° Nombre dodécaédrique. –  Nombre figuré qui est engendré par un dodécaèdre. Les nombres dodécaédriques de dimensions 2, 3, 4 et 5 sont définis.

n Nombre gnomonique dodécaédrique ou dodécaédrique D2
Nombre plan ou de dimension 2 qui est représenté par le gnomon d’un dodécaédrique. Tout nombre de cette classe est la différence de deux dodécaédriques D3 successifs. Le terme général est (27n² - 45n + 20)/2. Les 29 plus petits gnomoniques dodécaédriques sont :

Un nombre est un gnomonique dodécaédrique si, lui ayant soustrait 10 et ayant multiplié le résultat par 2/9, on peut décomposer le nouveau résultat en deux facteurs : un entier et le triple de l’entier moins 5. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne 27 fois son rang et on soustrait 9. Par exemple, 1396 est un gnomonique dodécaédrique car (1396 - 10) × 2/9 = 11 × 28. Il est au rang 11. Son successeur est : 1396 + (27 × 11) - 9 = 1684. Voici quelques propriétés concernant les nombres de cette classe :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 20 chiffres qu’on peut décomposer en deux palindromes : 19 465 144 156 491 et 069 960.

Les unités sont 0, 1, 4, 5, 6 et 9.

La somme des n premiers gnomoniques dodécaédriques est un dodécaédrique de rang n.

La différence de deux gnomoniques dodécaédriques successifs est un multiple de 9.

Tout gnomonique dodécaédrique est la différence de deux dodécaédriques successifs.

L’ensemble des gnomoniques dodécaédriques forme une suite arithmétique de degré 2.

n Nombre dodécaédrique ou dodécaédrique D3
Nombre polyédrique de dimension 3 qui est engendré par un dodécaèdre régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est n fois le centré D2 ennéagonal de même rang. Par exemple, 55 est un centré D2 ennéagonal de rang 4, alors 55 × 4 = 220 est un dodécaédrique de rang 4. Le terme général est n(3n - 1)(3n - 2)/2. Les 29 plus petits dodécaédriques D3 sont :

Un nombre est un dodécaédrique D3 si on peut décomposer son double en trois facteurs : un entier, le triple de l’entier moins 2 et l’entier consécutif à ce dernier. Son rang est le plus petit facteur. Son successeur est le produit de rang suivant et du centré D2 ennéagonal de ce rang. Par exemple, 1330 est un dodécaédrique car 1330 × 2 = 7 × 19 × 20. Il est au rang 7. Son successeur est 8 × 253 = 2024. Voici quelques propriétés concernant les nombres de cette classe :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 20 chiffres : 10 405 604 506 090 065 400.

Les unités sont 0, 1, 4, 5, 6 et 9.

La somme des n premiers dodécaédriques D3 est un hyperdodécaédrique de rang n.

La différence de deux dodécaédriques D3 successifs est un gnomonique dodécaédrique.

Tout dodécaédrique D3 est la différence de deux hyperdodécaédriques successifs.

L’ensemble des dodécaédriques D3 forme une suite arithmétique de degré 3.

n Nombre hyperdodécaédrique ou dodécaédrique D4
Nombre polyédrique de dimension 4 qui est engendré par un dodécaèdre. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers dodécaédriques D3. Le terme général est n(9n³ + 6n² - 5n - 2)/8. Les 29 plus petits hyperdodécaédriques sont :

Voici quelques propriétés concernant les nombres de cette classe :

Les chiffres des unités sont 0, 1, 5 et 6.

La somme des n premiers hyperdodécaédriques est un dodécaédrique D5 de rang n.

La différence de deux hyperdodécaédriques successifs est un dodécaédrique.

Tout hyperdodécaédrique est la différence de deux dodécaédriques D5 successifs.

L’ensemble des hyperdodécaédriques forme une suite arithmétique de degré 4.

n Nombre dodécaédrique D5
Nombre polyédrique de dimension 5 qui est engendré par un dodécaèdre. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers hyperdodécaédriques. Les 10 plus petits dodécaédriques D5 sont : 1, 22, 127, 452, 1232, 2828, 5754, 10 704, 18 579 et 30 514. Les différences successives des suites à partir de la suite des dodécaédriques D5 sont :

© Charles-É. Jean

Index : D