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Publications |
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Ceci est le sixième livre édité par Récréomath.
Secrets des carrés
magiques d'ordre 3
Par Charles-É. Jean
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Chapitre 8
Opérations sur les éléments
| Sommaire.
Somme d’éléments d’un carré magique. Somme du plus petit et du
plus grand élément. Différence du médian et d’un autre élément.
Somme des carrés des éléments. Différence des carrés des
éléments. Opérations sur les sommes de carrés. Système d’équations
à six variables. Produits et sommes des éléments. Cubes des
éléments. |
* * * * * * * * * * *
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8.01 Somme d’éléments d’un carré magique
n La somme des deux
éléments extrêmes de la deuxième ligne, de la deuxième colonne ou de
chaque diagonale d’un carré magique d’ordre 3 est égale à deux fois le
médian, soit 2m.
Soit le carré magique,
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a 11 |
a 12 |
a 13 |
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a 21 |
a 22 |
a 23 |
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a 31 |
a 32 |
a 33 |
On peut écrire : a21 + a23
= 2m, a12 + a32 = 2m, a11
+ a33 = 2m, a13 + a31
= 2m.
On sait que :
a21
+ a22 + a23 = d
a 21
+ m + a23 = 3m
a21
+ a23 = 2m
D’où, a22 = (a21 + a23)/2
= (a12 + a32)/2 = (a11 +
a33)/2 = (a13 + a31)/2.
n La somme des
quatre éléments des angles d’un carré magique d’ordre 3 est égale à
quatre fois le médian, soit 4m.
a 11 + a13
+ a31 + a33 = 4m, car a11
+ a33 = 2m et a13 + a31
= 2m.
n La somme des
quatre éléments extrêmes de la deuxième ligne et de la deuxième colonne
est égale à quatre fois le médian, soit 4m.
a 12 + a21
+ a23 + a32 = 4m, car a21
+ a23 = 2m et a12 + a32
= 2m.
n La somme des
deux premiers éléments de la première ligne et des deux derniers éléments
de la troisième ligne est égale à 4m.
a 11 + a12
+ a32 + a33 = 4m, car a12
+ a32 = 2m et a11 + a33
= 2m.
n La somme des
deux premiers éléments de la première colonne et des deux derniers de la
troisième colonne est égale à 4m.
a 11 + a21
+ a23 + a33 = 4m, car a21
+ a23 = 2m et a11 + a33
= 2m.
n La somme des
deux derniers éléments de la première ligne et des deux premiers de la
troisième ligne est égale à 4m.
a 12 + a13
+ a31 + a32 = 4m, car a12
+ a32 = 2m et a13 + a31
= 2m.
n La somme des
deux derniers éléments de la première colonne et des deux premiers de la
troisième colonne est égale à 4m.
a 13 + a21
+ a23 + a31 = 4m, car a13
+ a31 = 2m et a21 + a23
= 2m.
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8.02 Somme du plus petit et du plus grand élément
n La
somme du plus petit et du plus grand élément d’un carré magique est
égale à deux fois le médian.
Ces deux éléments peuvent occuper quatre positions :
a12, a21, a23 ou a32.
Les combinaisons possibles sont données dans ce tableau.
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Plus petit
élément |
Plus grand
élément |
Lieu |
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a 12 |
a 32 |
2e colonne |
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a 21 |
a 23 |
2e ligne |
|
a 23 |
a 21 |
2e ligne |
|
a 32 |
a 12 |
2e colonne |
Problème. Le plus petit élément d’un carré magique
est 5 et le plus grand 27. Calculez le médian du carré magique.
Solution. Soit p
le plus petit élément et q le plus grand,
p + q =
2m
5 + 27 = 2m
m = 16
Le médian est 16.
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8.03 Différence du médian et d’un autre élément
n La
différence du médian et du plus petit élément p est égale à la
somme des raisons du triplet et du trio.
En effet, m = p + r + r0.
D’où, m - p = r + r0.
n La
différence du plus grand élément q et du médian est égale à la
somme des raisons du triplet et du trio.
En effet, le plus grand élément est l’élément
extrême du plus petit. Puisque les termes de la deuxième ligne ou de la
deuxième colonne sont en progression arithmétique, alors q - m
= m - p = r + r0.
Exemple. Soit {(2, 4, 6), (7, 9, 11), (12, 14, 16)}, alors p
= 2, m = 9, q = 16, r = 2, r0 = 5.
r + r0 = 7, m - p = 7
et q - m = 7
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8.04 Somme des carrés des éléments
n
La
somme des carrés des éléments de la première ligne d’un carré magique d’ordre
3 est égale à la somme des carrés des éléments de la troisième ligne.
Soit le carré magique général,
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k +
a |
k -
a - b |
k +
b |
|
k -
a + b |
k |
k +
a - b |
|
k -
b |
k +
a + b |
k -
a |
On peut écrire ces deux équations.
(k + a)2
+ (k - a - b)2 + (k + b)2
= 3k2 + 2a2 + 2ab + 2b2
(k - b)2
+ (k + a + b)2 + (k - a)2
= 3k2 + 2a2 + 2ab + 2b2
Donc, (k + a)2 + (k - a
- b)2 + (k + b)2 = (k - b)2
+ (k + a + b)2 + (k - a)2
Exemple. Soit le carré magique,
Alors, 212 + 42 + 172 = 112 + 242
+ 72 = 746.
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n La somme des
carrés des éléments de la première colonne d’un carré magique d’ordre
3 est égale à la somme des carrés des éléments de la troisième colonne.
En effet, en transposant les lignes et les colonnes, la
première ligne devient la première colonne et la troisième ligne devient la
troisième colonne.
Exemple. Soit le carré magique,
Alors, 232 + 82 + 112 = 172
+ 202 + 52 = 714.
n
La somme des carrés des éléments de la deuxième ligne et de
la deuxième colonne est égale à la somme des carrés des éléments de la
première ligne et de la première colonne.
Exemple. Soit le carré magique,
Alors, 72 + 92 + 112 + 52
+ 92 + 132 = 122 + 52 + 102
+ 122 + 72 + 82 = 526.
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n La somme des
carrés des éléments de la deuxième ligne et de la deuxième colonne est
égale à la somme des carrés des éléments de la troisième ligne et de la
troisième colonne.
Exemple. Soit le carré magique,
Alors, 102 + 92 + 82 + 42
+ 92 + 142 = 62 + 142 + 72
+ 122 + 82 + 72 = 587.
Si on supprime les termes identiques de part et d’autre,
on obtient :
102 + 92 + 42 + 92
= 62 + 72 + 122 + 72 = 278.
8.05 Différence des carrés des éléments
n La
différence des carrés des éléments de la première ligne et de la
première colonne est égale à quatre fois le produit des raisons du trio et
du triplet.
Exemple. Soit le carré magique,
Le trio peut être : {(3, 4, 5), (7, 8, 9),
(11, 12, 13)}. Alors, r = 1 et r0 = 4. On peut
écrire :
(122 + 32 + 92) - (122
+ 52 + 72) = 16 = 4rr0.
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n La différence des carrés
des éléments de la troisième ligne et de la troisième colonne est égale
à quatre fois le produit des raisons du trio et du triplet.
Dans le carré magique précédent, on a : (72
+ 132 + 42) - (92 + 112 + 42)
= 16 = 4rr0.
n La différence des carrés
des éléments des deux diagonales, sauf le médian, est égale à deux fois
la différence des carrés des raisons du trio et du triplet.
Dans le carré magique précédent, on a : (122
+ 42) - (92 + 72) = 30 = 2(r02
- r2).
8.06 Opérations sur les sommes de carrés
Comme les équations précédentes proviennent de carrés magiques, on
peut faire une même opération sur les éléments et l’égalité demeure
vraie. Ceci est justifié par le fait que si on fait une même opération dans
un carré magique, on obtient un autre carré magique. Les carrés magiques
ainsi formés ont le même carré original.
Exemple 1. On peut additionner un nombre à chacun des
termes.
Exemple. Soit le carré magique,
Alors, 82 + 12 + 62 = 42
+ 92 + 22 = 101.
Si on additionne
successivement 1 à chacun des éléments, on aura :
92 + 22
+ 72 = 52 + 102 + 32 = 134
102 + 32
+ 82 = 62 + 112 + 42 = 173
112 + 42
+ 92 = 72 + 122 + 52 = 218
122 + 52
+ 102 = 82 + 132 + 62 = 269
Exemple 2. On peut soustraire un nombre à chacun des
termes.
Alors, 92 + 202 + 132 = 152
+ 82 + 192 = 650
|
|
Si on soustrait
successivement 3 à chacun des éléments, on aura :
62 + 172
+ 102 = 122 + 52 + 162 = 425
32 + 142
+ 72 = 92 + 22 + 132 = 254
02 + 112
+ 42 = 62 + (-1)2
+ 102 = 137
(-3)2 + 82 + 12 = 32 + (-
4)2 + 72 = 74
Exemple 3. On peut multiplier ou diviser chacun des termes
par un nombre.
Soit le carré magique,
|
20 |
7 |
18 |
|
13 |
15 |
17 |
|
12 |
23 |
10 |
Alors, 202 + 132 + 122 =
182 + 172 + 102 = 713
Si on multiplie
successivement par 2, 3, 4, on aura :
402 + 262
+ 242 = 362 + 342 + 202 = 2 852
602 + 392
+ 362 = 542 + 512 + 302 = 6
417
802 + 522
+ 482 = 722 + 682 + 402 = 11 408
Si on divise les deux premiers membres de la dernière
égalité par 6, on aura :
(13 1/3)2 + (8 2/3)2 + 82
= 122 + (11 1/3)2 + (6 2/3)2 = 2852/9
|
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8.07 Système d’équations
à six variables
En se basant sur les propriétés précédentes, on peut résoudre ce
système d’équations.
x2 +
y2 + z2 = u2 + v2
+ w2
x + y + z
= u + v + w
Soit un carré magique formé de neuf variables, on peut
attribuer à chaque élément une valeur en fonction de la raison r du
triplet et la raison r0 du trio.
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x |
y |
z |
=
|
k +
r0 |
k - r
- r0 |
k +
r |
|
m |
n |
p |
k + r
- r0 |
k |
k - r
+ r0 |
|
u |
v |
w |
k - r |
k + r
+ r0 |
k - r0 |
x = k + r0
y = k
– r – r0 z
= k + r
u = k – r v = k + r + r0
w = k – r0
Il suffit maintenant d’attribuer à k, r et
r0 des valeurs arbitraires pour trouver autant de solutions
que l’on veut.
Posons k = 7, r0 = 3, r =
2. Alors, x = 10, y = 2, z = 9, u = 5, v =
12, w = 4.
On peut vérifier que 102 + 22 +
92 = 52 + 122 + 42 = 185.
Le carré magique est :
|
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8.08 Produits et sommes des éléments
Soit le carré magique,
La somme des produits des éléments de chaque ligne est
égale à la somme des produits des éléments de chaque colonne : abc
+ def + ghj = adg + beh + cfj.
À partir du carré magique ci-dessous,
On peut écrire : (10 ´ 3 ´
11) + (9 ´ 8 ´ 7) + (5
´ 13 ´ 6) = (10 ´
9 ´ 5) + (3 ´ 8 ´
13) + (11 ´ 7 ´ 6) = 1
224.
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8.09 Cubes des éléments
n La somme des cubes
des éléments de la première ligne d’un carré magique, à laquelle on
retranche trois fois le produit de ses éléments, est égale à la somme des
cubes des éléments de la troisième ligne, à laquelle on retranche trois
fois le produit de ses éléments.
Soit le carré magique,
Alors, 103 + 23 + 93 -
3(10 ´ 2 ´ 9) = 53
+ 123 + 43 - 3(5 ´ 12 ´
4) = 1197.
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n La somme des cubes
des éléments de la première colonne d’un carré magique, à laquelle on
retranche trois fois le produit de ses éléments, est égale à la somme des
cubes des éléments de la troisième colonne, à laquelle on retranche trois
fois le produit de ses éléments.
n Soit deux carrés
magiques A et B dont B est formé par la somme ou la différence d’un
scalaire sur A, la somme des cubes des éléments de la première ligne de A
et de la troisième ligne de B est égale à la somme des cubes des éléments
de la première ligne de B et de la troisième ligne de A.
Soit deux carrés magiques où le deuxième provient de l’addition
de 4 à chacun des éléments,
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8 |
1 |
6 |
|
12 |
5 |
10 |
|
3 |
5 |
7 |
|
7 |
9 |
11 |
|
4 |
9 |
2 |
|
8 |
13 |
6 |
On peut écrire : 83 + 13 + 63
+ 83 + 133 + 63 = 123 + 53
+ 103 + 43 + 93 + 23 = 3 654.
n
Soit deux carrés magiques A et B dont B est
formé par la somme ou la différence d’un scalaire sur A, la somme des
cubes des éléments de la première colonne de A et de la troisième colonne
de B est égale à la somme des cubes des éléments de la première colonne
de B et de la troisième colonne de A.
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FIN
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