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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Octogonal

° Nombre octogonal. – Nombre polygonal qui est engendré par un octogone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers gnomoniques octogonaux. Le terme général est n(3n - 2). Les quatre plus petits octogonaux peuvent être représentés ainsi :

Un nombre est octogonal si on peut le décomposer en deux facteurs : un entier et le triple de cet entier moins 2. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne six fois son rang et 1. Par exemple, 408 est un octogonal car 408 = 12 × 34. Il est de rang 12. Son successeur est 408 + (6 × 12) + 1 = 481. 

Les 59 plus petits octogonaux sont :

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

 

1

8

21

40

65

96

133

176

225

1

280

341

408

481

560

645

736

833

936

1045

2

1160

1281

1408

1541

1680

1825

1976

2133

2296

2465

3

2640

2821

3008

3201

3400

3605

3816

4033

4256

4485

4

4720

4961

5208

5461

5720

5985

6256

6533

6816

7105

5

7400

7701

8008

8321

8640

8965

9296

9633

9976

10 325


Voici quelques propriétés concernant les nombres de cette classe :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 10 chiffres qu’on peut décomposer en deux palindromes : 01 810 et 56 365.

Les unités sont 0, 1, 3, 5, 6 et 8.

La somme des n premiers octogonaux est un pyramidal octogonal de rang n.

La différence de deux octogonaux successifs est un gnomonique octogonal.

Tout octogonal est la différence de deux pyramidaux octogonaux successifs.

Tout octogonal est égal au pentagonal de même rang augmenté du triple du triangulaire du rang précédent.

Le triple plus un d'un octogonal de rang n est un carré de rang (3n - 1).

Tout entier est octogonal ou est la somme d’au moins deux et d’au plus huit octogonaux. (Fermat)

Quarante-huit fois un octogonal de rang n plus 16 est un carré de rang (12n - 4).

L’ensemble des octogonaux forme une suite arithmétique de degré 2.

Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des octogonaux des éléments de la première ligne et celle de la troisième ligne sont identiques ; de même, la somme des octogonaux des éléments de la première colonne et celle de la troisième colonne sont identiques.

13

2

9

4

8

12

7

14

3


Soit O(n) un octogonal de rang n, O(13) + O(2) + O(9) = O(7) + O(14) + O(3) = 714 ; de même, O(13) + O(4) + O(7) = O(9) + O(12) + O(3) = 654. De ces égalités, on peut déduire, par exemple, que O(2) + O(9) - [ O(4) + O(7)] = 60. Pour écrire un octogonal, on peut adopter un exposant qui pourrait être h (huit) et la base serait le rang de l’octogonal. Par exemple, 13h serait égal à 481. Par rapport aux égalités précédentes, on peut écrire entre autres : 13h + 2h + 9h = 7h + 14h + 3h.

La suite des octogonaux est la même que celle des étoilés carrés. Certains nombres octogonaux sont octomorphes. Les octogonaux sont des nombres figurés.

© Charles-É. Jean

Index : O