° Nombre centré triangulaire. – Nombre figuré qui peut être représenté par un ensemble de points disposés de façon régulière sur des triangles équilatéraux. Les nombres centrés triangulaires de dimension inférieure ou égale à 5 sont définis ci-après.

n Nombre centré triangulaire D1
Nombre centré linéaire ou de dimension 1 dont les points sont disposés sur les côtés d’un triangle équilatéral. Tout nombre de rang n de cette classe, sauf 1, est un multiple de 3. Le terme général, en excluant 1, est 3(n - 1). Les dix plus petits nombres de cette classe sont : 1, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27. Les quatre plus petits peuvent être représentés ainsi :

Pour trouver le rang d’un centré triangulaire D1, on divise le nombre par 3 et on additionne 1 au quotient. Pour trouver son successeur, on lui additionne 3. Par exemple, 21 est de rang 8 car 21 ÷ 3 = 7. Son successeur est 24. 

Voici quatre propriétés concernant cette classe de nombres :

Si on excepte le 1, la période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 10 chiffres tous différents : 3 692 581 470.

La somme des n plus petits centrés triangulaires D1 est un centré triangulaire D2 de rang n.

La somme de deux centrés triangulaires D1 successifs, en excluant 1, est égale à six fois le rang de plus petit moins 3.

Les nombres centrés triangulaires D1 forment une suite arithmétique de degré 1.

n Nombre centré triangulaire D2
Nombre centré plan ou de dimension 2 dont les points sont disposés sur les côtés parallèles de triangles équilatéraux, ayant en plus un point au centre. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés triangulaires D1. Le terme général est (3n² - 3n + 2)/2. Les cinq plus petits peuvent être représentés ainsi :

Les 49 plus petits centrés triangulaires D2 sont :

Un nombre est de cette classe si, lui ayant soustrait 1 et ayant divisé le résultat par 3, le quotient est un triangulaire. Son rang est supérieur de 1 à celui du triangulaire. Pour trouver son successeur, on lui additionne trois fois son rang. Par exemple, 316 est de cette classe car (316 - 1)/3 = 105 qui est le triangulaire de rang 14. Le nombre 316 est de rang 15. Son successeur est 316 + (3 × 15) = 361. 

Voici huit propriétés concernant cette classe de nombres :

La période des unités des nombres successifs correspond à un palindrome de 20 chiffres : 14 091 645 966 954 619 041.

Les unités sont 0, 1, 4, 5, 6 et 9.

La somme des n plus petits centrés triangulaires D2 est un centré triangulaire D3 de rang n.

La différence de deux centrés triangulaires D2 successifs est le triple du rang du plus petit.

Tout centré triangulaire D2 est la différence de deux centrés triangulaires D3 successifs.

Tout centré triangulaire D2 est la somme de trois triangulaires successifs.

Les nombres centrés triangulaires D2 forment une suite arithmétique de degré 2.

Lorsqu’on écrit une suite arithmétique dont le premier terme est 1 et la raison 3 en un triangle comme ci-dessous, les premiers termes de chaque ligne sont des nombres centrés triangulaires D2.

n Nombre centré triangulaire D3
Nombre centré solide ou de dimension 3 dont les points sont disposés sur un solide associé à un triangle équilatéral. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés triangulaires D2. Il peut être obtenu en découpant la suite des entiers successifs en 1, 2, 3, 4, ... groupes et en faisant leur somme : 1, 2 + 3, 4 + 5 + 6, 7 + 8 + 9 + 10, etc. Le terme général de rang n est n(n² + 1)/2. Les 29 plus petits centrés triangulaires D3 sont :

Un nombre est de cette classe si on peut décomposer son double en deux facteurs : un entier et le carré de cet entier plus 1. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne le centré triangulaire D2 de rang suivant. Par exemple, 2465 est un centré triangulaire car 2465 × 2 = 17 × (17² + 1). Il est au rang 17. Son successeur est 2465 + 460 = 2925. 

Voici sept propriétés concernant cette classe de nombres :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 20 chiffres : 15 545 150 951 059 565 590.

Les unités sont 0, 1, 4, 5, 6 et 9.

La somme des n plus petits centrés triangulaires D3 est un centré triangulaire D4 de rang n.

La différence de deux centrés triangulaires D3 successifs est un centré triangulaire D2.

Tout centré triangulaire D3 est la différence de deux centrés triangulaires D4 successifs.

Pour n ³ 3, tout nombre de cette classe est la densité d’un carré magique normal d’ordre n.

Les nombres centrés triangulaires D3 forment une suite arithmétique de degré 3.

n Nombre centré triangulaire D4
Nombre centré hypersolide ou solide de dimension 4 dont les points sont disposés sur un hypersolide associé à un triangle équilatéral. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés triangulaires D3. Le terme général est n(n + 1)(n² + n + 2)/8. Les 29 plus petits centrés triangulaires D4 sont :

Un nombre est de cette classe si on peut décomposer son octuple en trois facteurs : un entier, le suivant et le produit des deux entiers plus 2. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne le centré triangulaire D3 de rang suivant. Par exemple, 11 781 est un triangulaire car 11 781 × 8 = 17 × 18 × (17 × 18 + 2). Il est au rang 17. Son successeur est 11 781 + 2925 = 14 706. 

Voici cinq propriétés concernant cette classe de nombres :

Les chiffres des unités sont 0, 1, 5 et 6.

La somme des n plus petits centrés triangulaires D4 est un centré triangulaire D5 de rang n.

La différence de deux centrés triangulaires D4 successifs est un centré triangulaire D3.

Tout centré triangulaire D4 est la différence de deux triangulaires D5 successifs.

Les nombres centrés triangulaires D4 forment une suite arithmétique de degré 4.

n Nombre centré triangulaire D5
Nombre centré solide D5 ou de dimension 5 dont les points sont disposés sur un solide de dimension 5 associé à un triangle équilatéral. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés triangulaires D4. Le terme général est n(n + 1)(n + 2)(3n² + 6n + 11)/120. Les 10 plus petits centrés triangulaires D5 sont : 1, 7, 28, 83, 203, 434, 840, 1506, 2541 et 4081. Les différences successives des suites à partir de la suite des centrés triangulaires D5 sont :

© Charles-É. Jean

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