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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Octogonal

° Nombre pyramidal octogonal – Nombre figuré qui est représenté par une pyramide dont la base est un octogone régulier. Les nombres pyramidaux octogonaux de dimensions 3, 4 et 5 sont définis.

n Nombre pyramidal octogonal D3 
Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers octogonaux. Le terme général est n(n + 1)(2n - 1)/2. Les 29 plus petits pyramidaux octogonaux sont :

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

 

1

9

30

70

135

231

364

540

765

1

1045

1386

1794

2275

2835

3480

4216

5049

5985

7030

2

8190

9471

10 879

12 420

14 100

15 925

17 901

20 034

22 330

24 795


Un nombre est pyramidal octogonal si on peut décomposer son double en trois facteurs : un entier, le suivant et la somme des deux entiers moins 2. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne l’octogonal de rang suivant. Par exemple, 5049 est un pyramidal octogonal car 5049 × 2 = 17 × 18 × 33. Il est au rang 17. Son successeur est 5049 + 936 = 5985. 

 

Voici quelques propriétés concernant les nombres de cette classe :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 20 chiffres : 19 005 140 556 455 069 500.

Les unités sont 0, 1, 4, 5, 6 et 9.

La somme des n premiers pyramidaux octogonaux est un hyperpyramidal octogonal de rang n.

La différence de deux pyramidaux octogonaux successifs est un octogonal.

Tout pyramidal octogonal est la différence de deux hyperpyramidaux octogonaux successifs.

L’ensemble des pyramidaux octogonaux forme une suite arithmétique de degré 3.

n Nombre pyramidal octogonal D4 
 Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers pyramidaux D3 octogonaux. Le terme général est n(n + 1)(n + 2)(3n - 1)/12. Les 10 plus petits pyramidaux D4 octogonaux sont : 1, 10, 40, 110, 245, 476, 840, 1380, 2145 et 3190. Autre appellation de nombre hyperpyramidal octogonal.

n Nombre pyramidal octogonal D5
Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers pyramidaux D4 octogonaux. Le terme général est n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(6n - 1)/120. Les 10 plus petits pyramidaux D5 octogonaux sont : 1, 11, 51, 161, 406, 882, 1722, 3102, 5247 et 8437. Les différences successives des suites à partir de la suite des pyramidaux D5 octogonaux sont :

© Charles-É. Jean

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