Dictionnaire de mathématiques récréatives Nombre octogonal

Dictionnaire de mathématiques récréatives

Octogonal

° Nombre octogonal. – Nombre polygonal qui est engendré par un octogone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers gnomoniques octogonaux. Le terme général est n(3n - 2). Les quatre plus petits octogonaux peuvent être représentés ainsi :

Un nombre est octogonal si on peut le décomposer en deux facteurs : un entier et le triple de cet entier moins 2. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne six fois son rang et 1. Par exemple, 408 est un octogonal car 408 = 12 × 34. Il est de rang 12. Son successeur est 408 + (6 × 12) + 1 = 481. Les 59 plus petits octogonaux sont :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0		1	8	21	40	65	96	133	176	225
1	280	341	408	481	560	645	736	833	936	1045
2	1160	1281	1408	1541	1680	1825	1976	2133	2296	2465
3	2640	2821	3008	3201	3400	3605	3816	4033	4256	4485
4	4720	4961	5208	5461	5720	5985	6256	6533	6816	7105
5	7400	7701	8008	8321	8640	8965	9296	9633	9976	10 325

Voici quelques propriétés concernant les nombres de cette classe :

Y La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 10 chiffres qu’on peut décomposer en deux palindromes : 01 810 et 56 365.

Y Les unités sont 0, 1, 3, 5, 6 et 8.

Y La somme des n premiers octogonaux est un pyramidal octogonal de rang n.

Y La différence de deux octogonaux successifs est un gnomonique octogonal.

Y Tout octogonal est la différence de deux pyramidaux octogonaux successifs.

Y Tout octogonal est égal au pentagonal de même rang augmenté du triple du triangulaire du rang précédent.

Y Le triple plus un d'un octogonal de rang n est un carré de rang (3n - 1).

Y Tout entier est octogonal ou est la somme d’au moins deux et d’au plus huit octogonaux. (Fermat)

Y Quarante-huit fois un octogonal de rang n plus 16 est un carré de rang (12n - 4).

Y L’ensemble des octogonaux forme une suite arithmétique de degré 2.

Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des octogonaux des éléments de la première ligne et celle de la troisième ligne sont identiques ; de même, la somme des octogonaux des éléments de la première colonne et celle de la troisième colonne sont identiques.

13	2	9
4	8	12
7	14	3

Soit H(n) un octogonal de rang n, H(13) + H(2) + H(9) = H(7) + H(14) + H(3) = 714 ; de même, H(13) + H(4) + H(7) = H(9) + H(12) + H(3) = 654. De ces égalités, on peut déduire, par exemple, que H(2) + H(9) - [H(4) + H(7)] = 60. Pour écrire un octogonal, on peut adopter un exposant qui pourrait être h (huit) et la base serait le rang de l’octogonal. Par exemple, 13^h serait égal à 481. Par rapport aux égalités précédentes, on peut écrire entre autres : 13^h + 2^h + 9^h = 7^h + 14^h + 3^h. La suite des octogonaux est la même que celle des étoilés carrés. Certains nombres octogonaux sont octomorphes. Les octogonaux sont des nombres figurés.

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