395. Carré d’un nombre

Comment savoir si un nombre est un carré ? (1)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On soustrait 1.

• On cherche si le résultat peut être décomposé en produit de deux nombres qui diffèrent de 2.

• Si oui, le nombre donné est un carré. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 189 le nombre choisi. On fait : 189 – 1 = 188. Il n’existe pas de facteurs qui diffèrent de 2. Le nombre 189 n’est pas un carré.

Soit 289 le nombre choisi. On fait : 289 – 1 = 288. On peut écrire : 16 × 18 = 288. Le nombre 289 est un carré.

396. Carré d’un nombre

Comment savoir si un nombre est un carré ? (2)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On soustrait 1. On note le résultat.

• On extrait la racine carrée. On retient la partie entière.

• On additionne 2 à la partie entière.

• On multiplie les deux derniers résultats.

• Si le produit est égal au résultat noté, le nombre donné est un carré ; sinon, il ne l’est pas.

Soit 138 le nombre choisi. On fait 138 – 1 = 137, Ö137 = 11,70, 11 + 2 = 13 et 11 × 13 = 143. Le nombre 138 n’est pas un carré.

Soit 529 le nombre choisi. On fait : 529 – 1 = 528, Ö528 = 22,97, 22 + 2 = 24 et 22 × 24 = 528. Le nombre 529 est un carré.

397. Carré d’un nombre

Comment trouver un carré sans élever au carré ? (1)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne 1.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

• On additionne le résultat de la deuxième ligne.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 + 1 = 8, 7 × 8 = 56 et 56 + 8 = 64. Le nombre 64 est un carré, soit celui de 8.

398. Carré d’un nombre

Comment trouver un carré sans élever au carré ? (2)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne 2.

• On multiplie par le nombre choisi.

• On additionne 1.

Soit 11 le nombre choisi. On fait : 11 + 2 = 13, 11 × 13 = 143 et 143 + 1 = 144. Le nombre 144 est un carré, soit celui de 12.

399. Carré d’un nombre

Comment trouver un carré sans élever au carré ? (3)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne 2.

• On multiplie par le nombre choisi.

• On multiplie le nombre choisi par 2.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On additionne 4.

Soit 8 le nombre choisi. On fait : 8 + 2 = 10, 10 × 8 = 80, 8 × 2 = 16, 80 + 16 = 96 et 96 + 4 = 100. Le nombre 100 est un carré, soit celui de 10.

400. Carré d’un nombre

Comment trouver un carré sans élever au carré ? (4)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne 3.

• On multiplie par le nombre choisi.

• On soustrait le nombre choisi.

• On additionne 1.

Soit 12 le nombre choisi. On fait : 12 + 3 = 15, 15 × 12 = 180, 180 – 12 = 168 et 168 + 1 = 169. Le nombre 169 est un carré, soit celui de 13.

401. Carré d’un nombre

Comment trouver un carré sans élever au carré ? (5)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne 3.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

• On additionne le nombre choisi.

• On additionne 4.

Soit 6 le nombre choisi. On fait : 6 + 3 = 9, 6 × 9 = 54, 54 + 6 = 60 et 60 + 4 = 64. Le nombre 64 est un carré, soit celui de 8.

402. Carré d’un nombre

Comment trouver un carré sans élever au carré ? (6)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne 4.

• On multiplie par le nombre choisi.

• On additionne 4.

Soit 21 le nombre choisi. On fait : 21 + 4 = 25, 25 × 21 = 525 et 525 + 4 = 529. Le nombre 529 est un carré, soit celui de 23.

403. Carré d’un nombre

Comment trouver un carré sans élever au carré ? (7)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne 5.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

• On additionne le nombre choisi.

• On additionne 9.

Soit 10 le nombre choisi. On fait : 10 + 5 = 15, 10 × 15 = 150, 150 + 10 = 160 et 160 + 9 = 169. Le nombre 169 est un carré, soit celui de 13.

404. Carré d’un nombre

Comment trouver un carré sans élever au carré ? (8)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par le nombre qui précède.

• On multiplie par 4.

• On additionne 1.

Soit 11 le nombre choisi. On fait : 11 × 10 = 110, 110 × 4 = 440 et 440 + 1 = 441. Le nombre 441 est un carré, soit celui de 21.

405. Carré d’un nombre

Comment trouver un carré sans élever au carré ? (9)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par son successeur.

• On multiplie le nombre choisi par 3.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On additionne 4.

Soit 10 le nombre choisi. On fait : 10 × 11 = 110, 10 × 3 = 30, 110 + 30 = 140 et 140 + 4 = 144. Le nombre 144 est un carré, soit celui de 12.

406. Carré d’un nombre

Comment trouver un carré sans élever au carré ? (10)

Étapes

• Pour chaque carré de base n, on écrit n nombres consécutifs impairs à partir de 1.

• On additionne les nombres de chaque ligne.

Voici les cinq premiers carrés :

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

407. Carré d’un nombre

Comment trouver un carré sans élever au carré ? (11)

Étapes

• On choisit un nombre n.

• On additionne des nombres consécutifs à partir de 1 jusqu’à n.

• On additionne les nombres consécutifs à partir de 1 jusqu’au (n – 1).

• On additionne les deux derniers résultats.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 et 28 + 21= 49. Le nombre 49 est un carré.

408. Carré d’un nombre

Comment trouver un carré sans élever au carré ? (12)

Étapes

• On trace une grille carrée ou rectangulaire.

• On choisit deux nombres consécutifs qui sont des bases.

• On colore en escalier les cases qui correspondent aux nombres choisis.

• On compte les cases non colorées.

• Du nombre de cases de la grille, on soustrait le dernier résultat.

Soit à colorer une figure de base 5 et une autre de base 4. On trace une grille 5 × 6, soit de 30 cases.

On colore successivement 1, 2, 3, 4, 5 cases, puis 4, 3, 2, 1 cases. Il reste cinq cases non colorées. On fait : 30 – 5 = 25. Le nombre 25 est un carré.

409. Carré d’un nombre

Comment trouver un carré dont on connaît le prédécesseur et le successeur sans élever au carré ?

Étapes

• On prend les deux carrés.

• On additionne l’un à l’autre les deux carrés.

• On soustrait 2.

• On divise par 2.

Soit 25 et 49 les carrés choisis. On fait : 25 + 49 = 74, 74 – 2 = 72 et 72 ¸ 2 = 36. Le carré du milieu est 36.

410. Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre sans élever ce nombre au carré ? (1)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On soustrait 1.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats.

• On additionne 1.

Soit à trouver le carré de 13. On fait : 13 – 1 = 12, 13 + 1 = 14, 12 × 14 = 168 et 168 + 1 = 169. Le carré est 169.

411. Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre sans élever ce nombre au carré ? (2)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On soustrait 1. On note le résultat.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On additionne le nombre choisi.

• On additionne le résultat noté.

Soit à trouver le carré de 23. On fait : 23 – 1 = 22, 22 × 22 = 484, 484 + 23 = 507 et 507 + 22 = 529. Le carré est 529.

412. Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre sans élever ce nombre au carré ? (3)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par 2.

• On multiplie par le nombre choisi.

• On divise par 2.

Soit à trouver le carré de 15. On fait : 15 × 2 = 30, 30 × 15 = 450 et 450 ÷ 2 = 225. Le carré est 225.

413. Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre sans élever ce nombre au carré ? (4)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par son prédécesseur.

• On additionne le nombre choisi.

Soit à trouver le carré de 14. On fait : 14 × 13 = 182 et 182 + 14 = 196. Le carré de 14 est 196.

414. Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre sans élever ce nombre au carré ? (5)

Étapes

• On choisit un nombre n.

• On écrit n nombres impairs consécutifs à partir de 1.

• On additionne les nombres de la suite.

Soit à trouver le carré de 9. On fait : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81. Le carré est 81.

415. Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre pair sans élever ce nombre au carré ? (1)

Étapes

• On choisit un nombre pair.

• On divise par 2.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On multiplie par 4.

Soit à trouver le carré de 14. On fait : 14 ÷ 2 = 7, 7 × 7 = 49 et 49 × 4 = 196. Le carré est 196.

416. Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre pair sans élever ce nombre au carré ? (2)

Étapes

• On choisit un nombre pair.

• On divise par 2.

• On multiplie le nombre choisi par 2.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

Soit à trouver le carré de 36. On fait : 36 ÷ 2 = 18, 36 × 2 = 72 et 72 × 18 = 1296. Le carré est 1296.

417. Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre impair sans élever ce nombre au carré ? (1)

Étapes

• On choisit un nombre impair.

• On soustrait 1.

• On divise par 2. On note le résultat.

• On multiplie le nombre choisi par 2.

• On multiplie par le résultat noté.

• On additionne le nombre choisi.

Soit à trouver le carré de 13. On fait : 13 – 1 = 12, 12 ÷ 2 = 6, 13 × 2 = 26, 26 × 6 = 156 et 156 + 13 = 169. Le carré est 169.

418. Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre impair sans élever ce nombre au carré ? (2)

Étapes

• On choisit un nombre impair.

• On soustrait 1. On note le résultat.

• On divise par 2.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On multiplie par 4.

• On additionne le résultat noté.

• On additionne le nombre choisi.

Soit à trouver le carré de 19. On fait : 19 – 1 = 18, 18 ÷ 2 = 9 et 9 × 9 = 81. On fait : 81 × 4 = 324, 324 + 18 = 342 et 342 + 19 = 361. Le carré est 361.

419. Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre de deux chiffres sans élever ce nombre au carré ? (1)

Étapes

• On additionne le nombre choisi et son unité.

• On multiplie par la dizaine.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On multiplie l’unité par elle-même.

• On additionne les deux résultats précédents.

Soit à trouver le carré de 43. On fait : 43 + 3 = 46 et 46 × 4 = 184. On écrit 1840. On fait : 3 × 3 = 9 et 1840 + 9 = 1849. Le carré est 1849.

420. Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre de deux chiffres sans élever ce nombre au carré ? (2)

Étapes

• On multiplie la dizaine du nombre choisi par elle-même.

• On ajoute deux 0 à la fin. On note le résultat.

• On multiplie l’un par l’autre les deux chiffres.

• On multiplie par 2.

• On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.

• On multiplie l’unité par elle-même. On note le résultat.

• On additionne les trois résultats notés.

Soit à trouver le carré de 47. On fait : 4 × 4 = 16. On note 1600. On fait : 4 × 7 = 28 et 28 × 2 = 56. On note 560. On fait : 7 × 7 = 49. On note 49. On fait : 1600 + 560 + 49 = 2209. Le carré est 2209.

421. Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre de deux chiffres sans élever ce nombre au carré ? (3)

Étapes

• On additionne le nombre choisi et son unité.

• On multiplie la dizaine du nombre choisi par celle du résultat précédent.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On multiplie la dizaine du nombre choisi par l’unité du résultat de la première ligne.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On multiplie l’unité du nombre choisi par elle-même.

• On additionne les deux résultats précédents.

Soit à trouver le carré de 57. On fait : 57 + 7 = 64. On fait : 5 × 6 = 30. On écrit 300. On fait : 5 x 4 = 20, 300 + 20 = 320. On écrit 3200. On fait : 7 x 7 = 49 et 3200 + 49 = 3249. Le carré est 3249.

422. Carré d’un nombre

Comment trouver le carré d’un nombre de trois chiffres sans élever ce nombre au carré ?

Étapes

• On choisit un multiple de 100 immédiatement supérieur au nombre à élever au carré.

• Du multiple, on soustrait le nombre à élever au carré.

• On fait la différence entre le nombre à élever au carré et le résultat précédent.

• On multiplie par le multiple choisi.

• On multiplie le résultat de la deuxième ligne par lui-même.

• On additionne les deux résultats précédents.

Soit à trouver le carré de 492. Le multiple choisi est 500. On fait : 500 – 492 = 8, 492 – 8 = 484, 484 × 500 = 242 000, 8 × 8 = 64 et 242 000 + 64 = 242 064. Le carré est 242 064.

423. Carré consécutif

Comment trouver le carré qui suit un carré dont on connaît la base ?

Étapes

• On élève la base au carré. On note le résultat.

• On multiplie la base du carré par 2.

• On additionne 1.

• On additionne le résultat noté.

Soit le carré de base 7. On fait : 7² = 49, 7 × 2 = 14, 14 + 1 = 15 et 15 + 49 = 64. Le carré qui suit celui de base 7 est 64.

424. Carré consécutif

Comment trouver le carré qui suit un carré  dont on connaît la base et le carré ? (1)

Étapes

• On multiplie par 2 la base du carré.

• On additionne le carré.

• On additionne 1.

Soit le carré de base 14 qui est 196. On fait : 14 × 2 = 28, 28 + 196 = 224 et 224 + 1 = 225. Le carré qui suit celui de base 14 est 225.

425. Carré consécutif

Comment trouver le carré qui suit un carré  dont on connaît la base et le carré ? (2)

Étapes

• On additionne la base du carré et la base suivante.

• On additionne le carré.

Soit le carré de base 15 qui est 225. On fait : 15 + 16 = 31 et 31 + 225 = 256. Le carré qui suit celui de rang 15 est 256.

426. Nombres formés de 1

Comment trouver le carré d’un nombre formé de 1 sans élever ce nombre au carré ?

Étapes

• On choisit un nombre formé de 1, sans dépasser neuf 1.

• On écrit les chiffres consécutifs à partir de 1 en s’arrêtant au chiffre qui correspond à la quantité de chiffres du nombre à élever au carré.

• À la suite, on écrit les chiffres en ordre décroissant jusqu’à 1.

Soit à trouver le carré de 11 111. On écrit 12 345, puis 4321. Le carré est 123 454 321.

427. Nombres formés de la dizaine 1

Comment trouver le carré d’un nombre de deux chiffres dont la dizaine est 1 sans élever ce nombre au carré ?

Étapes

• On additionne le nombre choisi et son unité.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On multiplie l’unité par elle-même.

• On additionne le résultat de la deuxième ligne.

Soit à trouver le carré de 17. On fait : 17 + 7 = 24. On écrit 240. On fait : 7 × 7 = 49 et 49 + 240 = 289. Le carré de 17 est 289.

428. Nombres formés de 3

Comment trouver le carré d’un nombre formé uniquement de 3 sans élever ce nombre au carré ?

Étapes

• On écrit 1 autant de fois, moins 1, que le nombre à élever au carré.

• On écrit un 0.

• On écrit 8 autant de fois, moins 1, que le nombre à élever au carré.

• On écrit un 9.

Soit à trouver le carré de 33 333. On écrit quatre 1, un 0, quatre 8 et un 9. Le carré est 1 111 088 889.

429. Nombres formés de 3 et d’un 4

Comment trouver le carré d’un nombre formé de 3 et dont l’unité est 4 sans élever ce nombre au carré ?

Étapes

• On écrit 1 autant de fois que le nombre a de chiffres.

• On écrit 5 autant de fois que le nombre a de 3.

• On écrit le chiffre 6.

Soit à trouver le carré de 33 334. On écrit cinq 1, quatre 5 et un 6. Le résultat est 1 111 155 556. Le carré est 1 111 155 556.

430. Nombres formés d’unité 5

Comment trouver le carré d’un nombre dont l’unité est 5 sans élever ce nombre au carré ? (1)

Étapes

• On multiplie le nombre amputé du 5 par son successeur.

• On ajoute 25 à la fin.

Soit à trouver le carré de 85. On fait : 8 × 9 = 72. On ajoute 25 à la fin : cela donne 7225. Le carré est 7225.

431. Nombres formés d’unité 5

Comment trouver le carré d’un nombre dont l’unité est 5 sans élever ce nombre au carré ? (2)

Étapes

• On multiplie le nombre amputé du 5 par lui-même.

• On additionne le nombre amputé du 5.

• On ajoute 25 à la fin.

Soit à trouver le carré de 125. On fait : 12 × 12 = 144 et 144 + 12 = 156. On ajoute 25. Le carré est 15 625.

432. Nombres formés de 9

Comment trouver le carré d’un nombre formé de 9 sans élever ce nombre au carré ?

Étapes

• On écrit le chiffre 9 autant de fois, moins 1, que le nombre à élever au carré.

• On écrit un 8.

• On écrit le chiffre 0 autant de fois, moins 1, que le nombre à élever au carré.

• On écrit un 1.

Soit à trouver le carré de 99 999. On écrit quatre 9, un 8, quatre 0 et un 1. Le carré est 9 999 800 001.

433. Nombres formés d’unité 9

Comment trouver le carré d’un nombre de deux chiffres dont l’unité est 9 sans élever ce nombre au carré ?

Étapes

• On additionne 1 à la dizaine du nombre.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On additionne à lui-même le résultat de la première ligne.

• On soustrait l’un de l’autre les deux derniers résultats.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On additionne 1.

Soit à trouver le carré de 79. On fait : 7 + 1 = 8 et 8 × 8 = 64. On écrit 640. On fait : 8 + 8 = 16, 640 – 16 = 624. On écrit 6240. On fait : 6240 + 1 = 6241. Le carré est 6241.

434. Nombres de dizaine 9

Comment trouver le carré d’un nombre de deux chiffres dont la dizaine est 9 sans élever ce nombre au carré ?

Étapes

• De 10, on soustrait l’unité.

• On multiplie par 2.

• De 100, on soustrait le résultat précédent.

• On ajoute deux 0 à la fin.

• On multiplie par lui-même le résultat de la première ligne.

• On additionne les deux derniers résultats.

Soit à trouver le carré de 97. On fait : 10 – 7 = 3, 3 × 2 = 6 et 100 – 6 = 94. On écrit 9400. On fait : 3 × 3 = 9 et 9400 + 9 = 9409. Le carré est 9409.

435. Nombre de carrés

Comment trouver la quantité de carrés inférieurs à un nombre donné ?

Étapes

· On extrait la racine carrée du nombre donné.

• Si la racine carrée est un entier, on soustrait 1. Sinon, on conserve la partie entière.

Soit à trouver le nombre de carrés inférieurs à 863. On fait : √863 = 29,38. La partie entière est 29. Il y a 29 carrés inférieurs à 863.

436. Addition de carrés

Comment savoir si un nombre premier est la somme de deux carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On divise par 4.

• Si la décimale est 0,25, le nombre est la somme de deux carrés. Sinon, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 61 est la somme de deux carrés. On fait : 61 ÷ 4 = 15,25. Le nombre 61 est la somme de deux carrés. On peut écrire : 5² + 6² = 61.

437. Addition de carrés

Comment savoir si un nombre peut être la somme de deux carrés consécutifs ?

Étapes

• On choisit un nombre.

· On divise par 2.

· On extrait la racine carrée.

· On additionne le carré de la partie entière du résultat et le carré de l’entier suivant.

· Si le résultat est égal au nombre donné, ce dernier est la somme de deux carrés consécutifs. Sinon, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 1556 est la somme de deux carrés consécutifs. On fait : 1556 ÷ 2 = 778, √778 = 27,89 et 27² + 28² = 1513. Le nombre 1556 n’est pas la somme de deux carrés consécutifs.

Soit à savoir si 2113 est la somme de deux carrés consécutifs. On fait : 2113 ÷ 2 = 1056,5. On fait : √1056,5 = 32,50 et 32² + 33² = 2113. Le nombre 2113 est la somme de deux carrés consécutifs.

438. Addition d’un nombre et de son carré

Comment trouver la somme d’un nombre et de son carré sans élever au carré ?

Étapes

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On multiplie par le nombre choisi.

Soit à trouver la somme de 13 et du carré de 13. On fait : 13 + 1 = 14 et 14 × 13 = 182. La somme est 182.

439. Addition de deux carrés

Comment trouver la somme de deux nombres élevés au carré sans effectuer le carré de ces nombres ? (1)

Étapes

• On multiplie l’un par l’autre les deux nombres choisis.

• On multiplie par 2. On note le résultat.

• On soustrait l’un de l’autre les deux nombres.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On additionne le résultat noté.

Soit à trouver la somme des carrés de 8 et de 15. On fait : 8 × 15 = 120 et 120 × 2 = 240. On fait : 15 – 8 = 7, 7 × 7 = 49 et 49 + 240 = 289. La somme est 289.

440. Addition de deux carrés

Comment trouver la somme de deux nombres élevés au carré sans effectuer le carré de ces nombres ? (2)

Étapes

• On additionne l’un à l’autre les deux nombres choisis.

• On multiplie le résultat par lui-même. On note le résultat.

• On multiplie l’un par l’autre les deux nombres donnés.

• On multiplie par 2. On note le résultat.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats notés.

Soit à trouver la somme des carrés de 31 et de 22. On fait : 31 + 22 = 53, 53 × 53 = 2809. On note 2809. On fait : 31 × 22 = 682 et 682 × 2 = 1364. On note 1364. On fait : 2809 – 1364 = 1445. La somme est 1445.

441. Addition de deux carrés

Comment trouver la somme de deux nombres de deux chiffres qu’on élève au carré sans effectuer le carré de ces nombres ? (1)

Étapes

• On multiplie chacune des dizaines par elle-même.

• On additionne les deux résultats.

• On ajoute deux zéros à la fin. On note le résultat.

• On multiplie les chiffres de chacun des nombres choisis.

• On additionne les deux résultats.

• On multiplie par 2.

• On ajoute un zéro à la fin. On note le résultat.

• On multiplie chacune des unités par elle-même.

• On additionne les deux produits. On note le résultat.

• On additionne les trois résultats notés.

Soit à trouver la somme des carrés de 26 et de 37. On fait : 2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9 et 4 + 9 = 13. On note 1300. On fait : 2 × 6 = 12, 3 × 7 = 21, 12 + 21 = 33 et 33 × 2 = 66. On note 660. On fait : 6 × 6 = 36, 7 × 7 = 49 et 36 + 49 = 85. On note 85. On fait : 1300 + 660 + 85 = 2045. La somme est 2045.

442. Addition de deux carrés

Comment trouver la somme de deux nombres de deux chiffres qu’on élève au carré sans effectuer le carré de ces nombres ? (2)

Étapes

• On choisit un nombre dont l’unité n’est pas 0  et qui est entre 10 et 59.

• On soustrait 1 à l’unité du nombre choisi : c’est la dizaine du deuxième nombre.

• De 10, on soustrait la dizaine du nombre choisi : c’est l’unité du deuxième nombre.

• On compose ce nombre.

• On élève au carré chacun des chiffres du nombre choisi et on fait la somme.

• On accole le même nombre.

Soit à trouver la somme des carrés de 39 et d’un second nombre. On fait : 9 – 1 = 8 et 10 – 3 = 7. Le second nombre est 87. On fait : 3² + 9² = 90. La somme est 9090. En effet, 39² + 87² = 9090.

443. Addition de deux carrés

Comment trouver la somme de deux carrés consécutifs quand on connaît le plus petit ?

Étapes

• On choisit un carré.

• On extrait sa racine carrée.

• On additionne les deux résultats.

• On multiplie par 2.

• On additionne 1.

Soit à trouver la somme du carré 49 et de son successeur. On fait : √49 = 7, 49 + 7 = 56, 56 × 2 = 112 et 112 + 1 = 113. La somme est 113. En effet, 49 + 64 = 113.

444. Addition de deux carrés

Comment trouver la somme de deux carrés consécutifs quand on connaît le plus petit carré et sa racine ?

Étapes

• On additionne le plus petit carré et sa racine.

• On multiplie par 2.

• On additionne 1.

Soit à trouver la somme de 121, le carré de 11, et de son successeur. On fait : 121 + 11 = 132, 132 × 2 = 264 et 264 + 1 = 265. La somme est 265.

445. Addition de deux carrés

Comment trouver la somme de deux carrés consécutifs quand on connaît leurs bases ?

Étapes

· On multiplie l’une par l’autre les deux bases choisies.

· On multiplie par 2.

· On additionne 1.

Soit à trouver la somme des carrés de 12 et de 13. On fait : 12 × 13 = 156, 156 × 2 = 312 et 312 + 1 = 313. La somme est 313.

446. Addition de deux carrés

Comment trouver la somme de deux carrés dont la différence des bases est 2 ?

Étapes

· On multiplie l’une par l’autre les deux bases choisies.

· On multiplie par 2.

· On additionne 4.

Soit à trouver la somme des carrés de 11 et de 13. On fait : 11 × 13 = 143, 143 × 2 = 286 et 286 + 4 = 290. La somme est 290.

447. Addition de deux carrés

Comment trouver la somme de deux carrés dont la différence des bases est 3 ?

Étapes

· On multiplie l’une par l’autre les deux bases choisies.

· On multiplie par 2.

· On additionne 9.

Soit à trouver la somme des carrés de 11 et de 14. On fait : 11 × 14 = 154, 154 × 2 = 308 et 308 + 9 = 317. La somme est 317.

448. Addition de deux carrés

Comment trouver la somme du carré d’un nombre de deux chiffres et du carré de son renversé sans avoir besoin du renversé ?

Étapes

· On multiplie l’un par l’autre les deux chiffres du nombre choisi.

· On multiplie par 4.

· On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.

· On additionne le carré des chiffres du nombre choisi.

· On ajoute deux 0 à la fin.

· On additionne les deux derniers résultats.

· On additionne le résultat noté.

Soit à trouver la somme du carré de 58 et de celui de son renversé. On fait : 5 × 8 = 40 et 40 × 4 = 160. On note 1600. On fait : 25 + 64 = 89. On écrit 8900. On fait : 89 + 8900 = 8989 et 8989 + 1600 = 10 589. La somme est 10 589.

449. Addition de trois carrés

Comment trouver la somme de trois carrés consécutifs quand on connaît seulement les bases des carrés ?

Étapes

· On multiplie la première base par la dernière.

· On additionne 1.

· On multiplie par 3.

· On additionne 2.

Soit à trouver la somme des carrés de 12, 13 et 14. On fait : 12 × 14 = 168, 168 + 1 = 169, 169 × 3 = 507 et 507 + 2 = 509. La somme est 509.

450. Addition de carrés

Comment trouver la somme de carrés consécutifs à partir de 1 jusqu'à la base du dernier carré ?

Étapes

• On multiplie la base du dernier carré par 2.

• On additionne 1.

• On multiplie par la base du dernier carré.

• On multiplie par la base qui suit celui du dernier carré.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme des carrés de 1 à 9. On fait : 9 × 2 = 18, 18 + 1 = 19, 19 × 9 = 171, 171 × 10 = 1710 et 1710 ÷ 6 = 285. La somme est 285.

451. Addition de carrés  

Comment trouver deux nombres consécutifs dont on connaît la somme de leurs carrés ? (1)

Étapes

• On soustrait 1 à la somme.

• On divise par 2.

• On extrait la racine carrée : la partie entière est un premier nombre.

• On additionne 1 à la partie entière : c’est un second nombre.

Soit à trouver deux nombres consécutifs dont la somme des carrés est 421. On fait : 421 – 1 = 420, 420 ÷ 2 = 210, √210 = 14,49 et 14 + 1 = 15. Les deux nombres sont 14 et 15.

452. Addition de carrés

Comment trouver deux nombres consécutifs dont on connaît la somme de leurs carrés ? (2)

Étapes

• On soustrait 1 à la somme.

• On multiplie par 2.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On additionne 1 : c’est un second nombre.

Soit à trouver deux nombres consécutifs dont la somme des carrés est 265. On fait : 265 – 1 = 264, 264 × 2 = 528, 528 + 1 = 529, √529 = 23, 23 – 1 = 22, 22 ÷ 2 = 11 et 11 + 1 = 12. Les deux nombres sont 11 et 12.

453. Double addition

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur somme et la somme de leurs carrés ? (1)

Étapes

• On multiplie la somme des deux nombres par elle-même.

• On soustrait la somme de leurs carrés.

• On multiplie par 2.

• Du résultat de la première ligne, on soustrait le précédent.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne la somme donnée des deux nombres.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• De la somme donnée des deux nombres, on soustrait le quotient précédent : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 22 et dont la somme des carrés est 274. On fait : 22 × 22 = 484, 484 – 274 = 210, 210 × 2 = 420, 484 – 420 = 64 et √64 = 8. On fait : 8 + 22 = 30, 30 ÷ 2 = 15 et 22 – 15 = 7. Les deux nombres sont 7 et 15.

454. Double addition

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur somme et la somme de leurs carrés ? (2)

Étapes

• On multiplie la somme des deux nombres par elle-même.

• On multiplie par 4. On note le résultat.

• Du résultat de la première ligne, on soustrait la somme donnée des carrés.

• On multiplie par 8. On note le résultat.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats notés.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne le double de la somme donnée des deux nombres.

• On divise par 4 : c’est un premier nombre.

• De la somme donnée des deux nombres, on soustrait le quotient précédent : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 16 et dont la somme de leurs carrés est 146. On fait : 16 × 16 = 256 et 256 × 4 = 1024. On fait : 256 – 146 = 110 et 110 × 8 = 880. On fait : 1024 – 880 = 144, √144 = 12, 12 + 32 = 44, 44 ÷ 4 = 11 et 16 – 11 = 5. Les deux nombres sont 5 et 11.

455. Somme de deux carrés

Comment trouver un nombre qui peut être la somme de deux carrés d’au moins deux façons ?

Étapes

• On choisit deux carrés.

• On les additionne.

• On choisit deux carrés.

• On les additionne.

• On fait le produit des deux sommes précédentes.

• Si le produit est un carré, on accepte 0² comme un des carrés.

Soit 1 et 4 les carrés choisis. La somme est 5. On choisit 9 et 16. La somme est 25. On fait : 5 × 25 = 125. Le nombre 125 peut être la somme de deux carrés d’au moins deux façons. On peut avoir : 2² + 11² = 125 et 5² + 10² = 125.

456. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (1)

Étapes

• On choisit deux nombres.

• On trouve la différence de leurs carrés : c’est la base du premier carré.

• On multiplie l’un par l’autre les deux nombres choisis.

• On multiplie par 2 : c’est la base du deuxième carré.

• On fait la somme des carrés des deux nombres choisis : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 et 7 les nombres choisis. On fait : 7² – 3² = 40, 3 × 7 = 21, 21 × 2 = 42 et 7² + 3² = 58. L’égalité est : 40² + 42² = 58².

457. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (2)

Étapes

• On choisit deux nombres consécutifs de même parité.

• On additionne les deux nombres : c’est la base du premier carré.

• On multiplie les deux nombres l’un par l’autre : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 2 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 9 et 11 les nombres choisis. On fait : 9 + 11 = 20, 9 × 11 = 99 et 99 + 2 = 101. L’égalité est : 20² + 99² = 101².

458. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (3)

Étapes

• On choisit deux nombres consécutifs.

• On additionne les deux nombres : c’est la base du premier carré.

• On multiplie l’un par l’autre les deux nombres choisis.

• On multiplie par 2 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 1 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 et 8 les nombres choisis. On fait : 7 + 8 = 15, 7 × 8 = 56, 56 × 2 = 112 et 112 + 1 = 113. L’égalité est : 15² + 112² = 113².

459. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (4)

Étapes

• On choisit deux carrés impairs.

• On soustrait l’un de l’autre les carrés.

• On divise par 2 : c’est la base du premier carré.

• On multiplie l’une par l’autre les bases des deux carrés choisis : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne les deux carrés choisis.

• On divise par 2 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 9 et 49 les nombres choisis. On fait : 49 – 9 = 40 et 40 ÷ 2 = 20. On fait : √9 × √49 = 3 × 7 = 21, 9 + 49 = 58 et 58 ÷ 2 = 29. L’égalité est : 20² + 21² = 29².

460. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (5)

Étapes

• On choisit un nombre non premier : c’est la base du premier carré.

• On le multiplie par lui-même.

• On recherche des couples de facteurs de même parité dont le produit est le résultat précédent et dont le plus petit facteur est inférieur au nombre choisi.

• Pour chaque couple, on soustrait l’un de l’autre les deux facteurs et on divise par 2 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne les deux facteurs et on divise par 2 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 12 le nombre choisi. On fait : 12 × 12 = 144. Les couples de facteurs possibles sont (2, 72), (4, 36), (6, 24), (8, 18). Pour le premier couple, on fait : 72 – 2 = 70, 70 ÷ 2 = 35, 72 + 2 = 74 et 74 ÷ 2 = 37. L’égalité est : 12² + 35² = 37². On peut faire les mêmes opérations pour les autres couples de facteurs. On obtient : 12² + 16² = 20², 12² + 9² = 15² et 12² + 5² = 13². Si on ne trouve pas de couples de facteurs acceptables, on ne peut pas trouver de triplets de Pythagore par ce truc.

461. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (6)

Étapes

• On choisit un carré impair : c’est le premier carré.

• On additionne les nombres impairs consécutifs inférieurs à ce carré : c’est le deuxième carré.

• On additionne les deux résultats précédents : c’est le troisième carré qui est la somme.

Soit 49 le carré choisi. La somme de 1, 3, 5, 7, …, 45, 47 est 576 qui est le carré de 24. On fait : 49 + 576 = 625 qui est le carré de 25. L’égalité est : 49 + 576 = 625 ou 7² + 24² = 25².

462. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (7)

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• On multiplie chacune des bases par un même nombre.

Soit le triplet : 5² + 12² = 13². Par exemple, on choisit 7 comme multiplicateur. L’égalité est : 35² + 84² = 91².

463. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux carrés est 1 ? (1)

Étapes

• On choisit un nombre impair : c’est la base du premier carré.

• On multiplie ce nombre par lui-même.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 1 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 11 le nombre choisi. On fait : 11 × 11 = 121, 121 – 1 = 120, 120 ÷ 2 = 60 et 60 + 1 = 61. L’égalité est : 11² + 60² = 61².

464. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux des trois carrés est 1 ? (2)

Étapes

• On choisit un nombre impair : c’est la base du premier carré.

• On multiplie le nombre par lui-même.

• On divise le résultat par 2.

• On retient la partie entière : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 1 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 × 7 = 49 et 49 ÷ 2 = 24,5. On retient 24. On fait : 24 + 1 = 25. L’égalité est : 7² + 24² = 25².

465. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux des trois carrés est 2 ? (1)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par 2 : c’est la base du premier carré.

• On multiplie le nombre choisi par lui-même.

• On soustrait 1 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 2 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 6 le nombre choisi. On fait : 6 × 2 = 12, 6 × 6 = 36, 36 – 1 = 35 et 35 + 2 = 37. L’égalité est : 12² + 35² = 37².

466. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux des trois carrés est 2 ? (2)

Étapes

• On choisit un nombre pair : c’est la base du premier carré.

• On multiplie ce nombre par lui-même.

• On divise par 4.

• On soustrait 1 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 2 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 10 le nombre choisi. On fait : 10 × 10 = 100, 100 ÷ 4 = 25, 25 – 1 = 24 et 24 + 2 = 26. L’égalité est : 10² + 24² = 26².

467. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux des trois carrés est 2 ? (3)

 Étapes

• On choisit un nombre pair : c’est la base du premier carré.

• On multiplie ce nombre par lui-même.

• On soustrait 4.

• On divise par 4 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 2 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 14 le nombre choisi. On fait : 14 × 14 = 196, 196 – 4 = 192, 192 ÷ 4 = 48 et 48 + 2 = 50. L’égalité est : 14² + 48² = 50².

468. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux des trois carrés est 3 ? (1)

Étapes

• On choisit un nombre impair.

• On multiplie par 3 : c’est la base du premier carré.

• On multiplie le nombre choisi par lui-même.

• On soustrait 1.

• On multiplie par 3.

• On divise par 2 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 3 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. On fait : 5 × 3 = 15, 5 × 5 = 25, 25 – 1 = 24, 24 × 3 = 72, 72 ÷ 2 = 36 et 36 + 3 = 39. L’égalité est : 15² + 36² = 39².

469. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux des trois carrés est 3 ? (2)

Étapes

• On choisit un nombre impair.

• On multiplie par 3 : c’est la base du premier carré.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On divise par 6.

• On soustrait 1,5 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 3 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 × 3 = 21, 21 × 21 = 441 et 441 ÷ 6 = 73,5. On fait : 73,5 – 1,5 = 72 et 72 + 3 = 75. L’égalité est : 21² + 72² = 75².

470. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux des trois carrés est 3 ? (3)

 Étapes

• On choisit un nombre impair.

• On multiplie par 3 : c’est la base du premier carré.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On soustrait 9.

• On divise par 6 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 3 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 13 le nombre choisi. On fait : 13 × 3 = 39, 39 × 39 = 1521, 1521 – 9 = 1512, 1512 ÷ 6 = 252 et

252 + 3 = 255. L’égalité est : 39² + 252² = 255².

471. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux des trois carrés est 4 ? (1)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par 4 : c’est la base du premier carré.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On divise par 8.

• On soustrait 2 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 4 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. On fait : 5 × 4 = 20, 20 × 20 = 400, 400 ÷ 8 = 50, 50 – 2 = 48 et 48 + 4 = 52. L’égalité est : 20² + 48² = 52².

472. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux des trois carrés est 4 ? (2)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par 4 : c’est la base du premier carré.

• On multiplie le résultat par lui-même. 

• On soustrait 16.

• On divise par 8 : c’est la base du deuxième carré.

• On additionne 4 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 × 4 = 28, 28 × 28 = 784, 784 – 16 = 768, 768 ÷ 8 = 96 et 96 + 4 = 100. L’égalité est : 28² + 96² = 100².

473. Triplets de Pythagore

Comment trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des bases de deux des trois carrés est 5 ?

Étapes

• On choisit un nombre impair.

• On multiplie par 5 : c’est la base du premier carré.

• On multiplie le résultat par lui-même. 

• On divise par 10.

• On soustrait 2,5 : c’est la base du deuxième carré.

• On soustrait 5 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 × 5 = 35, 35 × 35 = 1225, 1225 ÷ 10 = 122,5. On fait : 122,5 – 2,5 = 120 et 120 + 5 = 125. L’égalité est : 35² + 120² = 125².

474. Quatre carrés

Comment décomposer un carré en la somme de trois carrés ? (1)

Étapes

• On choisit un nombre : c’est la base d’un premier carré du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne 1 : c’est la base d’un deuxième carré du même membre.

• On multiplie le nombre choisi par son successeur : c’est la base d’un troisième carré du même membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 + 1 = 8, 7 × 8 = 56 et 56 + 1 = 57. L’égalité est : 57² = 7² + 8² + 56² = 3249.

475. Quatre carrés

Comment décomposer un carré en la somme de trois carrés ? (2)

Étapes

• On choisit un nombre impair : c’est la base d’un premier carré du deuxième membre de l’égalité.

• On multiplie le nombre choisi par lui-même. On note le résultat.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un deuxième carré du deuxième membre.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On additionne le résultat noté.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un troisième carré du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. On fait : 5 × 5 = 25, 25 – 1 = 24 et 24 ÷ 2 = 12. On fait : 12 × 12 = 144, 144 + 25 = 169, 169 – 1 = 168, 168 ÷ 2 = 84 et 84 + 1 = 85. L’égalité est : 85² = 5² + 12² + 84² = 7225.

476. Quatre carrés

Comment décomposer un carré en la somme de trois carrés ? (3)

Étapes

• On choisit deux nombres dont l’un est impair et l’autre pair : ce sont les bases de deux carrés du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne les carrés des deux nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un troisième carré du même membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 et 7 les nombres choisis. On fait : 4² + 7² = 65, 65 – 1 = 64, 64 ÷ 2 = 32 et 32 + 1 = 33. L’égalité est : 33² = 4² + 7² + 32² = 1089.

477. Quatre carrés  

Comment décomposer un carré en la somme de trois carrés ? (4)

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore : les deux premières bases sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• Du troisième carré du triplet, on soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une troisième base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7² + 24² = 25² le triplet choisi. On fait : 25² – 1 = 624, 624 ÷ 2 = 312 et 312 + 1 = 313. L’égalité est : 313² = 7² + 24² + 312² = 97 969.

478. Quatre carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux carrés ? (1)

Étapes

· On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente : ce sont les bases de carrés de chacun des membres de l’égalité.

· On effectue la différence des carrés des deux nombres.

· On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus grand nombre choisi.

· On additionne 1 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus petit nombre choisi.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 et 12 les nombres choisis. On fait : 12² - 5² = 119, 119 – 1 = 118 et 118 ÷ 2 = 59. On fait : 59 + 1 = 60. L’égalité est : 5² + 60² = 12² + 59² = 3625.

479. Quatre carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux carrés ? (2)

Étapes

· On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente : ce sont les bases de carrés de chacun des membres de l’égalité.

· On additionne les deux nombres.

· On soustrait l’un par l’autre les deux nombres.

· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.

· On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus grand nombre choisi.

· On additionne 1 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité que celle du plus petit nombre choisi.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 et 8 les nombres choisis. On fait : 3 + 8 = 11, 8 – 3 = 5, 11 × 5 = 55, 55 - 1 = 54, 54 ÷ 2 = 27 et 27 + 1 = 28. L’égalité est : 3² + 28² = 8² + 27² = 793.

480. Quatre carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux carrés ? (3)

Étapes

• On choisit quatre nombres.

• On multiplie l’un par l’autre les deux premiers nombres.

• On multiplie l’un par l’autre les deux autres nombres.

• On additionne l’un à l’autre les deux produits : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On soustrait l’un de l’autre les deux produits : c’est une base du deuxième membre.

• On multiplie le deuxième nombre choisi par le troisième.

• On multiplie l’un par l’autre les deux autres nombres.

• On additionne les deux produits : c’est une base du deuxième membre.

• On soustrait l’un de l’autre les deux produits : c’est une base du premier membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3, 4, 5, 6 les nombres choisis. On fait : 3 × 4 = 12, 5 × 6 = 30, 12 + 30 = 42 et 30 – 12 = 18. On fait : 4 × 5 = 20, 3 × 6 = 18, 18 + 20 = 38 et 20 – 18 = 2. L’égalité est : 2² + 42² = 18² + 38² = 1768.

481. Quatre carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux carrés ? (4)

Étapes

• On choisit deux nombres a et b où a < b.

• On choisit deux nombres c et d où c < d.

• On fait (ac + bd) et (bc – ad) : ce sont les bases d’un membre de l’égalité.

• On fait (ad + bc) et (bd – ac) : ce sont les bases de l’autre membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit a = 2, b = 5, c = 3 et d = 4. On fait : ac + bd = 2 × 3 + 5 × 4 = 26 et bc – ad = 5 × 3 – 2 × 4 = 7. On fait : ad + bc = 2 × 4 + 5 × 3 = 23 et bd – ac = 5 × 4 – 2 × 3 = 14. L’égalité est : 26² + 7² = 23² + 14² = 725.

482. Quatre carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est un carré ? (1)

Étapes

• On choisit un carré.

• On multiplie par 2.

• On décompose le résultat en deux facteurs entiers : ce sont des bases du premier membre de  l'égalité.

• On additionne les deux facteurs : c’est la base du deuxième membre de l’égalité.

• On multiplie par 4 le nombre choisi.

• On extrait la racine carrée : c’est une base du premier membre de l’égalité.  

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 36 le carré choisi. On fait : 36 × 2 = 72. Les facteurs peuvent être 8 et 9. Leur somme est 17. On fait : 36 × 4 = 144. La racine carrée est 12. L’égalité est : 8² + 9² + 12² = 17² = 289.

483. Quatre carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est un carré ? (2)

Étapes

• On choisit un nombre impair : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On élève au carré. On note le résultat.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On élève au carré.

• On additionne le résultat noté.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 : c’est la base du deuxième membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. On fait : 5² = 25, 25 – 1 = 24 et 24 ÷ 2 = 12. Le carré de 12 est 144. On fait : 144 + 25 = 169, 169 – 1 = 168 et 168 ÷ 2 = 84. On fait : 84 + 1 = 85. L’égalité est : 5² + 12² + 84² = 85² = 7225.

484. Quatre carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est un carré ? (3)

 Étapes

• On choisit un nombre impair : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On élève au carré.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du premier membre.

• On additionne 1. 

• On élève au carré.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du premier membre.

• On additionne 1 : c’est la seule base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7² = 49, 49 – 1 = 48, 48 ÷ 2 = 24 et 24 + 1 = 25. On fait 25² = 625, 625 – 1 = 624, 624 ÷ 2 = 312 et 312 + 1 = 313. L’égalité est : 7² + 24² + 312² = 313² = 97 969.

485. Cinq carrés

Comment décomposer un carré en la somme de quatre carrés ? (1)

Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est impaire : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une quatrième base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 3 et 6 les nombres choisis. On fait : 2² + 3² + 6² = 49, 49 – 1 = 48, 48 ÷ 2 = 24 et 24 + 1 = 25. L’égalité est : 25² = 2² + 3² + 6² + 24².

486. Cinq carrés

Comment décomposer un carré en la somme de quatre carrés ? (2)

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• Les deux premières bases sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• Du troisième carré du triplet, on soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On élève au carré le successeur du dernier résultat.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7² + 24² = 25² le triplet choisi. On fait : 25² – 1 = 624, 624 ÷ 2 = 312. Le carré de 313 est 97 969. On fait : 97 969 – 1 = 97 968, 97 968 ÷ 2 = 48 984 et 48 984 + 1 = 48 985. L’égalité est : 48 985² = 7² + 24² + 312² + 48 984².

487. Cinq carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (1)

 Étapes

• On prend 0.

• On additionne successivement 7, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On écrit 2 et on additionne successivement 1, 7 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 0 le nombre choisi. On fait : 0 + 7 et 7 + 1 = 8, 2 + 1 = 3 et 3 + 7 = 10. L’égalité est : 7² + 8² = 2² + 3² + 10² = 113.

488. Cinq carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (2)

Étapes

• On choisit 0 et deux autres nombres dont la somme est divisible par 3 : sauf 0, ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne les nombres.

• On multiplie par 2/3.

• Du résultat, on soustrait successivement les nombres choisis : ce sont les bases du deuxième membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 0, 5, 7 les nombres choisis. La somme est 12. On fait : 12 × 2/3 = 8, 8 – 0 = 8, 8 – 5 = 3 et 8 – 7 = 1. L’égalité est : 5² + 7² = 1² + 3² + 8² = 74.

489. Cinq carrés

Comment trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (3)

Étapes

• On choisit deux nombres.

• On écrit un troisième nombre qui est l’opposé de la somme.

• On écrit l’opposé de chacun de ces trois nombres.

• On prend le plus grand nombre qu’on additionne à chacun des six nombres.

• Les trois premiers nombres, sauf 0, font partie du premier membre de l’égalité et les trois autres, du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 et 5 les nombres choisis. Le troisième nombre est -8. Les opposés sont -3, -5, 8. On prend 8. Les trois premiers nombres sont 11, 13 et 0. Les trois autres sont 5, 3, 16. L’égalité est : 11² + 13² = 3² + 5² + 16² = 290.

490. Cinq carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de deux carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 4 au résultat précédent de façon à trouver trois autres nombres.

• Le deuxième et le troisième nombre sont les bases du premier membre de l’égalité.

• Le premier et le quatrième nombre sont les bases du deuxième membre de l’égalité.

• On écrit 8 dans le premier membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 11 le nombre choisi. On fait : 11 + 4 = 15, 15 + 4 = 19 et 19 + 4 = 23. On ajoute 8 dans le premier membre. L’égalité est : 8² + 15² + 19² = 11² + 23² = 650.

491. Six carrés

Comment décomposer un carré en une somme de cinq carrés ? (1)

Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est impaire : c’est la base de trois carrés du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du quatrième carré.

• On élève au carré le nombre qui suit le dernier résultat.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du cinquième carré du même membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 4 et 5 les nombres choisis. On fait : 2² + 4² + 5² = 45, 45 – 1 = 44 et 44 ÷ 2 = 22. Le carré de 23 est 529. On fait : 529 – 1 = 528, 528 ÷ 2 = 264 et 264 + 1 = 265. L’égalité est : 265² = 2² + 4² + 5² + 22² + 264².

492. Six carrés

Comment décomposer un carré en une somme de cinq carrés ? (2)

Étapes

• On choisit quatre nombres dont la somme est impaire : c’est la base de quatre carrés du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du cinquième carré du même membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 3, 6 et 10 les nombres choisis. On fait : 2² + 3² + 6² + 10² = 149, 149 – 1 = 148, 148 ÷ 2 = 74 et 74 + 1 = 75. L’égalité est : 75² = 2² + 3² + 6² + 10² + 74².

493. Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (1)

Étapes

• On choisit deux triplets de Pythagore.

• On forme un premier membre de l’égalité avec les deux premiers carrés du premier triplet et la somme de l’autre triplet.

• On forme un deuxième membre avec les carrés qui restent.

Soit 7² + 24² = 25² et 12² + 35² = 37² les deux triplets choisis. Pour le premier membre, on prend 7², 24² et 37². Pour le deuxième membre, il reste 12², 35² et 25². L’égalité est : 7² + 24² + 37² = 12² + 25² + 35² = 1994.

494. Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (2)

Étapes

• On choisit un nombre pair.

• On multiplie ce nombre par 1,5.

• On choisit deux nombres dont l’un est inférieur à la moitié du nombre donné et l’autre supérieur à la moitié du même nombre : ce sont deux bases du premier membre de l’égalité.

• Du nombre choisi au départ, on soustrait chacun des deux derniers nombres choisis : ce sont deux bases du deuxième membre.

• Du résultat de la deuxième ligne, on soustrait la somme des deux éléments connus de chaque membre : c’est la troisième base de chaque membre dans l’ordre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 16 le nombre choisi. On fait : 16 × 1,5 = 24. On choisit 7 et 11. On fait : 16 – 7 = 9, 16 – 11 = 5, 24 – (7 + 11) = 6 et 24 – (5 + 9) = 10. L’égalité est : 6² + 7² + 11² = 5² + 9² + 10² = 206.

495. Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (2)

 Étapes

• On choisit une égalité composée de trois carrés dans chaque membre, les bases ayant un seul chiffre.

• On prend les chiffres du deuxième membre qui deviennent des unités dans le premier membre sans nécessairement suivre l’ordre.

• On écrit chaque nombre renversé dans le deuxième membre.

Soit 1² + 6² + 8² = 2² + 4² + 9² l’égalité choisie. On écrit 12, 69, 84 dans le premier membre, puis 21, 96, 48 dans le deuxième membre. L’égalité est : 12² + 69² + 84² = 21² + 96² + 48² = 11 961.

496. Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (3)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne 1, 5 et 6 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne 2, 3 et 7 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 8 le nombre choisi. Les sommes sont 9, 13, 14, puis 10, 11, 15. L’égalité est : 9² + 13² + 14² = 10² + 11² + 15² = 446.

497. Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (4)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie 1, 5 et 6 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On multiplie 2, 3 et 7 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. Les produits sont 7, 35 et 42, puis 14, 21 et 49. L’égalité est : 7² + 35² + 42² = 14² + 21² + 49² = 3038.

498. Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (5)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute ce nombre devant 1, 5 et 6 : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On ajoute ce nombre devant 2, 3 et 7 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 13 le nombre choisi. On obtient 131, 135, 136, puis 132, 133 et 137. L’égalité est : 131² + 135² + 136² = 132² + 133² + 137² = 53 882.

499. Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (6)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute ce nombre après 1, 5 et 6 : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On ajoute ce nombre après 2, 3 et 7 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 14 le nombre choisi. On obtient 114, 514, 614, puis 214, 314 et 714. L’égalité est : 114² + 514² + 614² = 214² + 314² + 714² = 654 188.

500. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (7)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 15 le nombre choisi. On écrit 15, 19, 20, puis 16, 17, 21. L’égalité est : 15² + 19² + 20² = 16² + 17² + 21² = 986.

501. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (8)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 5, 2 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 2, 5 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 10 le nombre choisi. On écrit 10, 15, 17, puis 11, 13, 18. L’égalité est : 10² + 15² + 17² = 11² + 13² + 18² = 614.

502. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (9)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 6, 3 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 3, 6 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 12 le nombre choisi. On écrit: 12, 18, 21, puis 13, 16, 22. L’égalité est : 12² + 18² + 21² = 13² + 16² + 22² = 909.

503. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (10)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 7, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 2 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 7 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 13 le nombre choisi. On écrit: 13, 20, 21, puis 15, 16, 23. L’égalité est : 13² + 20² + 21² = 15² + 16² + 23² = 1010.

504. Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (11)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 7, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne les trois nombres et on multiplie par 2/3.

 • Du résultat, on soustrait successivement les trois nombres : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 8 le nombre choisi. On écrit 8, 15, 16. La somme est 39. On fait : 39 × 2/3 = 26, 26 – 8 = 18, 26 – 15 = 11 et 26 – 16 = 10. L’égalité est : 8² + 15² + 16² = 10² + 11² + 18² = 545.

505. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (12)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 14, 5 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 3 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 5, 14 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 10 le nombre choisi. On écrit 10, 24, 29, puis 13, 18, 32. L’égalité est : 10² + 24² + 29² = 13² + 18² + 32² = 1517.

506. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (13)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 17, 8 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 3 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 8, 17 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 12 le nombre choisi. On écrit 12, 29, 37, puis 15, 23, 40. L’égalité est : 12² + 29² + 37² = 15² + 23² + 40² = 2354.

507. Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (14)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit 1 : c’est une base du premier membre de l’égalité.

• On multiplie le nombre choisi par 7.

• On additionne 2 : c’est une base du premier membre.

• On additionne 1 : c’est une base du premier membre.

• On multiplie le nombre choisi par 3.

• On additionne 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On multiplie le nombre choisi par 5.

• On additionne 1 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne les deux bases précédentes : c’est une base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour former une égalité.

Soit 3 le nombre choisi. On écrit 1. On fait : 3 × 7 = 21, 21 + 2 = 23 et 23 + 1 = 24. On fait : 3 × 3 = 9, 9 + 2 = 11, 3 × 5 = 15, 15 + 1 = 16 et 11 + 16 = 27. L’égalité est : 1² + 23² + 24² = 11² + 16² + 27² = 1106.

508. Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (15)

Étapes

• On choisit deux nombres.

• On écrit un troisième nombre qui est l’opposé de la somme des nombres choisis.

• On écrit l’opposé de chacun de ces trois nombres.

• On choisit un nombre supérieur au plus grand qu’on additionne à chacun des six nombres.

• Les trois premiers nombres font partie du premier membre de l’égalité et les trois autres, du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2 et 3 les nombres choisis. Le troisième nombre est -5. Les opposés sont -2, -3 et 5. On choisit 10. Les trois premiers nombres sont 12, 13 et 5. Les trois autres sont 8, 7 et 15. L’égalité est : 5² + 12² + 13² = 7² + 8² + 15² = 338.

509. Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (16)

 Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est divisible par 3 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On divise la somme par 3.

• On multiplie par 2.

• Du résultat, on soustrait successivement chacun des nombres choisis : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7, 8, 12 les nombres choisis dont la somme est 27. On fait : 27 ÷ 3 = 9 et 9 × 2 = 18. En soustrayant de 18 chacun des nombres choisis, on obtient 11, 10 et 6. L’égalité est : 7² + 8² + 12² = 6² + 10² + 11² = 257.

510. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (17)

 Étapes

• On choisit une suite de trois termes.

• On additionne un nombre choisi à chacun des termes.

• On additionne le même nombre à chacun des résultats. On obtient ainsi neuf nombres.

• On prend les termes de rangs 1, 6, 8 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les termes de rangs 2, 4, 9 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit la suite 2, 5, 8. On additionne 11, un nombre choisi. Les trois termes suivants sont 13, 16, 19. On additionne 11. Les trois termes suivants sont 24, 27, 30. L’égalité est : 2² + 19² + 27² = 5² + 13² + 30² = 1094.

511. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (18)

 Étapes

• On écrit une suite de trois termes.

• On additionne un nombre choisi à chacun des termes.

• On additionne le même nombre à chacun des résultats. On obtient ainsi neuf nombres.

• On prend les termes de rangs 2, 6, 7 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les termes de rangs 3, 4, 8 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit la suite 1, 4, 7. On additionne 8, un nombre choisi. Les trois termes suivants sont  9, 12, 15. On additionne 8. Les trois derniers termes sont 17, 20, 23. L’égalité est : 4² + 15² + 17² = 7² + 9² + 20² = 530.

512. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (19)

 Étapes

• On choisit quatre nombres dont l’un est le quart de la somme : sauf celui qui est le quart, ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On divise la somme par 2.

• Du dernier résultat, on soustrait successivement les nombres choisis sauf celui qui est le quart : ce sont les bases du deuxième membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 6, 7, 9, 14 les nombres choisis. La somme est 36. La moitié de 36 est 18. On fait : 18 – 6 = 12, 18 – 7 = 11, 18 – 14 = 4. L’égalité est : 6² + 7² + 14² = 4² + 11² + 12² = 281.

513. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (20)

 Étapes

• On écrit deux triplets : (1, 6, 8) et (2, 4, 9).

• On choisit, par exemple, un polynôme en n du premier degré.

• On attribue à n les valeurs des triplets : les trois premiers résultats sont les bases du premier membre de l’égalité et les autres celles du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit les deux triplets et le polynôme (3a + 1). On obtient : 4, 19, 25, puis 7, 13, 28. L’égalité est : 4² + 19² + 25² = 7² + 13² + 28² = 1002.

514. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (21)

 Étapes

• On écrit deux triplets : (2, 6, 7) et (3, 4, 8).

• On choisit un polynôme en n du premier degré.

• On attribue à n les valeurs des triplets : les trois premiers résultats sont les bases du premier membre de l’égalité et les autres celles du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit les deux triplets et  le polynôme (3a + 2).  On obtient : 8, 20, 23, puis 11, 14, 26. L’égalité est : 8² + 20² + 23² = 11² + 14² + 26² = 993.

515. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (22)

 Étapes

• On écrit une suite de sept termes.

• On prend les termes de rangs 1, 5, 6 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les termes de rangs 2, 3, 7 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit la suite 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35. L’égalité est : 11² + 27² + 31² = 15² + 19² + 35² = 1811.

516. Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (23)

 Étapes

• On écrit une suite de sept termes.

• On biffe le 4^e terme.

• On prend les termes de rangs 1, 4 et 5 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend  les autres termes : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit la suite : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27. On biffe 15. La suite tronquée est 3, 7, 11, 19, 23, 27.  L’égalité est : 3² + 19² + 23² = 7² + 11² + 27² = 899.

517. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (24)

 Étapes

• On écrit une suite de neuf termes.

• On prend les termes de rangs 1, 6, 8 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les termes de rangs 2, 4, 9 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit la suite : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35. L’égalité est : 3² + 23² + 31² = 7² + 15² + 35² = 1499.

518. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (25)

 Étapes

• On écrit une suite de neuf termes.

• On prend les termes de rangs 2, 6, 7 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les termes de rangs 3, 4, 8 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit la suite : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35. L’égalité est : 7² + 23² + 27² = 11² + 15² + 31² = 1307.

519. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (26)

 Étapes

• On choisit un nombre qui est égal à n.

• On écrit 1, la valeur de (7n + 2) et la somme des deux derniers nombres : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On écrit la valeur de (3n + 2), celle de (5n + 1) et la somme des deux derniers nombres : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 8 la valeur choisie de n. On écrit 1, 58, 59, puis 26, 41, 67. L’égalité est : 1² + 58² + 59² = 26² + 41² + 67² = 6846.

520. Six carrés  

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (27)

Étapes

• On choisit un nombre qui est égal à n.

• On écrit les valeurs de n, n + 7 et n + 8 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On écrit les valeurs de n + 2, n + 3 et n + 10 : ce sont les bases du deuxième membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 12 le nombre choisi. On obtient : 12, 19, 20, puis 14, 15, 22. L’égalité est : 12² + 19² + 20² = 14² + 15² + 22² = 905.

521. Six carrés 

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ? (28)

Étapes

• On choisit deux nombres m et n dont la différence est un multiple de 3.

• On choisit la valeur d’un troisième nombre p.

• On écrit la valeur de p et on additionne successivement la valeur de m et celle de n au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On calcule le tiers de (m – n).

• On additionne p.

• On additionne successivement n et m au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit m = 17, n = 5 et p = 6. On écrit 6. On fait : 6 + 17 = 23, 23 + 5 = 28. On fait : (17 – 5)/3 = 4, 4 + 6 = 10, 10 + 5 = 15 et 15 + 17 = 32. L’égalité est : 6² + 23² + 28² = 10² + 15² + 32² = 1349.

522. Sept carrés

Comment décomposer un carré en une somme de six carrés ?

Étapes

• On choisit cinq nombres dont la somme est impaire : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 1, 2, 3, 4, 5 les nombres choisis. On fait : 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55, 55 – 1 = 54, 54 ÷ 2 = 27 et 27 + 1 = 28. L’égalité est : 28² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 27².

523. Sept carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ?

 Étapes

• On prend 0.

• On additionne successivement 11, 5, 11 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On écrit 2 et on additionne successivement 4, 15, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

On écrit 11, 16, 27, puis 2, 6, 21, 25. L’égalité est : 11² + 16² + 27² = 2² + 6² + 21² + 25² = 1106.

524. Sept carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est le triple de la somme de trois carrés ?

Étapes

• On choisit trois nombres : ce sont les bases du deuxième membre de l’égalité.

• On soustrait les nombres deux à deux : ce sont des bases du premier membre.

• On additionne les nombres choisis : c’est une base du premier membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5, 7 et 10 les nombres choisis qui forment l’égalité 5² + 7² + 10² = 174. On fait : 7 – 5 = 2, 10 – 7 = 3, 10 – 5 = 5 et 5 + 7 + 10 = 22. L’égalité est : 2² + 3² + 5² + 22² = 3(5² + 7² + 10²) = 522.

525. Sept carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ?

 Étapes

• On choisit six nombres dont la somme est divisible par 3, dont un nombre est le tiers de la somme et dont deux autres nombres ont une somme égale au même tiers.

• Du tiers de la somme, on soustrait chacun des nombres choisis.

• On biffe les doublons et le zéro : les quatre premiers nombres sont les bases du premier membre de l’égalité et les trois autres sont celles du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 3, 5, 7, 13, 15 les nombres choisis dont la somme est 45. Le tiers de la somme est 15. En soustrayant de 15 chacun des nombres choisis, on obtient 13, 12, 10, 8, 2, 0. On biffe 0, 2 et 13. L’égalité est : 3² + 5² + 7² + 15² = 8² + 10² + 12² = 308.

526. Huit carrés

Comment décomposer un carré en une somme de sept carrés ?

Étapes

• On choisit six nombres dont la somme est impaire : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne le carré de ces nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.

• On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 1, 2, 3, 4, 5, 6 les nombres choisis. On fait : 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² = 91, 91 – 1 = 90, 90 ÷ 2 = 45 et 45 + 1 = 46. L’égalité est : 46² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 45².

527. Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (1)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 3, 2, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 2, 3 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 15 le nombre choisi. On écrit 15, 18, 20, 21, puis 16, 17, 19, 22. L’égalité est : 15² + 18² + 20² + 21² = 16² + 17² + 19² + 22² = 1390.

528. Huit carrés 

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (2)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 3, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 7, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 15 le nombre choisi. On écrit 15, 19, 22, 26, puis 16, 17, 24, 25. L’égalité est : 15² + 19² + 22² + 26² = 16² + 17² + 24² + 25² = 1746.

529. Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (3)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 5, 5, 5 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 2, 9, 2 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. On écrit 4, 9, 14, 19, puis 5, 7, 16, 18. L’égalité est : 4² + 9² + 14² + 19² = 5² + 7² + 16² + 18² = 654.

530. Huit carrés 

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (4)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 6, 1, 6 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 2, 7, 2 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 8 le nombre choisi. On écrit 8, 14, 15, 21, puis 9, 11, 18, 20. L’égalité est : 8² + 14² + 15² + 21² = 9² + 11² + 18² + 20² = 926.

531. Huit carrés  

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (5)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 7, 4, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 3 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 4, 7 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 6 le nombre choisi. On écrit 6, 13, 17, 18, puis 9, 10, 14, 21. L’égalité est : 6² + 13² + 17² + 18² = 9² + 10² + 14² + 21² = 818.

532. Huit carrés  

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (6)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 11, 5, 11 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 2 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 4, 15, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 le nombre choisi. On écrit 3, 14, 19, 30, puis 5, 9, 24, 28. L’égalité est : 3² + 14² + 19² + 30² = 5² + 9² + 24² + 28² = 1466.

533. Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (7)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne 1, 7, 8 et 14 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne 2, 4, 11 et 13 au nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. On écrit 5, 11, 12 et 18, puis 6, 8, 15 et 17. L’égalité est : 5² + 11² + 12² + 18² = 6² + 8² + 15² + 17² = 614.

534. Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (8)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie 1, 7, 8 et 14 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On multiplie 2, 4, 11 et 13 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 6 le nombre choisi. Les produits sont 6, 42, 48 et 84, puis 12, 24, 66 et 78. L’égalité est : 6² + 42² + 48² + 84² = 12² + 24² + 66² + 78² = 11 160.

535. Huit carrés  

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (9)

 Étapes                                                 

• On choisit un nombre.

• On écrit ce nombre et on additionne successivement 1, 2, 3, 1, 3, 2, 1 au résultat précédent.

• On prend les termes de rangs 1, 4, 5 et 8 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les autres termes : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 9 le nombre choisi. On écrit la suite : 9, 10, 12, 15, 16, 19, 21, 22. L’égalité est : 9² + 15² + 16² + 22² = 10² + 12² + 19² + 21² = 1046.

536. Huit carrés  

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (10)

 Étapes                                                 

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3 au résultat précédent.

• On prend les termes de rangs 1, 4, 6 et 7 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les autres termes : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. On écrit la suite : 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 22. L’égalité est : 7² + 14² + 18² + 19² = 10² + 11² + 15² + 22² = 1046.

537. Huit carrés  

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (11)

 Étapes

• On choisit un nombre et un carré.

• On écrit ce nombre et on additionne successivement le carré, sa racine carrée, le même carré au dernier résultat.

• On choisit un autre nombre et on l’additionne à chacun des termes précédents.

• On prend les termes de rangs 1, 4, 6 et 7 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les autres termes : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre de départ et 9 le carré. On écrit la suite : 5, 14, 17, 26. En additionnant 7, on obtient : 12, 21, 24, 33. L’égalité est : 5² + 21² + 24² + 26² = 12² + 14² + 17² + 33² = 1718.

538. Huit carrés  

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (12)

 Étapes

• On choisit deux nombres dont la somme est un nombre impair : ce sont des bases du premier membre de l’égalité.

• On choisit deux autres nombres dont la somme est un nombre impair : ce sont des bases du premier membre de l’égalité.

• On soustrait les deux sommes l’une de l’autre et on divise par 2. On note le résultat.

• On additionne le résultat à chacun des deux nombres de la première somme : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• De chacun des deux nombres de la deuxième somme, on soustrait le résultat noté : ce sont des bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 et 28 deux nombres choisis dont la somme 35, puis 23 et 26 dont la somme est 49. On fait : (49 – 35)/2 = 7. On fait : 7 + 7 = 14 et 28 + 7 = 35, puis 23 – 7 = 16 et 26 – 7 = 19. L’égalité est : 7² + 23² + 26² + 28² = 14² + 16² + 19² + 35² = 2038.

539. Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (13)

Étapes

• On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente. Le premier est une base du premier membre de l’égalité, l’autre une base du second membre.

• On fait la différence des carrés de ces deux nombres.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du second membre de l’égalité tandis que le successeur est une base du premier membre.

• On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des nombres choisis au départ : le premier résultat est une base du premier membre de l’égalité, l’autre est une base du second membre.

• On fait la différence des carrés des deux derniers résultats.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du second membre de l’égalité tandis que le successeur est une base du premier membre

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 2 et 7 les nombres choisis. On fait : 7² – 2² = 45, 45 – 1 = 44, 44 ÷ 2 = 22. On a 22 et 23. On choisit 3. On fait : 2 + 3 = 5, 7 + 3 = 10, 10² – 5² = 75, 75 – 1 = 74 et 74 ÷ 2 = 37. On a 37 et 38. L’égalité est : 2² + 5² + 23² + 38² = 7² + 10² + 22² + 37² = 2002.

540. Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (14)

Étapes

• On écrit une suite de trois nombres dont la raison est identique.

• On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des termes de la suite.

• On forme un premier groupe de quatre nombres : le premier de la première suite, le deuxième de la deuxième suite qu’on répète et le troisième de la première suite.

• On forme un deuxième groupe avec les nombres qui restent tout en répétant le nombre du milieu de la première suite.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 12, 15, 18 une suite dont la raison est 3. On choisit 5. Les sommes sont 17, 20, 23. Le premier groupe est formé de 12, 20, 20, 18. Le deuxième groupe est formé de 17, 15, 15, 23. L’égalité est : 12² + 18² + 20² + 20² = 15² + 15² + 17² + 23² = 1268.

541. Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (15)

Étapes

• On choisit un triplet de Pythagore.

• On écrit + 0² comme deuxième élément du deuxième membre de l’égalité.

• On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.

• Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.

• On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le second membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 3² + 4² = 5² le triplet choisi. On écrit : 3² + 4² = 5² + 0². On choisit 8 comme opérateur. On fait : 8 – 3 = 5, 8 + 3 = 11, 8 – 4 = 4, 8 + 4 = 12, 8 – 5 = 3, 8 + 5 = 13, 8 – 0 = 8 et 8 + 0 = 8. L’égalité est : 4² + 5² + 11² + 12² = 3² + 8² + 8² + 13² = 306.

542. Huit carrés  

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (16)

 Étapes

• On choisit quatre nombres dont la somme est paire et dont l’addition de nombres pris deux à deux ne donne pas la moitié de la somme : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On divise la somme par 2.

• Du dernier résultat, on soustrait chacun des nombres choisis : ce sont les bases du deuxième membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 5, 11, 12 les nombres choisis. La somme est 30. La moitié de 30 est 15. On fait : 15 – 2 = 13, 15 – 5 = 10, 15 – 11 = 4, 15 – 12 = 3. L’égalité est : 2² + 5² + 11² + 12² = 3² + 4² + 10² + 13² = 294.

543. Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (17)

Étapes

• On écrit une suite de quatre nombres.

• On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des termes de la suite.

• On forme un premier groupe de quatre nombres : le premier de la première suite, le deuxième et le troisième de la deuxième suite, puis le quatrième de la première suite.

• On forme un deuxième groupe avec les nombres qui restent.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 12, 15, 18, 21 une suite dont la raison est 3. On choisit 5. Les sommes sont 17, 20, 23, 26. Le premier groupe est formé de 12, 20, 23, 21. Le deuxième groupe est formé de 17, 15, 18, 26. L’égalité est : 12² + 20² + 21² + 23² = 15² + 17² + 18² + 26² = 1514.

544. Huit carrés

Connaissant deux couples de carrés dont la somme est identique, comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (18)

Étapes

• On choisit une égalité de deux couples de deux carrés dont la somme est identique.

• On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.

• Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.

• On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité et les autres, dans le deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en plaçant les éléments en ordre numérique.

Soit 4² + 17² = 7² + 16² l’égalité choisie. On choisit 18 comme opérateur. On fait : 18 – 4 = 14, 18 + 4 = 22, 18 – 17 = 1, 18 + 17 = 35, 18 – 7 = 11, 18 + 7 = 25, 18 – 16 = 2 et 18 + 16 = 34. L’égalité est : 1² + 14² + 22² + 35² = 2² + 11² + 25² + 34² = 1906.

545. Huit carrés  

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ? (19)