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Ennéagonal
° Nombre ennéagonal.
– Nombre
polygonal qui est engendré par un ennéagone régulier. Tout nombre de
rang n de cette classe est la somme des n premiers gnomoniques
ennéagonaux. Le terme général est n(7n - 5)/2. Les 39 plus
petits ennéagonaux sont :
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0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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0 |
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1 |
9 |
24 |
46 |
75 |
111 |
154 |
204 |
261 |
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1 |
325 |
396 |
474 |
559 |
651 |
750 |
856 |
969 |
1089 |
1216 |
|
2 |
1350 |
1491 |
1639 |
1794 |
1956 |
2125 |
2301 |
2484 |
2674 |
2871 |
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3 |
3075 |
3286 |
3504 |
3729 |
3961 |
4200 |
4446 |
4699 |
4959 |
5226 |
Un nombre est ennéagonal si on peut décomposer son double
en deux facteurs : un entier et sept fois l’entier moins 5. Son rang est
le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne sept fois
le rang suivant moins 6. Par exemple, 396 est un décagonal car 396 × 2 =
11 × 72. Il est de rang 11. Son successeur est 396 + (7 × 12) - 6 = 474.
Voici quelques
propriétés concernant les nombres de cette classe :
La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 20
chiffres dont deux palindromes : 194 651 44 156 491 et 069 960.
Les unités sont 0, 1, 4, 5, 6 et 9.
La somme des n premiers ennéagonaux est un pyramidal
ennéagonal de rang
n.
La différence de deux ennéagonaux successifs est un gnomonique ennéagonal.
Tout ennéagonal est la différence de deux pyramidaux ennéagonaux successifs.
Tout entier est ennéagonal ou est la somme d’au moins deux ennéagonaux et d’au
plus neuf ennéagonaux. (Fermat)
La somme de 56 fois un ennéagonal de rang n et de 25 est un carré de
rang (14n - 5).
L’ensemble des ennéagonaux forme une suite arithmétique de degré 2.
Dans un carré magique
d’ordre 3, la somme des ennéagonaux des éléments de la première ligne et
celle de la troisième ligne sont identiques ; de même, la somme des
ennéagonaux des éléments de la première colonne et celle de la troisième
colonne sont identiques.
Soit E(n)
un ennéagonal de rang n, E(13) + E(2) + E(9) = E(7) + E(14) +
E(3) = 829 ; de même, E(13) + E(4) + E(7) = E(9) + E(12) + E(3) =
759. De ces égalités, on peut déduire, par exemple, que E(2) + E(9)
- [E(4) + E(7)] = 70. Pour écrire un ennéagonal, on peut adopter
un exposant qui pourrait être n (neuf) et la base serait le rang
de l’ennéagonal. Par exemple, 13n serait égal à
559. Par rapport aux égalités précédentes, on peut écrire entre
autres : 13n + 2n + 9n
= 7n + 14n + 3n.
Les ennéagonaux sont
des nombres figurés.
© Charles-É. Jean
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: E
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