Dictionnaire de mathématiques récréatives Base

Base

Nombre de chiffres utilisés dans un système de numération où chaque chiffre a une valeur de position. Lorsque la base est 2, le système de numération est dit binaire. Lorsque la base est 3, il est dit ternaire. Lorsque la base est 10, il est dit décimal.

L'application de bases diverses permet la résolution de certains problèmes récréatifs. Par exemple, l'analyse du baguenaudier et du nim se fait à partir de la numération en base 2. Le tableau suivant donne les 15 plus petits entiers naturels en bases allant de 2 à 12.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

10

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11

10

3

3

3

3

3

3

3

3

3

100

11

10

4

4

4

4

4

4

4

4

101

12

11

10

5

5

5

5

5

5

5

110

20

12

11

10

6

6

6

6

6

6

111

21

13

12

11

10

7

7

7

7

7

1000

22

20

13

12

11

10

8

8

8

8

1001

100

21

14

13

12

11

10

9

9

9

1010

101

22

20

14

13

12

11

10

A

A

1011

102

23

21

15

14

13

12

11

10

B

1100

110

30

22

20

15

14

13

12

11

10

1101

111

31

23

21

16

15

14

13

12

11

1110

112

32

24

22

20

16

15

14

13

12

1111

120

33

30

23

21

17

16

15

14

13

Philippe de La Hire (1640-1718) a donné un procédé qui permet de produire des carrés magiques en passant d’une base n à la base 10. De façon générale, on choisit deux carrés latins orthogonaux. On superpose les éléments correspondants de ces deux carrés et on inscrit le résultat dans le troisième carré. Chaque premier chiffre est une "dizaine" et le second est l’unité de nombres dans la base n. On convertit chacun de ces nombre en base 10. On obtient le quatrième carré qui contient les nombres de 1 à (n² - 1). Ce carré est magique. Si on additionne 1 à chaque élément, le carré magique est normal. Voici trois exemples :

1. Les deux premières grilles sont des carrés latins orthogonaux d’ordre 3. On les superpose ; on obtient le troisième carré qui est formé des nombres de 0 à 22 en base 3. Le quatrième carré contient les nombres de 0 à 8 ; il est magique. Sa densité est 12.

En additionnant 1, on obtient le seul carré magique normal d’ordre 3.

2. Les deux premières grilles sont des carrés latins orthogonaux d’ordre 4. On les superpose ; on obtient le troisième carré qui est formé des nombres de 0 à 33 en base 4. Le quatrième carré contient les nombres de 1 à 15 ; il est magique. Sa densité est 30.

1	2	0	3	+	1	2	3	0	=	11	22	03	30	5	10	3	12
0	3	1	2		0	3	2	1		00	33	12	21	0	15	6	9
3	0	2	1		2	1	0	3		32	01	20	13	14	1	8	7
2	1	3	0		3	0	1	2		23	10	31	02	11	4	13	2

En additionnant 1, le carré magique est normal ; c’est le numéro 504 de l’index de Frénicle. Il est un des 880 carrés magiques normaux d’ordre 4.

3. Les deux premières grilles sont des carrés latins orthogonaux d’ordre 5. Chaque ligne du premier carré est formée des entiers de 0 à 4 dans l’ordre naturel, le 0 étant décalé de deux cases d’une ligne à l’autre. Chaque ligne du deuxième carré est formée de 0, 1, 4, 2, 3 dans cet ordre, le 0 étant décalé de trois cases d’une ligne à l’autre. On superpose les éléments ; on obtient le troisième carré qui est formé des nombres de 0 à 44 en base 5. Le quatrième carré contient les nombres de 0 à 24 ; il est magique. Sa densité est 60.

0	1	2	3	4	+	0	1	4	2	3	=	00	11	24	32	43	0	6	14	17	23
3	4	0	1	2		4	2	3	0	1		34	42	03	10	21	19	22	3	5	11
1	2	3	4	0		3	0	1	4	2		13	20	31	44	02	8	10	16	24	2
4	0	1	2	3		1	4	2	3	0		41	04	12	23	30	21	4	7	13	15
2	3	4	0	1		2	3	0	1	4		22	33	40	01	14	12	18	20	1	9

Pour avoir un carré magique normal, on additionne 1 à chaque élément du dernier carré. Il est l’un des 275 305 224 carrés magiques normaux d’ordre 5.

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