du décagonal. Pour trouver son successeur, on lui additionne huit
fois son rang et 1. Par exemple, 855 est un décagonal car 854 = 14 × 61.
Il est de rang 15. Son successeur est 855 + (8 × 15) + 1 = 976.
Voici quelques
propriétés concernant les nombres de cette classe :
La période des unités des nombres successifs correspond
à un nombre de 10 chiffres qui est palindrome
en excluant le 1 : 1 072 565 270
Les chiffres des unités sont 0, 1, 2, 5, 6 et 7.
La somme des n premiers décagonaux est un pyramidal décagonal
de rang n.
La différence de deux décagonaux successifs est un gnomonique décagonal.
Tout décagonal est la différence de deux pyramidaux décagonaux successifs.
Tout décagonal est un triangulaire
de même rang augmenté de sept fois le triangulaire de rang précédent.
Le double plus un d'un décagonal est un triangulaire dont le rang est le
quadruple moins deux du rang du décagonal.
La somme de 16 fois un décagonal de rang n et de 9 est un carré de
rang (8n - 3).
La somme de 64 fois un décagonal de rang n et de 36 est un carré de
rang (16n - 6).
L’ensemble des décagonaux forme une suite arithmétique
de degré 2.
Dans un carré magique
d’ordre 3, la somme des décagonaux des éléments de la première ligne et
celle de la troisième ligne sont identiques ; de même, la somme des
décagonaux des éléments de la première colonne et celle de la troisième
colonne sont identiques.
Soit D(n) un décagonal de rang n,
D(13) + D(2) + D(9) = D(7) + D(14) + D(3) = 944 ; de même, D(13) + D(4) +
D(7) = D(9) + D(12) + D(3) = 864. De ces égalités, on peut déduire, par
exemple, que D(2) + D(9) - [D(4) + D(7)] = 80. Pour écrire un décagonal,
on peut adopter un exposant qui pourrait être d (dix) et la base serait le rang
du décagonal. Par exemple, 13d
serait égal à 637. Par rapport aux égalités précédentes, on peut écrire
entre autres : 13d + 2d
+ 9d = 7d +
14d
+ 3d.
La suite des décagonaux est la même que celle des étoilés
pentagonaux.
Les décagonaux sont des nombres figurés.
© Charles-É. Jean
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: D
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