5.01 Arrangement des éléments
Sachant que neuf nombres sont les éléments d’un carré magique d’ordre 3, on peut disposer ces nombres en trois groupes de trois éléments appelés triplets. L’ensemble de ces groupes est appelé trio. Soit l’ensemble associé {a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈, a₉}, alors (a₁, a₂, a₃), (a₄ a₅, a₆) et (a₇, a₈, a₉) sont trois triplets magiques et {(a₁, a₂, a₃), (a₄ a₅, a₆), (a₇, a₈, a₉)} est un trio magique.

La différence entre les nombres voisins de chaque triplet est appelée la raison du triplet. Elle doit être toujours la même et est notée r. Ainsi, r = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = a₅ - a₄ = a₆ - a₅ = a₈ - a₇ = a₉ - a₈.

La différence entre chaque élément de même rang des triplets voisins est appelée la raison du trio. Elle doit toujours être la même et est notée r₀. Ainsi, r₀ = a₄ - a₁ = a₅ - a₂ = a₆ - a₃ = a₇ - a₄ = a₈ - a₅ = a₉ - a₆.

Par exemple, dans le trio {(15, 13, 11), (7, 5, 3), (- 1, - 3, - 5)}, r = - 2 et r₀ = - 8.

5.02 Conditions pour former un trio magique
Pour avoir un trio magique, il faut que chaque triplet soit formé de trois nombres qui sont en progression arithmétique et que les éléments de même rang de chaque triplet soient aussi en progression arithmétique.

Soit le trio {(a₁, a₂, a₃), (a₄, a₅, a₆), (a₇, a₈, a₉)}, si a₁ = a₂ et si a₁ = a₄, on aura le trio : {(a₁, a₁, a₁), (a₁, a₁, a₁), {(a₁, a₁, a₁)}. Alors, l’ensemble associé est {a₁} où r = r₀ = 0.

Si a₁ = a₂, on aura le trio : {(a₁, a₁, a₁), (a₄, a₄, a₄), {(a₇, a₇, a₇)}. L’ensemble associé est {a₁, a₄, a₇}où r = 0 et r₀ = a₄ - a_1.

Si a₂ = a₄, on aura le trio : {(a₁, a₂, a₃), (a₂, a₃, a₄), (a₃, a₄, a₅)}. L’ensemble associé est {a₁, a₂, a₃, a₄, a₅}où r = r₀ = a₂ - a_1.

Si a₃ = a₄, on aura le trio : {(a₁, a₂, a₃), (a₃, a₄, a₅), (a₅, a₆, a₇)}. L’ensemble associé est {a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇}où r = a₂ - a₁ et r₀ = a₃ - a_1.

Si tous les éléments sont différents, on aura le trio : {(a₁, a₂, a₃), (a₄, a₅, a₆), (a₇, a₈, a₉)} où r = a₂ - a₁ et r₀ = a₄ - a₁.

Il n’existe donc pas d’ensemble associé qui soit formé d’un nombre pair d’éléments. En conséquence, on ne peut pas construire un trio magique avec deux, quatre, six ou huit nombres différents.

5.03 Construction d’un trio magique
Connaissant neuf nombres qui forment un carré magique, on peut construire un trio d’abord en plaçant ces nombres en ordre croissant ou décroissant.

n L’ensemble associé est formé par neuf éléments différents. Trois cas peuvent se présenter :

• Si tous les éléments sont en progression arithmétique, alors on conserve cet ordre pour construire le trio. Soit l’ensemble associé {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}, le trio est : {(2, 4, 6), (8, 10, 12), (14, 16,18)}.

• Si les éléments sont en progression arithmétique trois par trois, alors on conserve cet ordre pour construire le trio. Soit l’ensemble associé {1, 3, 5, 8, 10, 12, 15, 17, 19}, le trio est : {(1, 3, 5), (8, 10, 12), (15, 17, 19)}

• Si les éléments, une fois en ordre numérique, ne sont pas en progression arithmétique, on place d’abord trois nombres dans les mêmes positions : le plus petit, celui du milieu et le plus grand. On place le deuxième plus petit nombre en deuxième position. Cela permet de connaître la raison des triplets. On complète chacun des triplets. Soit l’ensemble associé {3, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17}, le trio est : {(3, 6, 9), (7, 10, 13), (11, 14, 17)}.

n L’ensemble associé est formé par sept éléments en progression arithmétique. On écrit deux fois le troisième et le cinquième élément de l’ensemble associé. Soit l’ensemble associé {5, 10, 15, 20, 15, 30, 35}, le trio est : {(5, 10, 15), (15, 20, 25), (25, 30, 35)}. On peut vérifier que 2r = r₀.

n L’ensemble associé est formé par cinq éléments en progression arithmétique. On écrit deux fois le deuxième élément, trois fois le troisième et deux fois le quatrième. Comme les nombres ne sont pas en progression arithmétique, on intervertit le troisième et le quatrième élément, puis le sixième et le septième élément. Soit l’ensemble associé {3, 5, 7, 9, 11}, le trio est : {(3, 5, 7), (5, 7, 9), (7, 9, 11)}. On peut vérifier que r = r₀.

n L’ensemble associé est formé par trois éléments en progression arithmétique. On écrit trois fois chaque élément. Soit l’ensemble associé {5, 8, 11}, le trio est : {(5, 5, 5), (8, 8, 8), (11, 11, 11)}. On peut vérifier que r = 0 et r₀ ¹ 0.

n L’ensemble associé est formé par un élément. On écrit neuf fois le même élément. Soit l’ensemble associé {5}, le trio est : {(5, 5, 5,), (5, 5, 5), (5, 5, 5)}. On peut vérifier que r = r₀ = 0.

5.04 Construction d’un carré magique
À partir d’un trio formé précédemment, il est possible de construire un carré magique d’ordre 3 en procédant ainsi :

1. On place le premier élément du premier triplet au centre de la première ligne.

2. Chaque élément suivant est placé dans la colonne voisine sur la ligne supérieure.

3. Si le lieu approprié est en dehors du carré :

a) tout élément de la ligne supérieure à la première ligne est placé sur la ligne 3 dans la même colonne.

b) tout élément de la colonne voisine de la troisième colonne est placé dans la colonne 1 sur la même ligne.

4. Si le lieu approprié et déjà occupé, on place l’élément sous le dernier inscrit.

Soit le trio {(a₁, a₂, a₃), (a₄, a₅, a₆), (a₇, a₈, a₉)}, on procède ainsi.

Par exemple, le carré magique correspondant au trio : {(3, 6, 9), (4, 7, 10), (5, 8, 11)} est :

Par exemple, le carré ci-contre est un carré magique ascendant par rapport aux triplets car r = 2 et descendant par rapport au trio car r₀ = -3.

5.06 Forme générale d’un trio
Soit a le premier élément d’un ensemble de neuf nombres qui forment un carré magique, r et r₀ les raisons respectives du triplet et du trio, alors la forme générale du trio est : {(a, a + r, a + 2r), (a + r₀, a + r + r₀, a + 2r + r₀), (a + 2r₀, a + r + 2r₀, a + 2r +2r₀)}

5.07 Relations entre les raison du trio et d’un triplet
Lorsque neuf nombres sont en progression arithmétique, ils forment un trio et la raison du trio est le triple de la raison d’un triplet.

Soit p la raison d’une progression arithmétique et a le plus petit nombre, l’ensemble associé est : {a, a + p, a + 2p, a + 3p, a + 4p, a + 5p, a + 6p, a + 7p, a + 8p}. Le trio est: {(a, a + p, a + 2p), (a + 3p, a + 4p, a + 5p), (a + 6p, a + 7p, a + 8p)}.

r = p et r₀ = 3p. D’où r₀ = 3r. Le carré magique correspondant est :

Sachant que les éléments d’un carré magique sont en progression arithmétique de raison p et connaissant la densité du carré magique, on peut trouver le plus petit nombre.

Puisque m = a + r + r₀, alors a = m - r - r₀. D’où, a = m - 4p.

Problème 1. La densité d’un carré magique est 57 et la raison de la progression arithmétique est 5. Construisez le carré magique.

Solution. d = 57 d’où m = 19. Alors, a = m - 4p = 19 – 20 = - 1. Le trio est {(- 1, 4, 9), (14, 19, 24), (29, 34, 39)}. Le carré magique correspondant est :

Si la raison de la progression arithmétique était - 5 au lieu de 5, on aurait : a = m - 4p = 19 + 20 = 39. Le trio est : {(39, 34, 29), (24, 19, 14), (9, 4, -1)}. Le carré magique correspondant est :

On obtient donc un carré magique équivalent.

Problème 2. La densité d’un carré magique est 102 et le plus petit élément de la progression arithmétique est 8. Calculez la raison de la progression et construisez le carré magique.

Solution. La densité est 102. D’où le médian est 34. Comme a = m - 4p, alors p = (m - a)/4 = (34 - 8)/4 = 6½. Le trio est : {(8, 14½, 21), (27½, 34, 40½), (47, 53½, 60)}. Le carré magique correspondant est :

Problème 3. Le plus petit élément d’une progression arithmétique de raison 8 est 12. Calculer la densité sans construire le carré magique.

Problème 4. Une progression arithmétique de neuf éléments a comme premier nombre 25 et comme dernier 6 1/3. Construisez le carré magique.

Solution. On calcule d’abord la raison p de la progression arithmétique. Soit a le premier nombre et b le dernier nombre. Alors, b = a + 8p et p = (b – a)/8. D’où, p = - 2 1/3. Le trio est : {(25, 22 2/3, 20 1/3), (18, 15 2/3, 13 1/3), (11, 8 2/3, 6 1/3)}. Le carré magique correspondant est :

5.08 Trios équivalents
Deux trios sont équivalents si chaque trio contient les mêmes nombres et si au moins un élément du premier trio prend une autre position dans le deuxième trio.

Exemple. S = {(6, 9, 12), (4, 7, 10), (2, 5, 8)}

T = {(12, 10, 8), (9, 7, 5), (6, 4, 2)}

S et T sont des trios équivalents.

Tout comme pour le carré magique qu’il engendre, il existe huit façons différentes de disposer neuf nombres en un trio, soit huit trios équivalents.

À partir d’un trio, on peut :

a. intervertir le premier triplet et le troisième triplet.

b. intervertir le premier et le troisième élément de chaque triplet.

c. écrire le premier élément de chaque triplet pour former le premier triplet ; le second élément pour former le second triplet et le troisième élément pour former le troisième triplet.

Exemple. Soit T1 = {(2, 4, 6), (5, 7, 9), (8, 10, 12)}

T2 = {(8, 10, 12), (5, 7, 9), (2, 4, 6)}

T3 = {(6, 4, 2), (9, 7, 5), (12, 10, 8)}

T4 = {(12, 10, 8), (9, 7, 5), (6, 4, 2)}

T5 = {(2, 5, 8), (4, 7, 10), (6, 9, 12)}

T6 = {(6, 9, 12), (4, 7, 10), (2, 5, 8)}

T7 = {(8, 5, 2), (10, 7, 4), (12, 9, 6)}

T8 = {(12, 9, 6), (10, 7, 4), (8, 5, 2)}

Les trios équivalents ont les mêmes raisons en valeur absolue. Le tableau suivant nous indique les raisons en fonction de chaque trio.

Le nombre de trios équivalents varie selon le nombre d’éléments dans l’ensemble associé. Voici un tableau :

À partir d’un carré-image, on peut obtenir un carré magique ainsi :

1. On déplace d’une case les éléments périphériques dans le sens des aiguilles d’une montre.

2. On intervertit les éléments conjugués de la première colonne, de la deuxième ligne et de la troisième colonne.