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Parfait
° Cube parfait. –
Nombre qui est le cube d'un entier naturel. Les 10 plus petits cubes parfaits
sont : 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 et 1000. Le terme général de rang
n est n3. Voici six propriétés
des cubes parfaits :
Tout cube parfait de rang n est la somme des n entiers
consécutifs impairs commençant avec [n(n - 1) + 1]. Ainsi, 64
est égal à 13 + 15 + 17 + 19.
Tout cube parfait est soit un multiple de 9, soit un multiple de 9 augmenté
ou diminué de l'unité.
La somme des n cubes parfaits consécutifs à partir de l'unité est
égale à [n(n + 1)/2]2.
La somme des cubes des n plus petits entiers est le carré de
la somme des n plus petits entiers. Elle est égale à (1 + 2 + 3 + 4 +
... + n)2.
Le plus petit nombre de cubes dont la somme est un cube est 3.
Exemples : 33 + 43
+ 53 = 63 et 63
+ 83 + 103 =
123.
Les cubes des entiers dont l'unité est 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 sont terminés
respectivement par ces mêmes chiffres ; les cubes des entiers terminés par 2,
3, 7 et 8 sont respectivement terminés par 8, 7, 3 et 2.
Dans le triangle suivant, la somme des nombres de chaque
ligne est un cube dont la base correspond au rang de la ligne ou au nombre
de termes dans la ligne. Par exemple, dans la ligne 4, on a quatre nombres, 13, 15, 17,
19 dont la somme est 64 ou 43.
C'est une autre façon de représenter le triangle de Nicomaque.
Le plus petit nombre connu qui s'écrit sous la forme de deux sommes
différentes de deux cubes distincts est 1729, car 103
+ 93 et 123 +
13 sont respectivement égaux à 1729. Les
entiers qui possèdent cette propriété sont appelés nombres de
Ramanujan.
Tout cube parfait, quand il est représenté sous forme de boules, est
appelé nombre cubique. Le cube parfait et le nombre cubique ont donc,
comme nombre, les mêmes propriétés.
© Charles-É. Jean
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