Chapitre 6. Figures magiques

6.01 Carrés magiques d’ordre 3

Pour construire un carré magique 3 × 3, il faut choisir neuf nombres d’une façon appropriée. Le plus petit carré magique est formé des entiers de 1 à 9. On le qualifie de normal. La somme dans chaque rangée horizontale, verticale et diagonale est 15. Voici une des huit représentations de ce carré :

Problème 1

Comment peut-on s’y prendre pour trouver des nombres qui permettent de construire des carrés magiques 3 × 3 ?

Démarche 1

On peut construire un carré magique avec n’importe laquelle suite de neuf entiers consécutifs. Par exemple, on peut choisir la suite 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 et 14. La somme dans chaque rangée est 30, soit le triple du nombre du milieu de la suite, qui est 10. Pour construire le carré, on écrit les entiers dans le même ordre que dans le carré précédent. Le 6 est mis à la place du 1, le 7 à la place du 2, le 8 à la place du 3 et ainsi de suite. On a alors :

Démarche 2

On peut choisir une suite de nombres dont la différence entre chaque nombre voisin est la même. Par exemple, on pourrait prendre la suite : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 qu’on distribue dans le carré dans le même ordre que précédemment. On a alors :

Démarche 3

On peut choisir un premier triplet dont la différence entre chaque terme est identique, par exemple (7, 8, 9). On additionne un nombre, par exemple 6, à chacun des termes précédents. On obtient un deuxième triplet, soit (13, 14, 15). On additionne le même nombre à chacun des termes précédents. On obtient un troisième triplet, soit (19, 20, 21). Pour construire le carré, on écrit les entiers dans le même ordre que dans les carrés précédents. On a alors :

Démarche 4

On peut choisir un premier triplet dont la différence entre chaque terme est identique, par exemple (3, 5, 7). On choisit un deuxième triplet dont le premier terme est (7 + 8) et dont la différence entre chaque terme est la même, soit (15, 17, 19). On choisit un troisième triplet dont le premier terme est (19 + 8) et dont la différence entre chaque terme est la même, soit (27, 29, 31). On a alors :

On pourrait disposer autrement les nombres dans les carrés. Par exemple, dans le dernier cas, on pourrait avoir :

Problème 2

Cinq nombres sont donnés : 1, 5, 6, 7, 11. Trouvez quatre autres nombres qui permettent de produire un carré magique d’ordre 3 et formez le carré magique. Solution 6.01-2

Problème 3

Complétez le carré magique suivant. Solution 6.01-3

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6.02 Un carré magique d’ordre 4

Un carré magique d’ordre 4 est une grille carrée 4 × 4 dans laquelle on place 16 nombres de telle manière que la somme est toujours la même dans chaque ligne, colonne et diagonale. Un tel carré magique est normal quand on dispose les entiers de 1 à 16.

Problème 1

Le carré magique normal suivant étant donné, trouvez au moins 10 propriétés.

Propriétés essentielles

Les propriétés essentielles sont :

1. La somme des nombres dans chaque ligne est 34.

2. La somme des nombres dans chaque colonne est 34.

3. La somme des nombres dans chaque diagonale principale est 34.

Propriétés subsidiaires

Nous allons indiquer 21 propriétés subsidiaires qui s’appliquent au carré magique donné et qui pourraient s’appliquer en partie à l’un ou à l’autre des 880 carrés magiques normaux d’ordre 4.

1. Sur chaque ligne, on a deux couples de nombres dont la somme est 17.

2. Dans chaque colonne, on a un couple dont la somme est 15 et l’autre 19.

3. Dans chaque diagonale, on a un couple dont la somme est 13 et l’autre 21.

4. La somme des deux nombres du milieu de la première et de la quatrième ligne est 34.

8 + 9 + 14 + 3 = 34

5. La somme des deux nombres du milieu de la première et de la quatrième colonne est 34.

13 + 7 + 4 + 10 = 34

6. La somme des nombres des quatre carrés 2 × 2 des coins est 34.

2 + 8 + 13 + 11 = 34

9 + 15 + 6 + 4 = 34

7 + 1 + 12 + 14 = 34

16 + 10 + 3 + 5 = 34

7. La somme des nombres de trois carrés 2 × 2 passant par la deuxième et la troisième colonne est 34.

8 + 9 + 11 + 6 = 34

11 + 6 + 1 + 16 = 34

1 + 16 + 14 + 3 = 34

8. La somme des coins des quatre carrés 3 × 3 est 34.

2 + 9 + 7 + 16 = 34

8 + 15 + 1 + 10 = 34

13 + 6 + 12 + 3 = 34

11 + 4 + 14 + 5 = 34

9. La somme des coins du carré 4 × 4 est 34.

2 + 15 + 12 + 5 = 34

10. La somme des diagonales brisées en deux parties égales est 34.

8 + 13 + 10 + 3 = 34

9 + 4 + 7 + 14 = 34

11. La somme des éléments extrêmes de la diagonale de gauche est égale à la somme des deux éléments centraux de l’autre diagonale.

2 + 5 = 1 + 6.

12. La somme des éléments centraux de la diagonale de gauche est égale à la somme des éléments extrêmes de l’autre diagonale.

11 + 16 = 15 + 12.

13. La somme des carrés de la première ligne est égale à la somme des carrés de la quatrième ligne.

2² + 8² + 9² + 15² = 374

12² + 14² + 3² + 5² = 374

14. La somme des carrés de la première colonne est égale à la somme des carrés de la quatrième colonne.

2² + 13² + 7² + 12² = 366

15² + 4² + 10² + 5² = 366

15. La somme des carrés de la deuxième colonne est égale à la somme des carrés de la troisième colonne.

8² + 11² + 1² + 14² = 382

9² + 6² + 16² + 3² = 382

16. En regroupant les égalités des propriétés 14 et 15, on obtient deux égalités de carrés qui contiennent les nombres de 1 à 16 :

1² + 2² + 7² + 8² + 11² + 12² + 13² + 14² = 748

3²+ 4² + 5² + 6² + 9² + 10² + 15² + 16² = 748

17. La somme des carrés d’une diagonale est égale à la somme des carrés de l’autre diagonale et aussi à la somme des carrés de la troisième ligne.

2² + 11² + 16² + 5² = 406

15² + 6² + 1² + 12² = 406

7² + 1² + 16² + 10² = 406

18. La somme des carrés d’une diagonale brisée en deux parties est égale à la somme des carrés de l’autre diagonale brisée et aussi à la somme des carrés de la deuxième ligne.

8² + 13² + 10² + 3² = 342

9² + 4² + 7² + 14² = 342

13² + 11² + 6² + 4² = 342

19. La somme des carrés du petit carré 2 × 2 du coin supérieur gauche est égale à la somme des carrés du petit carré 2 × 2 du coin supérieur droit, à la somme des carrés des sommets du carré 3 × 3 du coin inférieur gauche de même qu’à la somme des carrés des sommets du carré 3 × 3 du coin inférieur droit.

2² + 8² + 13² + 11² = 358

9² + 15² + 6² + 4² = 358

13² + 6² + 12² + 3² = 358

11² + 4² + 14² + 5² = 358

20. La somme des carrés du petit carré 2 × 2 du coin inférieur gauche est égale à la somme des carrés du petit carré 2 × 2 du coin inférieur droit, à la somme des carrés des sommets du carré 3 × 3 du coin supérieur gauche de même qu’à la somme des carrés des sommets du carré 3 × 3 du coin supérieur droit.

7² + 1² + 12² + 14² = 390

16² + 10² + 3² + 5² = 390

2² + 9² + 7² + 16² = 390

8² + 15² + 1² + 10² = 390

21. La somme des cubes de la première ligne est égale à la somme des cubes de la quatrième ligne.

2³ + 8³ + 9³ + 15³ = 4624

12³ + 14³ + 3³ + 5³ = 4624

Il existe certainement d’autres propriétés.

Problème 2

Le carré magique normal suivant étant donné, trouvez 10 propriétés subsidiaires. Solution 6.02-2

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6.03 Carrés magiques d’ordre 5

Dans un carré magique d’ordre 5 qui contient les entiers de 1 à 25, la somme dans chaque ligne, colonne et diagonale est 65.

Problème 1

Comment formez un carré magique 5 × 5 sans faire de calculs ?

Démarche

• On place 1 dans la case centrale de la première ligne.

• Par la suite, on avance en diagonale de gauche à droite.

• Le 2 se retrouve à l’extérieur de la grille. On le ramène dans la même colonne sur la ligne du bas.

• On continue à avancer en diagonale.

• Le 4 se retrouve à l’extérieur de la grille. On le ramène dans la même ligne dans la première colonne.

• On continue à avancer en diagonale. Le 6 ne peut pas être placé selon cette règle. On l’écrit sous le 5.

• On continue selon les mêmes règles.

• On place le 11 sous le 10.

• On continue et on place le 16 sous le 15.

• On suit les mêmes règles jusqu’à 25.

Le carré obtenu est :

On efface les deux bordures extérieures. On trouve que la somme est bien 65 dans chaque rangée.

On peut suivre la même démarche avec des suites arithmétiques comme 2, 3, 4, 5, … et 2, 5, 8, 11 ... On aura toujours un carré magique.

Problème 2

Comment former un carré magique 5 × 5 en faisant seulement quelques additions ?

Démarche

• On choisit une suite de cinq termes.

• On additionne un nombre choisi à chacun des termes de cette suite.

• On additionne le même nombre choisi à la dernière suite une première, une deuxième et une troisième fois.

Par exemple, on choisit 1, 3, 5, 7, 9. On additionne 11 et on obtient : 12, 14, 16, 18, 20. On additionne 11 et on obtient : 23, 25, 27, 29, 31. On additionne 11 et on obtient : 34, 36, 38, 40, 42. On additionne 11 et on obtient : 45, 47, 49, 51, 53.

On place les nombres selon l’algorithme expliqué précédemment. La somme par rangée sera 135. Le carré magique obtenu est :

On peut appliquer cette méthode à des carrés magiques d’ordre impair comme 7 × 7, 9 × 9, etc. Ça marche toujours.

Problème 3

Formez un carré magique d’ordre 5 avec les nombres de la suite 1, 4, 7, 10, 13, …, 70, 73. Solution 6.03-3

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6.04 Carrés magiques à bordures

Un carré magique d’ordre 5 est dit à bordures quand le carré central d’ordre 3 est magique et qu’en ajoutant une rangée tout autour on a un carré d’ordre 5 qui est magique. Voici un carré magique à bordures d’ordre 5 :

Au centre, on trouve un carré magique d’ordre 3 non normal dont la somme dans chaque rangée horizontale, verticale et diagonale est 39. Le carré d’ordre 5 est magique, car la somme dans chaque rangée est identique, soit 65. Il est normal, car il contient les nombres consécutifs de 1 à 25.

Problème 1

Comment procède-t-on pour former un carré magique normal à bordures d’ordre 5 ?

Démarche

· On écrit les nombres de 9 à 17 dans le carré central d’ordre 3 pour que la somme dans chaque rangée soit 39. Il existe huit façons d’y placer les nombres.

· Dans la première et la cinquième case de la première ligne, on écrit les éléments d’un des couples suivants : (1, 3), (2, 8), (3, 5), (3, 7), (4, 6), (5, 7).

· On complète chaque diagonale pour que la somme de l’élément choisi et de l’élément manquant soit 26.

· On complète la première ligne et la première colonne pour qu’on y obtienne une somme de 65.

· On complète la cinquième ligne, puis la cinquième colonne en soustrayant de 26 les éléments connus.

Par exemple, après avoir formé le carré d’ordre 3 central, on place 5 et 7 sur la première ligne, puis, en complétant, 19 et 21 sur la cinquième ligne. Il manque 53 sur la première ligne et 41 dans la première colonne. Les couples non utilisés sont (1, 25), (2, 24), (3, 23), (4, 22), (6, 20) et (8, 18). On cherche dans ces couples les éléments dont la somme est 53. On biffe les couples utilisés. On vérifie dans les trois couples qui restent si on peut trouver une somme de 41. Si oui, on place les éléments aux endroits appropriés. On complète la cinquième ligne et la cinquième colonne. On obtient ceci.

Dans ce carré, la somme de chaque rangée du grand carré est 65. Ce carré est dit normal.

Problème 2

Comment procède-t-on pour former un carré magique non normal d’ordre 5 ?

Démarche

· On choisit un nombre qui est la somme C dans chaque rangée du carré d’ordre 3 central.

· On remplit le carré d’ordre 3 central.

· La somme M des deux nombres qui manquent dans chaque rangée doit être 2C/3.

· On complète les diagonales avec la somme M.

· On complète la première ligne avec la somme C + M.

· On complète chacune des trois colonnes du centre avec la somme C + M.

· On complète la première colonne avec la somme C + M.

· On complète chacune des trois lignes du centre avec la somme C + M.

Voici un exemple où C = 39 et M = 26 :

La somme de chaque rangée est 65. Le carré d’ordre 5 est magique, mais non normal.

Problème 3

Formez un carré magique d’ordre 5 à bordures avec les nombres impairs de 1 à 49. Solution 6.04-3

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6.05 Carrés magiques non normaux

Rappelons qu’un carré est magique quand la somme est identique dans chaque ligne, colonne et diagonale. Un carré magique est normal quand il contient les entiers consécutifs de 1 à n² où n est l’ordre du carré. Par exemple, un carré magique normal d’ordre 4 est formé des entiers de 1 à 16.

Les carrés magiques non normaux sont ceux qui acceptent n’importe lesquels nombres, qu’ils soient positifs ou négatifs, y compris la répétition de nombres. On peut même y trouver des fractions ou des nombres décimaux.

Problème 1

Comment composer des carrés magiques non normaux d’ordre 3 ?

Démarche

· On choisit un multiple de 3 qui est la somme S de chaque rangée.

· On place S/3 au milieu.

· On complète les deux diagonales pour que leur somme soit S.

· On complète le tout pour que la somme soit S dans chaque rangée.

Exemple 1

On choisit 24 comme somme de chaque rangée. On place 8 au centre. La somme des deux nombres qui manquent notamment dans chaque diagonale est 16. On complète les diagonales, les lignes 1 et 3, puis les colonnes 1 et 3. Voici un résultat :

À partir d’un tel carré magique, on peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser tout nombre et obtenir d’autres carrés magiques non normaux. Par exemple, si on divise chaque élément par 2, on obtient le carré magique suivant pour lequel la somme est 12 dans chaque rangée.

Exemple 2

Supposons qu’en faisant la démarche proposée, on obtient deux nombres négatifs, comme dans le carré de gauche. Si on ne veut pas de nombres négatifs, on additionne un nombre supérieur à la valeur absolue du plus petit élément. Par exemple, on peut additionner 7.

Si on obtient un 0 et qu’on ne veut pas le conserver, on additionne 1 ou plus à chaque nombre de la grille.

Problème 2

Comment composer des carrés magiques non normaux d’ordre 4 ?

Démarche

· On choisit un nombre qui est la somme S de chaque rangée.

· On place quatre nombres dans le carré central 2 × 2, tels que leur somme est S.

· On complète les deux diagonales pour que leur somme soit S.

· On complète un carré 2 × 2 des coins avec deux nombres tels que la somme des quatre nombres est S.

· On complète chaque rangée.

Par exemple, on choisit 53 comme somme. On peut obtenir ceci.

Problème 3

Comment composer des carrés magiques non normaux d’ordre 5 ?

Démarche

· On choisit un nombre qui est la somme S de chaque rangée.

· On remplit chaque diagonale pour que la somme des éléments soit S.

· On complète les trois premières lignes.

· On complète les colonnes, sauf celle du milieu.

· On complète les deux dernières lignes.

Voici un carré magique lorsque la somme de chaque rangée est 69 :

Problème 4

Complétez le carré ci-après pour que la somme de chaque rangée horizontale, verticale et diagonale soit la même. Les quatre termes de la quatrième ligne sont donnés. On doit obtenir un carré magique non normal.

Solution 6.05-4

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6.06 Un triangle magique

Problème 1

Sur les côtés de ce triangle, placez les nombres de 1 à 9 dans les cases jaunes pour que la somme soit identique sur chacun des côtés.

Démarche

Les sommes possibles des côtés varient de 17 à 23. En effet, la somme des nombres de 1 à 9 est 45. Les nombres sur chacun des sommets doivent être comptés deux fois pour établir la somme. Les plus petits éléments aux sommets sont possiblement 1, 2 et 3, soit une somme de 6. On fait : 45 + 6 = 51 et 51 ÷ 3 = 17. La plus petite somme possible sur les côtés est 17.

Les plus grands éléments aux sommets sont possiblement 7, 8 et 9, soit une somme de 24. On fait : 45 + 24 = 69 et 69 ÷ 3 = 23. La plus grande somme possible sur les côtés est 23.

Cas 1. Une somme de 17

On place 1, 2 et 3 dans les sommets. Les couples (1, 3), (3, 2) et (2, 1) se retrouvent respectivement chacun sur un côté. Il manque sur chaque côté 13, 12 et 14. Cela peut correspondre aux paires (6, 7), (4, 8) et (5, 9). On remplit la figure avec ces données.

On peut aussi placer les paires (4, 9), (5, 7) et (6, 8).

Cas 2. Une somme de 18

La somme des sommets devra être 9. Il y a trois possibilités pour les sommets : (1, 2, 6), (1, 3, 5), (2, 3, 4).

· La possibilité est (1, 2, 6)

Il manque sur les côtés 15, 10 et 11. Les nombres qui restent sont : 3, 4, 5, 7, 8, 9. On ne peut pas former tous les couples. Il n’y a pas de solution dans ce cas.

· La possibilité est (1, 3, 5)

Il manque sur les côtés 14, 10 et 12. Les nombres qui restent sont : 2, 4, 6, 7, 8, 9. On ne peut pas former tous les couples. Il n’y a pas de solution dans ce cas.

· La possibilité est (2, 3, 4)

Il manque sur les côtés 13, 11 et 12. Les nombres qui restent sont : 1, 5, 6, 7, 8, 9. On ne peut pas former tous les couples. Il n’y a pas de solution dans ce cas.

Cas 3. Une somme de 19

La somme des sommets doit être 12. Il y a sept possibilités pour les sommets : (1, 2, 9), (1, 3, 8), (1, 4, 7), (1, 5, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6) et (3, 4, 5). Il y a deux solutions lorsque les sommets sont 1, 4 et 7.

Cas 4. Une somme de 20

Nous vous donnons une solution quand les sommets sont 3, 5 et 7.

Cas 5. Une somme de 21

La somme des sommets doit être 18. On a le même nombre de solutions que pour la somme 19. Pour les trouver, de 10, on soustrait chacun des éléments. On appelle cela une figure complémentaire. Voici le triangle complémentaire de la première solution de la somme 19 :

Cas 6. Une somme de 22

La somme des sommets doit être 21. Comme il n’y a pas de solution pour la somme 18, il n’y en a pas pour la somme 22.

Cas 7. Une somme de 23

La somme sur les sommets doit être 24. On a le même nombre de solutions que pour la somme 17. Pour les trouver, de 10, on soustrait chacun des éléments. Voici le triangle complémentaire de la première solution de la somme 17 :

Problème 2

 On décide de placer chacun des nombres impairs de 1 à 17 sur les côtés du triangle. Trouvez une configuration quand la somme est 30. Solution 6.06-2

Problème 3

On décide de placer les nombres de la suite 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25. Trouvez une configuration quand la somme est 52. Solution 6.06-3

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6.07 Rectangles magiques

Un rectangle magique est une grille rectangulaire composée de m lignes et de n colonnes dans laquelle on peut écrire des nombres, ordinairement des entiers. La somme de chaque ligne doit être unique et celle de chaque colonne doit aussi être unique, mais différente de celle des lignes.

Pour trouver la somme de chaque ligne et celle de chaque colonne, on procède ainsi :

• On additionne les nombres qu’on veut inclure dans la grille.

• On divise la somme par le nombre de lignes, soit m : c’est la somme de chaque ligne.

• On divise la somme par le nombre de colonnes, soit n : c’est la somme de chaque colonne.

Problème 1

Comment composer des rectangles magiques d’ordre 2 × 3 ?

Démarche

On choisit une suite de sept termes. Dans le rectangle de gauche, on écrit les trois premiers termes sur la première ligne. On écrit les trois derniers sur la deuxième ligne dans l’ordre inverse de l’écriture. On écrit sur la première ligne du tableau de droite les nombres des cases colorées, les autres nombres sur la deuxième ligne.

Cas 1. On choisit les entiers de 1 à 7. On écrit les nombres, sauf 4, dans le rectangle de gauche. On transfère les nombres dans le rectangle de droite en tenant compte des couleurs.

Ce rectangle est magique. La somme est 12 dans chaque ligne et 8 dans chaque colonne.

Une des propriétés de ce rectangle est de générer des égalités de carrés. En effet, on peut écrire :

1² + 5² + 6² = 2² + 3² + 7² = 62.

Cas 2. On choisit la suite 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27. On écrit les nombres, sauf 15, dans le rectangle de gauche.

Le rectangle de droite est magique. La somme est 45 dans chaque ligne et 30 dans chaque colonne.

On peut écrire :

3² + 19² + 23² = 7² + 11² + 27² = 899.

Problème 2

Comment composer des rectangles magiques d’ordre 2 × 4 ?

Démarche

Cas 1. On choisit les entiers de 1 à 8. Dans les rectangles, on écrit les nombres d’après la démarche précédente.

Le rectangle de droite est magique. La somme est 18 dans chaque ligne et 9 dans chaque colonne.

On peut écrire :

1² + 4² + 6² + 7² = 2² + 3² + 5² + 8² = 102.

Cas 2. On choisit la suite 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23. On procède comme précédemment.

Le rectangle de droite est magique. La somme est 50 dans chaque ligne et 25 dans chaque colonne.

On peut écrire :

2² + 11² + 17² + 20² = 5² + 8² + 14² + 23² = 814.

Problème 3

Comment composer des rectangles magiques d’ordre 2 × 5 ?

Démarche

On choisit les entiers de 1 à 13, sauf 6, 7 et 8. On procède comme précédemment.

Le rectangle de droite est magique. La somme est 35 dans chaque ligne et 14 dans chaque colonne.

On peut écrire :

1² + 3² + 9² + 10² + 12² = 2² + 4² + 5² + 11² + 13² = 335.

Problème 4

Comment composer des rectangles magiques d’ordre 2 × 6 ?

Démarche

On choisit les entiers de 1 à 12. Dans le premier rectangle, on écrit les nombres à la suite et on colorie en faisant les calculs appropriés. On peut obtenir :

Le rectangle est magique. La somme est 39 dans chaque ligne et 13 dans chaque colonne.

On peut écrire :

1² + 3² + 7² + 8² + 9² + 11² = 2² + 4² + 5² + 6² + 10² + 12² = 325.

Problème 5

Comment composer des rectangles magiques d’ordre 2 × 7 ?

Démarche

On choisit les nombres de 1 à 15, sauf 8. Dans le premier rectangle, on écrit les nombres à la suite et on colorie en faisant les calculs appropriés. On peut obtenir :

Le rectangle est magique. La somme est 56 dans chaque ligne et 16 dans chaque colonne.

On peut écrire :

1² + 2² + 7² + 10² + 11² + 12² + 13² = 3² + 4² + 5² + 6² + 9² + 14² + 15² = 588.

Problème 6

Comment composer des rectangles magiques d’ordre 2 × 8 ?

Démarche

On choisit les nombres de 1 à 16. Dans le premier rectangle, on écrit les nombres à la suite et on colorie en faisant les calculs appropriés. On peut obtenir :

Le rectangle est magique. La somme est 68 dans chaque ligne doit et 17 dans chaque colonne.

On peut écrire :

1² + 3² + 6² + 8² + 10² + 12² + 13² + 15² = 2² + 4² + 5² + 7² + 9² + 11² + 14² + 16² = 748.

Dans chacune des égalités de carrés ci-avant, on peut additionner un même nombre à chaque terme. Par exemple, dans le dernier cas, quand on additionne 13, on a :

14² + 16² + 19² + 21² + 23² + 25² + 26² + 28² = 15² + 17² + 18² + 20² + 22² + 24² + 27² + 29² = 3868.

Problème 7

Composez un rectangle magique d’ordre 2 × 5 à partir de la suite 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, en retranchant 17, 20 et 23. Solution 6.07-7

Problème 8

Composez un rectangle magique d’ordre 2 × 6 avec les nombres de la suite 1, 4, 7, …, 31, 34 ? Solution 6.07-8

Conclusion

La démarche générale peut être appliquée à tous les rectangles d’ordre 2 × n.

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6.08 Triple X magique

Problème 1

Comment peut-on distribuer les nombres de 1 à 11 dans la figure ci-après formée de 11 cases disposées en diagonales pour que la somme soit la même dans chaque rangée de trois cases ?

Démarche

D’abord déterminons la somme possible pour les rangées de la figure. Pour ce faire, on attribue à chaque cellule un indice qui correspond au nombre de rangées qui passent par cette cellule.

Les quatre cellules marquées 1 appartiennent à une seule rangée. Les sept cellules marquées 2 sont à l’intersection de deux rangées. La somme des entiers de 1 à 11 est 66. Si chaque cellule était marquée 2, la somme totale serait 132.

On suppose que les entiers de 1 à 7 sont placés dans les cellules marquées 2. On peut écrire : (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) × 2 + (8 + 9 + 10 + 11) × 1 = 56 + 38 = 94. Il y a six rangées. On fait : 94 ÷ 6 = 15 ⅔. La plus petite somme par rangée est probablement 16. On dit probablement parce qu’on n’est pas certain qu’il y aura possibilité de répartir les nombres de 1 à 11 avec cette somme.

On suppose que les entiers de 1 à 4 sont placés dans les cellules marquées 1. On peut écrire : (1 + 2 + 3 + 4) × 1 + (5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11) × 2 = 10 + 112 = 122. Il y a six rangées. On fait : 122 ÷ 6 = 20 ⅓. La plus grande somme par rangée est probablement 20.

Somme par rangée : 16

La somme totale doit être 16 × 6 = 96. La somme des quatre éléments des coins est donc 132 – 96 = 36. Les combinaisons de 36 sont : (6, 9, 10, 11) et (7, 8, 10, 11). Voici une configuration :

Somme par rangée : 17

La somme totale doit être 17 × 6 = 102. La somme des quatre éléments des coins est donc 132 – 102 = 30. Les combinaisons de 30 sont : (1, 8, 10, 11), (2, 7, 10, 11), (3, 6, 10, 11), (4, 5, 10, 11), (2, 8, 9, 11), (3, 7, 9, 11), (4, 6, 9, 11). Voici une configuration :

Somme par rangée : 18

La somme totale doit être 18 × 6 = 108. La somme des quatre éléments des coins est donc 132 – 108 = 24. Voici une configuration :

Somme par rangée : 19

On choisit une configuration dont la somme par rangée est 17. De 12, on soustrait chaque élément. C’est une configuration dite complémentaire. Voici une configuration qui est complémentaire à celle donnée précédemment lorsque la somme est 17 :

Problème 2

Trouvez une configuration avec les mêmes nombres lorsque la somme par rangée est 20. Solution 6.08-2

Problème 3

Trouvez une configuration avec les nombres de la suite 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32 lorsque la somme par rangée est 51. Solution 6.08-3

Conclusion

Il existe au moins une configuration pour chaque somme par rangée de 16 à 20. Ce sont les cinq sommes possibles. Par ailleurs, chaque somme a un nombre fini de configurations.

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