Octogonal
° Nombre centré octogonal. – Nombre figuré qui peut être représenté par un ensemble de points disposés de façon régulière sur des octogonaux. Les nombres centrés octogonaux de dimension égale ou inférieure à 5 sont définis ci-après.

n Nombre centré octogonal D1
Nombre centré linéaire ou de dimension 1 dont les points sont disposés sur les côtés d’un octogone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe, sauf 1, est un multiple de 8. Les dix plus petits nombres de cette classe sont : 1, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 et 72. Le terme général de rang n, en excluant 1, est 8(n - 1). Pour trouver le rang d’un centré octogonal D1, on divise le nombre par 8 et on additionne 1 au quotient. Pour trouver son successeur, on lui additionne 8. Par exemple, 72 est de rang 10 car 72 ÷ 8 = 9. Son successeur est 80. 

Voici quatre propriétés concernant cette classe de nombres :

Si on excepte le 1, la période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de cinq chiffres pairs tous différents : 86 420.

La somme des n plus petits centrés octogonaux D1 est un centré octogonal D2 de rang n.

La somme de deux centrés octogonaux D1 successifs, en excluant 1, est égale à 16 fois le rang du petit moins 8.

Les nombres centrés octogonaux D1 forment une suite arithmétique de degré 1.

n Nombre centré octogonal D2
Nombre centré plan ou de dimension 2 dont les points sont disposés sur les côtés parallèles d’octogones réguliers, ayant en plus un point au centre. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés octogonaux D1. Le terme général est (2n - 1)². Les 39 plus petits centrés octogonaux D2 sont :

Un nombre est de cette classe s’il est un carré impair. Le rang du carré étant n, le rang du centré octogonal D2 est (n + 1)/2. Pour trouver son successeur, on lui additionne huit fois son rang. Par exemple, 529 est un centré octogonal D2, car il est le carré de 23. Son rang est (23 + 1)/2 = 12. Le successeur de 529 est 529 + (8 × 12) = 625. 

Voici quatre propriétés concernant cette classe de nombres :

La période des unités des nombres successifs correspond à un palindrome de cinq chiffres: 19 591.

La somme des n plus petits centrés octogonaux D2 est un centré octogonal D3 de rang n.

La différence de deux centrés octogonaux D2 successifs est l’octuple du rang le plus petit.

Les nombres centrés octogonaux D2 forment une suite arithmétique de degré 2.

La suite des centrés octogonaux D2 est la même que celle des centrés étoilés carrés.

n Nombre centré octogonal D3
Nombre centré solide ou de dimension 3 dont les points sont disposés sur un solide associé à un octogone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés octogonaux D2. Le terme général est n(2n + 1)(2n - 1)/3. Les 29 plus petits centrés octogonaux D3 sont :

Un nombre est de cette classe si son triple peut être décomposé en trois facteurs : deux impairs successifs et la moitié du pair compris entre les deux. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne le carré du plus grand facteur. Par exemple, 680 est un centré octogonal D3 car 680 × 3 = 15 × 17 × 8. Il est au rang 8. Son successeur est 680 + 17² = 969. 

Voici six propriétés concernant cette classe de nombres :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 10 chiffres : 1 054 565 090.

Les unités sont 0, 1, 4, 5, 6 et 9.

La somme des n plus petits centrés octogonaux D3 est un centré octogonal D4 de rang n.

La différence de deux centrés octogonaux D3 successifs est un centré octogonal D2.

Tout centré octogonal D3 est la différence de deux centrés octogonaux D4 successifs.

Les nombres centrés octogonaux D3 forment une suite arithmétique de degré 3.

n Nombre centré octogonal D4
Nombre centré hypersolide ou solide de dimension 4 dont les points sont disposés sur un hypersolide associé à un octogone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits  centrés octogonaux D3. Le terme général est n(n + 1)(2n² + 2n - 1)/6. Les 29 plus petits centrés octogonaux D4 sont :

Un nombre est de cette classe si son sextuple peut être décomposé en trois facteurs : un entier, le suivant et le double du produit de ces deux entiers moins 1. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne le centré octogonal D3 de rang suivant. Par exemple, 1716 est un centré octogonal D4 car 1716 × 6 = 8 × 9 × (2 × 8 × 9 - 1). Il est au rang 8. Son successeur est 1716 + 969 = 2685. 

Voici six propriétés concernant cette classe de nombres :

La période des unités des nombres successifs correspond à un palindrome de 20 chiffres : 01 160 516 655 661 506 110.

Les unités sont 0, 1, 5 et 6.

La somme des n plus petits centrés octogonaux D4 est un centré octogonal D5 de rang n.

La différence de deux centrés octogonaux D4 successifs est un centré octogonal D3.

Tout centré octogonal D4 est la différence de deux centrés octogonaux D5 successifs.

Les nombres centrés octogonaux D4 forment une suite arithmétique de degré 4.

n Nombre centré octogonal D5
Nombre centré solide D5 ou de dimension 5 dont les points sont disposés sur un solide de dimension 5 associé à un octogone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés octogonaux D4. Le terme général est n(n + 1)(n + 2)(2n² + 4n - 1)/30. Les 10 plus petits centrés octogonaux D5 sont : 1, 12, 58, 188, 483, 1064, 2100, 3816, 6501 et 10 516. Les différences successives des suites à partir de la suite des centrés octogonaux D5 sont :

© Charles-É. Jean

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