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n Lisez les articles publiés par Récréomath. Le dernier traite des dés à jouer. n Récréomath vous présente plus de 3650 problèmes, énigmes et jeux. n En 2009, Récréomath a reçu une moyenne de 2000 visiteurs par jour. n Vous pouvez vous procurer Évasions calculées et Enjeux de mots, deux livres de l'auteur. Description 1.05 et 1.14. * * * * * * * * Polygone Figure géométrique plane limitée par des segments. Ces segments sont les côtés du polygone. Un polygone peut être divisé en autant de triangles qu’il a de côtés moins deux. Par exemple, un pentagone peut être partagé en trois triangles.
Côtés qui ont la même longueur. Dans un triangle équilatéral, les trois côtés sont congrus. Dans un triangle rectangle isocèle, les deux côtés autres que l’hypoténuse sont congrus.
Point de rencontre de deux segments dans un polygone. Deux sommets qui se suivent sont dits consécutifs.
Segment de droite qui relie deux sommets non consécutifs dans un polygone. Voici un tableau qui donne le nombre de diagonales d dans un polygone à n côtés ou sommets lorsque n varie de 3 à 10 :
Un carré a deux diagonales ; un pentagone en a cinq ; un hexagone en a neuf. Pour trouver le nombre de diagonales dans un polygone de n côtés où n est plus grand ou égal à 3, on peut raisonner ainsi : À partir d’un sommet, on peut tracer (n - 3) diagonales. On exclut ainsi le sommet de départ et ses deux sommets consécutifs, tous trois ne pouvant pas être l’aboutissement d’une diagonale. Par exemple, à partir d’un sommet d’un décagone, on peut tracer 10 - 3 = 7 diagonales. Comme il y a 10 sommets, on fait 10 ´ 7 = 70. Comme chaque diagonale est comptée deux fois, on divise par 2. On fait 70 ¸ 2 = 35. Un décagone a 35 diagonales. On généralise ainsi : Dans un polygone de n côtés, le nombre de diagonales est égal à n(n - 3)/2. Pour trouver le nombre de diagonales d’un heptagone on fait : 7 ´ 4 ¸ 2 = 14. Connaissant le nombre de diagonales d d’un polygone à n côtés, le nombre de diagonales d’un polygone ayant un côté de plus est (n + d - 1). Lorsque le nombre de côtés est impair, on a successivement 3 ´ 0 = 0, 5 ´ 1 = 5, 7 ´ 2 = 14, 9 ´ 3 = 27, 11 ´ 4 = 44 diagonales. Lorsque le nombre de côtés est pair, on a successivement 4 ´ 1/2 = 2, 6 ´ 3/2 = 9, 8 ´ 5/2 = 20, 10 ´ 7/2 = 35, 12 ´ 9/2 = 54 diagonales. Le nombre de diagonales est un nombre triangulaire diminué de 1. Les diagonales issues d'un sommet divisent ce polygone en autant de triangles qu'il y a de côtés moins deux.
Angle formé par deux côtés issus du même sommet. La somme des angles intérieurs de certains polygones est donnée dans ce tableau.
De façon générale, la somme des angles intérieurs d’un polygone ayant n côtés est (n - 2)180º.
Angle formé par un côté et le prolongement du côté adjacent. La somme des mesures de l’angle intérieur d’un polygone et celles de l’angle extérieur adjacent est égale à 180 degrés ou deux droits.
La somme des angles intérieurs et extérieurs d’un polygone est égale au produit du nombre de côtés par deux droits ou 2n droits. Comme la somme des angles intérieurs est (n - 2)180º, on soustrait cette somme de 2n. La somme des angles extérieurs est égale à quatre droits ou 360º.
Un polygone est convexe lorsqu’il n’y a pas d’angle rentrant ou de partie rentrante. Quand on relie deux points quelconques situés à l’intérieur du polygone, tous les points de la droite sont à l’intérieur du polygone. La mesure de tout angle intérieur d'un polygone convexe est inférieure à 180 degrés.
Un polygone est concave quand il y a au moins un angle rentrant ou une partie rentrante. Quand on relie deux points quelconques situés à l’intérieur du polygone, certains points de la droite peuvent être à l’extérieur du polygone. Un polygone concave possède au moins un angle intérieur dont la mesure est supérieure à 180 degrés.
On nomme un polygone en fonction du nombre de ses côtés. Le tableau suivant donne le nom des polygones dont le nombre de côtés est égal ou inférieur à 12 :
Un polygone est régulier quand ses côtés sont congrus et que ses angles ont la même mesure. Un polygone régulier est équilatéral et équiangle. Le tableau suivant donne la mesure de l’angle extérieur et celle de l’angle intérieur pour certains polygones réguliers.
Par exemple, l’angle extérieur d’un pentagone régulier mesure 72°. Son angle intérieur est de 108°. Leur somme est de 180°.
Perpendiculaire abaissée du centre du polygone sur un côté. L'apothème d'un polygone régulier est égal à la longueur du côté multipliée par un coefficient déterminé par le nombre de côtés. Voici le coefficient pour certains polygones réguliers :
Par exemple, l'apothème d'un hexagone régulier est égal à la longueur du côté multipliée par 0,866. Dans un hexagone de 10 centimètres de côté, l'apothème est égal à : 10 × 0,866 = 8,66 centimètres.
L'aire d'un polygone régulier est égale au produit de son demi-périmètre par la longueur de son apothème. En effet, on peut décomposer le polygone en n triangles de même grandeur. L’aire d’un triangle est le demi-produit de sa base par sa hauteur, soit (b × h)/2. Le côté du polygone est la base ; l’apothème est la hauteur. Alors, l’aire du polygone est égale à (nb × h)/2, nb étant la mesure du périmètre et h la mesure de l’apothème. Le tableau suivant donne l’aire d’un polygone régulier lorsque le côté du polygone mesure une unité.
Soit un hexagone de 10 centimètres de côté, son aire est égale à : 6 × 10/2 × 8,66 = 259,8 centimètres carrés.
Les polygones remarquables sont : 1er le triangle, dont le triangle équilatéral, le triangle isocèle, le triangle rectangle, 2e le quadrilatère, dont le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme et le trapèze, 3e le pentagone régulier, 4e l’hexagone régulier. Voir aussi Polygone dans le Dictionnaire de mathématiques récréatives. © Charles-É. Jean
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