Pentagonal
° Nombre centré pentagonal. – Nombre figuré qui peut être représenté par un ensemble de points disposés de façon régulière sur des pentagones. Les nombres centrés pentagonaux de dimension inférieure ou égale à 5 sont définis ci-après.

n Nombre centré pentagonal D1
Nombre centré linéaire ou de dimension 1 dont les points sont disposés sur les côtés d’un pentagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe, sauf 1, est un multiple de 5. Les dix plus petits nombres de cette classe sont : 1, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 et 45. Le terme général, en excluant 1, est 5(n - 1). 

Les quatre plus petits peuvent être représentés ainsi :

Pour trouver le rang d’un centré pentagonal D1, on divise le nombre par 5 et on additionne 1 au quotient. Pour trouver son successeur, on lui additionne 5. Par exemple, 45 est de rang 10 car 45 ÷ 5 = 9. Le successeur de 45 est 50. 

Voici quatre propriétés concernant cette classe de nombres :

Si on excepte le 1, la période des unités des nombres successifs est un nombre de deux chiffres : 50.

La somme des n plus petits centrés pentagonaux D1 est un centré pentagonal D2 de rang n.

La somme de deux centrés pentagonaux D1 successifs, en excluant 1, est égale à 10 fois le rang du plus petit moins 5.

Les nombres centrés pentagonaux D1 forment une suite arithmétique de degré 1.

n Nombre centré pentagonal D2
Nombre centré plan ou de dimension 2 dont les points sont disposés sur les côtés parallèles de pentagones réguliers, ayant en plus un point au centre. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés pentagonaux D1. Le terme général est (5n² - 5n + 2)/2. Les quatre plus petits peuvent être représentés ainsi :

Les 39 plus petits centrés pentagonaux D2 sont :

Un nombre est de cette classe si, lui ayant soustrait 1 et ayant divisé le résultat par 5, le quotient est un triangulaire. Le rang du centré pentagonal D2 est supérieur de 1 à celui du triangulaire. Pour trouver son successeur, on lui additionne cinq fois son rang. Par exemple, 226 est un centré pentagonal D2 car (226 - 1)/5 = 45 qui est le triangulaire de rang 9. Aussi, 226 est au rang 10. Son successeur est 226 + (10 × 5) = 276. 

Voici cinq propriétés concernant cette classe de nombres :

La période des unités des nombres successifs correspond à un palindrome de quatre chiffres : 1661.

La somme des n plus petits centrés pentagonaux D2 est un centré pentagonal D3 de rang n.

La différence de deux centrés pentagonaux D2 successifs est le quintuple du rang du plus petit.

Tout centré pentagonal D2 est la différence de deux centrés pentagonaux D3 successifs.

Les nombres centrés pentagonaux D2 forment une suite arithmétique de degré 2.

n Nombre centré  pentagonal D3
Nombre centré solide ou de dimension 3 dont les points sont disposés sur un solide associé à un pentagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés pentagonaux D2. Le terme général est n(5n² + 1)/6. Les 29 plus petits centrés pentagonaux D3 sont :

Un nombre est de cette classe si on peut décomposer son sextuple en deux facteurs : un entier et cinq fois le carré de cet entier plus 1. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne le centré pentagonal D2 de rang suivant. Par exemple, 1833 est un centré pentagonal D3 car 1833 × 6 = 13 × (5 × 13² + 1). Il est au rang 13. Son successeur est 1833 + 456 = 2289. 

Voici cinq propriétés concernant cette classe de nombres :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 20 chiffres : 17 345 178 951 239 567 390. Tous les chiffres y apparaissent.

La somme des n plus petits centrés pentagonaux D3 est un centré pentagonal D4 de rang n.

La différence de deux centrés pentagonaux D3 successifs est un centré pentagonal D2.

Tout centré pentagonal D3 est la différence de deux centrés pentagonaux D4 successifs.

Les nombres centrés pentagonaux D3 forment une suite arithmétique de degré 3.

n Nombre centré pentagonal D4
Nombre centré hypersolide ou solide de dimension 4 dont les points sont disposés sur un hypersolide associé à un pentagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés pentagonaux D3. Le terme général est n(n + 1)(5n² + 5n + 2)/24. Les 29 plus petits centrés pentagonaux D4 sont :

Un nombre est de cette classe si, multiplié par 24, il peut être décomposé en trois facteurs : un entier, le suivant et cinq fois le produit des ces deux entiers plus 2. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne le centré pentagonal D3 de rang suivant. Par exemple, 1086 est un centré pentagonal D4 car 1086 × 24 = 8 × 9 × (5 × 8 × 9 + 2). Il est au rang 8. Son successeur est 1086 + 609 = 1695. 

Voici cinq propriétés concernant cette classe de nombres :

Les chiffres des unités sont 0, 1, 3, 5, 6 et 8.

La somme des n plus petits centrés pentagonaux D4 est un centré pentagonal D5 de rang n.

La différence de deux centrés pentagonaux D4 successifs est un centré pentagonal D3.

Tout centré pentagonal D4 est la différence de deux centrés pentagonaux D5 successifs.

Les nombres centrés pentagonaux D4 forment une suite arithmétique de degré 4.

n Nombre centré pentagonal D5
Nombre centré solide D5 ou de dimension 5 dont les points sont disposés sur un solide de dimension 5 associé à un pentagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés pentagonaux D4. Le terme général est n(n + 1)³(n + 2)/24. Les 10 plus petits centrés pentagonaux D5 sont : 1, 9, 40, 125, 315, 686, 1344, 2430, 4125 et 6655. Les différences successives des suites à partir de la suite des centrés pentagonaux D5 sont :

© Charles-É. Jean

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