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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Diagonale

1e Dans une grille carrée d’ordre n, toute séquence de n éléments alignés qui ne forment pas une rangée orthogonale. Les diagonales qui joignent deux sommets non consécutifs sont dites principales. Ces diagonales peuvent être ascendantes ou descendantes

Dans la grille ci-dessous, les deux quadruplets (1, 6, 11, 16) et (4, 7, 10, 13) sont les diagonales principales. Chaque paire de deux rangées parallèles à une diagonale principale et comptant n éléments est appelée diagonale brisée. Les six quadruplets (1, 8, 11, 14), (2, 5, 12, 15), (3, 6, 9, 16), (4, 5, 10, 15), (3, 8, 9, 14) et (2, 7, 12, 13) sont des diagonales brisées.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Une grille carrée d'ordre n a deux diagonales principales et 2(n - 1) diagonales brisées. Le nombre total de diagonales est 2n.

2e Dans une grille rectangulaire m ´ nm est plus petit que n, toute séquence de m éléments alignés qui ne forment pas une rangée orthogonale. Les diagonales dont les éléments sont disposés en une seule rangée sont dites principales. Ces diagonales peuvent être ascendantes ou descendantes. 

Dans la grille ci-dessous, les quatre diagonales principales sont représentés par les triplets (1, 6, 11), (2, 7, 12), (3, 6, 9) et (4, 7, 10). Chaque paire de deux rangées parallèles à une diagonale principale et comptant m éléments forme une diagonale brisée. Les quatre diagonales brisées sont représentées par les triplets (1, 8, 11), (2, 5, 12), (4, 5, 10) et (3, 8, 9).

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Dans une grille rectangulaire m ´ n m est plus petit que n, on compte 2(n - m + 1) diagonales principales et 2(m - 1) diagonales brisées, chacune ayant m éléments. Le nombre total de diagonales est 2n.

3e Dans un polygone, segment de droite qui joint deux sommets non consécutifs. Voici le nombre de diagonales par classe de polygones :

 

Trian-
gle

Quadri-
latère

Penta-
gone

Hexa-
gone

Hepta-
gone

Octo-
gone

Enné-
agone

Déca-
gone

n

3

4

5

6

7

8

9

10

Diagonales d

0

2

5

9

14

20

27

35

Quand on passe d’un polygone à n côtés à un polygone à (n + 1) côtés, le nombre de diagonales augmente successivement de 2, 3, 4, 5, 6, etc. 

Connaissant le nombre de diagonales d d’un polygone à n côtés, pour trouver le nombre de diagonales d’un polygone à (n + 1) côtés, on fait n + d - 1. Par exemple, le nombre de diagonales d’un décagone est égal à 9 + 27 - 1 = 35. De façon générale, le nombre de diagonales dans un polygone de n côtés est égal à n(n - 3)/2.

© Charles-É. Jean

Index : D

Voir aussi Diagonale dans l'Aide-mémoire.