Problème 1. Placez les entiers de 1 à 8 dans les cellules du treillis pour que la somme soit l2 sur chacune des rangées de trois cellules.

Démarche. Les combinaisons d’entiers dont la somme est 12 sont :
1 + 3 + 8         1 + 4 + 7             1 + 5 + 6
2 + 3 + 7         2 + 4 + 6             3 + 4 + 5

La fréquence de 1, notée f(1), est 3, puisque le 3 apparaît trois fois, soit en 1, 4 et 6. Voici le détail des fréquences :

f(1) = 3                 f(2) = 2                 f(3) = 3             f(4) = 3
f(5) = 2                 f(6) = 2                 f(7) = 2             f(8) = 1

Le 8 apparaît nécessairement dans une des cellules supérieures à gauche ou à droite. On le place à gauche. Dans la case inférieure centrale, 1, 3 ou 4 doit apparaître. On rejette 4 à cause du 8. On complète le treillis en essayant 1, puis 3. On obtient deux solutions :

En plaçant 8 à droite, on obtient deux autres treillis, mais les solutions sont équivalentes à cause de la symétrie verticale.

Problème 2. Placez les entiers de 1 à 6 dans les cellules du treillis pour que la somme soit 10 sur chacun des quatre triangles.

Démarche 2. Les combinaisons d’entiers dont la somme est 10 sont :
1 + 3 + 6             1 + 4 + 5                    2 + 3 + 5

Chaque cellule centrale du grand triangle touche à trois triangles. Or, aucun nombre, dans les combinaisons, n’apparaît trois fois. Donc, il n’y a pas de solution.

© Charles-É. Jean

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