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Polygone

Figure géométrique plane limitée par des segments. Ces segments sont les côtés du polygone. Un polygone peut être divisé en autant de triangles qu’il a de côtés moins deux. Par exemple, un  pentagone peut être partagé en trois triangles.

Côtés congrus

Côtés qui ont la même longueur. Dans un triangle équilatéral, les trois côtés sont congrus. Dans un triangle rectangle isocèle, les deux côtés autres que l’hypoténuse sont congrus.

Sommet

Point de rencontre de deux segments dans un polygone. Deux sommets qui se suivent sont dits consécutifs.

Diagonale

Segment de droite qui relie deux sommets non consécutifs dans un polygone. Voici un tableau qui donne le nombre de diagonales d dans un polygone à n côtés ou sommets lorsque n varie de 3 à 10 :

n

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

d

0

2

5

9

14

20

27

35

44

54

Un carré a deux diagonales ; un pentagone en a cinq ; un hexagone en a neuf. 

Pour trouver le nombre de diagonales dans un polygone de n côtés où n est plus grand ou égal à 3, on peut raisonner ainsi : À partir d’un sommet, on peut tracer (n - 3) diagonales. On exclut ainsi le sommet de départ et ses deux sommets consécutifs, tous trois ne pouvant pas être l’aboutissement d’une diagonale. 

Par exemple, à partir d’un sommet d’un décagone, on peut tracer 10 - 3 = 7 diagonales. Comme il y a 10 sommets, on fait 10 ´ 7 = 70. Comme chaque diagonale est comptée deux fois, on divise par 2. On fait 70 ¸ 2 = 35. Un décagone a 35 diagonales. 

On généralise ainsi : Dans un polygone de n côtés, le nombre de diagonales est égal à n(n - 3)/2. Pour trouver le nombre de diagonales d’un heptagone, on fait : 7 ´ 4 ¸ 2 = 14.

Connaissant le nombre de diagonales d d’un polygone à n côtés, le nombre de diagonales d’un polygone ayant un côté de plus est (n + d - 1). Lorsque le nombre de côtés est impair, on a successivement 3 ´ 0 = 0, 5 ´ 1 = 5, 7 ´ 2 = 14, 9 ´ 3 = 27, 11 ´ 4 = 44 diagonales. Lorsque le nombre de côtés est pair, on a successivement 4 ´ 1/2 = 2, 6 ´ 3/2 = 9, 8 ´ 5/2 = 20, 10 ´ 7/2 = 35, 12 ´ 9/2 = 54 diagonales. 

Le nombre de diagonales est un nombre triangulaire diminué de 1.

Les diagonales issues d'un sommet divisent ce polygone en autant de triangles qu'il a de côtés moins deux.

Angle intérieur

Angle formé par deux côtés issus du même sommet. La somme des angles intérieurs de certains polygones est donnée dans ce tableau.

Polygone

Angles intérieurs

Triangle

180°

Carré

360°

Pentagone

540°

Hexagone

720°

Heptagone

900°

Octogone

1080°

De façon générale, la somme des angles intérieurs d’un polygone ayant n côtés est (n - 2)180º.

Angle extérieur

Angle formé par un côté et le prolongement du côté adjacent. La somme des mesures de l’angle intérieur d’un polygone et celles de l’angle extérieur adjacent est égale à 180 degrés ou deux droits.

La somme des angles intérieurs et extérieurs d’un polygone est égale au produit du nombre de côtés par deux droits ou 2n droits. Comme la somme des angles intérieurs est (n - 2)180º, on soustrait cette somme de 2n. La somme des angles extérieurs est égale à quatre droits ou 360º.

Polygone convexe

Un polygone est convexe lorsqu’il n’y a pas d’angle rentrant ou de partie rentrante. Quand on relie deux points quelconques situés à l’intérieur du polygone, tous les points de la droite sont à l’intérieur du polygone. La mesure de tout angle intérieur d'un polygone convexe est inférieure à 180 degrés.

Polygone concave

Un polygone est concave quand il y a au moins un angle rentrant ou une partie rentrante. Quand on relie deux points quelconques situés à l’intérieur du polygone, certains points de la droite peuvent être à l’extérieur du polygone. Un polygone concave possède au moins un angle intérieur dont la mesure est supérieure à 180 degrés.

Appellation des polygones

On nomme un polygone en fonction du nombre de ses côtés. Les deux le nom des polygones dont le nombre de côtés est égal ou inférieur à 12 :

3 côtés

4 côtés

5 côtés

6 côtés

7 côtés

triangle

quadrilatère

pentagone

hexagone

heptagone

 

8 côtés

9 côtés

10 côtés

11 côtés

12 côtés

octogone

ennéagone

décagone

hendécagone

dodécagone


Au-delà de 12 côtés, on parle généralement de polygone à n côtés. Toutefois, pour certains de ces polygones, des appellations existent. Voici le nom des polygones de 13 à 20 côtés :

13 côtés

14 côtés

15 côtés

16 côtés

tridécagone

tétradécagone

pentadécagone

hexadécagone

 

17 côtés

18 côtés

19 côtés

20 côtés

heptadécagone

octadécagone

ennéadécagone

icosagone

Polygone régulier

Un polygone est régulier quand ses côtés sont congrus et que ses angles ont la même mesure. Un polygone régulier est équilatéral et équiangle. Le tableau suivant donne la mesure de l’angle extérieur et celle de l’angle intérieur pour certains polygones réguliers.

Polygone régulier

Mesure de l’angle extérieur

Mesure de l’angle intérieur

Somme

Triangle équilatéral

120°

60°

180°

Carré

90°

90°

180°

Pentagone

72°

108°

180°

Hexagone

60°

120°

180°

Heptagone

51,43°

128,57°

180°

Octogone

45°

135°

180°

Décagone

36°

144°

180°

Dodécagone

30°

150°

180°

Par exemple, l’angle extérieur d’un pentagone régulier mesure 72°. Son angle intérieur est de 108°. Leur somme est de 180°.

Apothème d’un polygone régulier

Perpendiculaire abaissée du centre du polygone sur un côté. L'apothème d'un polygone régulier est égal à la longueur du côté multipliée par un coefficient déterminé par le nombre de côtés. Voici le coefficient pour certains polygones réguliers :

triangle

carré

pentagone

hexagone

heptagone

octogone

décagone

dodécagone

0,289

0,5

0,688

0,866

1,038

1,270

1,539

1,866

Par exemple, l'apothème d'un hexagone régulier est égal à la longueur du côté multipliée par 0,866. Dans un hexagone de 10 centimètres de côté, l'apothème est égal à : 10 × 0,866 = 8,66 centimètres.

Aire d’un polygone régulier

L'aire d'un polygone régulier est égale au produit de son demi-périmètre par la longueur de son apothème. En effet, on peut décomposer le polygone en n triangles de même grandeur. 

L’aire d’un triangle est le demi-produit de sa base par sa hauteur, soit (b × h)/2. Le côté du polygone est la base ; l’apothème est la hauteur. Alors, l’aire du polygone est égale à (nb × h)/2, nb étant la mesure du périmètre et h la mesure de l’apothème. Le tableau suivant donne l’aire d’un polygone régulier lorsque le côté du polygone mesure une unité.

triangle

carré

pentagone

hexagone

heptagone

octogone

décagone

dodécagone

0,433

1

1,721

2,598

3,634

4,828

7,694

11,196

Soit un hexagone de 10 centimètres de côté, son aire est égale à : 6 × 10/2 × 8,66 = 259,8 centimètres carrés.

Polygone inscrit
Un polygone est inscrit dans un cercle quand tous ses sommets sont sur le cercle.

Polygone circonscrit
Un polygone est circonscrit à un cercle quand tous ses côtés sont tangents au cercle. Le cercle est alors inscrit dans le polygone.

Longueur du côté d’un polygone inscrit dans un cercle
La longueur du côté d’un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon R est égale à R
Ö3. Sa valeur rapprochée est 1,732R.

La longueur du côté d’un carré inscrit dans un cercle de rayon R est égale à RÖ2. Sa valeur rapprochée est 1,414R.

La longueur du côté d’un hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R est égale à R.

La longueur du côté d’un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon R est égale au produit de R et de la racine carrée de (2 - Ö2). Sa valeur rapprochée est 0,765R.

Longueur de l’apothème d’un polygone inscrit dans un cercle
La longueur de l’apothème d’un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon R est égale à R/2.

La longueur de l’apothème d’un carré inscrit dans un cercle de rayon R est égale à RÖ2/2. Sa valeur rapprochée est 0,707R.

La longueur de l’apothème d’un hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R est égale à RÖ3/2. Sa valeur rapprochée est 0,866R.

La longueur de l’apothème d’un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon R est égale au produit de R/2 et de la racine carrée de (2 - Ö2). Sa valeur rapprochée est 0,382R.

Polygones remarquables

Les polygones remarquables sont : 

1er le triangle, dont le triangle équilatéral, le triangle isocèle, le triangle rectangle,

2e le quadrilatère, dont le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme et le trapèze,

3e le pentagone régulier,

4e l’hexagone régulier.

© Charles-É. Jean

Index : P

Voir aussi Polygone dans le Dictionnaire de mathématiques récréatives.