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° Nombre de Catalan. – Entier naturel de la suite 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4 862, 16 796, ... Le terme général de rang n est le produit de 2(2n - 3)/n et du terme du rang précédent, sauf lorsque n est égal à l'unité où le terme est 1 par définition. Cette suite a été définie par Catalan, un mathématicien belge. Euler (1707-1783) avait trouvé ces nombres en déterminant le nombre de façons de partager un polygone convexe quelconque en triangles sans qu'aucune diagonale se coupe. À partir du triangle de Pascal, on peut obtenir la suite de Catalan. On retient le terme du centre de chaque rangée qui contient un nombre impair de termes. Les nombres retenus sont : 1, 2, 6, 20, 70, ... On divise les nombres de cette suite successivement par 1, 2, 3, 4, 5, ... ce qui fait : 1 ¸ 1 = 1, 2 ¸ 2 = 1, 6 ¸ 3 = 2, 20 ¸ 4 = 5, 70 ¸ 5 = 14, ... On peut illustrer cette suite en comptant le nombre de façons de joindre des paires de points sur un cercle sans que les cordes ne se croisent. Voici un exemple quand il y a trois paires :
© Charles-É. Jean |
