Chapitre 3. Nombres et opérations

3.01 Multiplication avec les doigts

Le mathématicien français Nicolas Chuquet (1445-1488) a indiqué un procédé pour multiplier des nombres de 6 à 9 quand on connaît le produit des nombres de 1 à 5. Pour ce faire, on utilise les doigts : ce qui fait plaisir aux jeunes qui ont la bougeotte.

Problème

Comment trouver le produit de deux nombres allant de 6 à 9 ?

Démarche

On replie entièrement les doigts d’une main. On représente le chiffre par l’excédent de 5 en levant un ou plusieurs doigts. Les autres doigts demeurent alors repliés. On représente :

• 6 par un doigt levé (5 + 1)

• 7 par deux doigts levés (5 + 2)

• 8 par trois doigts levés (5 + 3)

• 9 par quatre doigts levés (5 + 4)

Pour trouver la dizaine du produit, on compte le nombre de doigts levés. Pour trouver le dernier chiffre du produit, on multiplie les nombres qui correspondent aux doigts repliés. Quand le produit est plus grand que 9, on additionne 1 à la dizaine trouvée et on conserve l’unité du produit.

Exemple 1

Faisons le produit de 7 et de 8.

1. Pour 7, on lève deux doigts d’une main.

2. Pour 8, on lève trois doigts de l’autre main.

3. Le nombre de doigts levés est la dizaine du produit, soit 2 + 3 = 5.

4. Dans la première main, trois doigts sont repliés et dans la seconde, deux doigts sont repliés. On fait : 3 × 2 = 6.

D’où, le produit de 7 et de 8 est 56.

Exemple 2

Faisons le produit de 6 et de 7.

1. Pour 6, on lève un doigt d’une main.

2. Pour 7, on lève deux doigts de l’autre main.

3. Le nombre de doigts levés est la dizaine du produit, soit 1 + 2 = 3.

4. Dans la première main, quatre doigts sont repliés et dans la seconde, trois doigts sont repliés. On fait : 4 × 3 = 12.

5. On fait : 3 + 1 = 4 qui est la dizaine. On conserve 2 comme unité.

D’où, le produit de 6 et de 7 est 42.

Conclusion

Certains enfants ont de la difficulté à apprendre leur table de multiplication. Cela peut être un excellent moyen pour qu’ils fassent du progrès.

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3.02 Avec huit chiffres

Problème 1

Trouvez la plus petite somme quand on additionne quatre nombres de deux chiffres composés des chiffres de 1 à 8 pris chacun une seule fois.

Démarche

On écrit les plus petits chiffres dans la colonne des dizaines et les autres dans celle des unités. L’ordre dans lequel les chiffres sont placés dans une colonne n’a pas d’importance.

On a : 15 + 26 + 37 + 48 = 126. La plus petite somme est 126.

Problème 2

Trouvez la plus grande somme quand on additionne quatre nombres de deux chiffres composés des chiffres de 1 à 8 pris chacun une seule fois.

Démarche

On intervertit les chiffres de chaque colonne du tableau précédent. On a : 51 + 62 + 73 + 84 = 270. La plus grande somme est 270.

Problème 3

Tous les nombres entre 126 et 270 peuvent-ils être des sommes ?

Démarche

Non. La somme des chiffres de 1 à 8 est 36, un multiple de 9. Or, dans une addition, si la somme des chiffres est un multiple de 9, la somme est aussi un multiple de 9. En conséquence, des sommes comme 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134 ne sont pas possibles. La somme qui suit 126 est 135. Voici un exemple de disposition des chiffres pour 135 :

Cela donne : 18 + 36 + 24 + 57 = 135. Seuls les multiples de 9 peuvent être des sommes.

Problème 4

Combien y a-t-il de sommes possibles ?

Démarche

Les sommes appartiennent à la suite 126, 135, 144, …, 261, 270. Pour trouver le nombre de sommes, on procède ainsi :

• On établit la différence entre la plus grande et la plus petite somme.

• On divise par 9.

• On additionne 1.

On fait : (270 – 126)/9 + 1 = 17. Il y a 17 sommes possibles.

Problème 5

Comment trouver la nouvelle somme si on remplace un chiffre d’une colonne par un chiffre d’une autre colonne sans faire à nouveau la somme des quatre nombres ?

Démarche

Intervertissons le 1 et le 4 du tableau précédent. La dizaine passe de 1 à 4. Il y a augmentation de 30. L’unité passe de 4 à 1. Il y a diminution de 3. Cela fait, au total, une augmentation de 27. Sachant que la somme du tableau est 135, on fait : 135 + 27 = 162. La nouvelle somme est 162. Si le déplacement de chiffres amène une diminution, on soustrait au lieu d’additionner.

Pour calculer l’augmentation ou la diminution, on peut procéder autrement.

• On soustrait les deux chiffres déplacés.

• On multiplie par 9.

Dans le cas où l’unité passe de 4 à 1, on fait : 4 – 1 = 3 et 3 × 9 = 27.

Autre astuce. On peut tout simplement former deux nombres avec les chiffres donnés et soustraire ces deux nombres. On fait : 41 – 14 = 27.

Problème 6

Trouvez quatre nombres de deux chiffres (1 à 8) dont la somme est 225.

Démarche 1

• Posons que la somme des unités est 5. Cela est impossible car la plus petite somme de quatre chiffres est 10 : 1 + 2 + 3 + 4.

• Posons que la somme des unités est 15. Dans ce cas, la somme des dizaines est 21, car la somme de tous les chiffres est 36. La somme des quatre nombres est alors 225, car 210 + 15 = 225. On pourra avoir comme solution : 31 + 52 + 64 + 78.

Une distribution est : 31 + 52 + 64 + 78 = 225.

Démarche 2

On trouve la plus petite somme et la plus grande somme comme ceci :

15 + 26 + 37 + 48 = 126

51 + 62 + 73 + 84 = 270

On constate que 225 est plus près de 270. On soustrait 225 de 270 : ce qui donne 45. Comme 9 × 5 = 45, il faut rechercher un nombre dont la différence des chiffres est 5 comme 16, 27, 38, 61, 72 ou 83. On choisit 61 qu’on insère dans la deuxième égalité en intervertissant 1 et 2. On peut écrire : 52 + 61 + 73 + 84 = 270. Pour arriver à 225, on intervertit les chiffres de 61.

Une distribution est : 52 + 16 + 73 + 84 = 225.

Problème 7  

Trouvez trois nombres de deux chiffres (1 à 6) dont la somme est 111. Solution 3.02-7

Problème 8

Trouvez quatre nombres de deux chiffres (1 à 8) dont la somme est 234. Solution 3.02-8

Problème 9

Trouvez trois nombres de trois chiffres (1 à 9) dont la somme est 1206. Solution 3.02-9

Problème 10

Trouvez deux nombres de quatre chiffres (1 à 8) dont la somme est 4203. Solution 3.02-10

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3.03 Avec neuf chiffres

Problème 1

Trouvez la plus petite somme de trois nombres de trois chiffres en prenant chacun des chiffres de 1 à 9.

Démarche

On écrit les chiffres consécutifs de 1 à 9 ainsi :

On a : 147 + 258 + 369 = 774. La plus petite somme est 774. Dans chaque colonne, on peut changer les chiffres de place sans changer la somme. Par exemple, on pourrait avoir : 248 + 359 + 167 = 774.

La somme des centaines est 6, la somme des dizaines est 15, la somme des unités est 24. On a : 6 + 15 + 24 = 45. C’est comme si on avait : 600 + 150 + 24 = 774.

Problème 2

Trouvez la plus grande somme de trois nombres de trois chiffres en prenant chacun des chiffres de 1 à 9.

Démarche

On écrit les chiffres consécutifs de 1 à 9 ainsi :

On a : 741 + 852 + 963 = 2556. La plus grande somme est 2556. Comme dans le cas précédent, dans chaque colonne, on peut changer les chiffres de place sans changer la somme.

Problème 3

Les sommes 774 et 2556 sont divisibles par 9. Montrez que toute autre somme est divisible par 9.

Démarche

La somme des chiffres de 1 à 9 est 45. Or, 45 est divisible par 9. Donc, toute somme est divisible par 9.

Problème 4

Soit trois nombres : 147 + 258 + 369 dont la somme est 774. Dans les mêmes conditions, trouvez trois nombres dont la somme est immédiatement supérieure à 774.

Démarche

D’après la proposition précédente, la prochaine somme devrait être 783. En effet, après 774, le prochain nombre divisible par 9 est 783.

Pour y arriver, connaissant trois nombres de départ, on choisit deux chiffres consécutifs étant l’un dans la colonne des dizaines et l’autre dans la colonne des unités. Les deux chiffres consécutifs sont 6 et 7. On les permute. On a donc : 146 + 258 + 379 = 783.

En fait, dans la colonne des dizaines on a ajouté une dizaine, soit 10, et, dans la colonne des unités, on a retranché 1. Or, 10 – 1 = 9 : ce qui est la différence entre les deux sommes.

Problème 5

Trouvez un trio de nombres formés de chacun des chiffres de 1 à 9 dont la somme est 2052 ?

Démarche

La somme des unités pourra être 12 ou 22. Choisissons 12. La somme des dizaines pourra être 14 ou 24. Choisissons 14. On fait : 45 – 12 – 14 = 19. D’où, la somme des centaines est 19. En distribuant les chiffres, on peut obtenir : 231 + 854 + 967 = 2052.

Problème 6

À votre tour, dans les mêmes conditions, trouvez trois nombres dont la somme est 999. Solution 3.03-6

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3.04 Avec 10 chiffres

Problème 1

Trouvez la plus petite somme quand on additionne trois nombres de trois chiffres avec neuf des 10 chiffres pris chacun une seule fois.

Démarche

On peut écrire les chiffres ainsi :

On ne peut pas placer le 0 dans la colonne des centaines car, par convention, on n’écrit jamais 0 devant d’autres chiffres dans un nombre. On écrit donc 1, 2 et 3 dans la colonne des centaines, 0, 4 et 5 dans la colonne des dizaines, puis 6, 7 et 8 dans la colonne des unités. On a : 106 + 247 + 358 = 711. La plus petite somme est 711.

Problème 2

Trouvez la plus grande somme quand on additionne trois nombres de trois chiffres avec neuf des 10 chiffres pris chacun une seule fois.

Démarche

On écrit les chiffres ainsi :

La plus grande somme est 2556.

Problème 3

Toutes les sommes sont-elles des multiples de 9 ?

Démarche

Même si les deux sommes trouvées sont des multiples de 9, il ne faut pas croire que cela arrive tout le temps. En effet, si on choisit chacun des chiffres sauf 2, la somme des chiffres est 43. Comme 43 n’est pas un multiple de 9, la somme des trois nombres ne sera pas un multiple de 9.

Problème 4

Dans quels cas, les sommes trouvées sont-elles des multiples de 9 ?

Démarche

La somme des chiffres de 0 à 9 est 45. Si on exclut le 0, la somme des chiffres est encore 45. Si on exclut le 9, la somme des chiffres est 36. Dans les deux cas, les sommes sont divisibles par 9. Ce sont d’ailleurs les deux seuls cas.

Si on exclut 0, on peut avoir : 127 + 356 + 489 = 972, un multiple de 9.

Si on exclut 9, on peut avoir : 127 + 356 + 480 = 963, un multiple de 9.

Si on exclut 6, on peut avoir : 127 + 350 + 489 = 966, un non multiple de 9.

Problème 5

Dans quels cas, les sommes trouvées sont-elles des multiples de 3 ?

Démarche

La somme des chiffres de 0 à 9 est 45, soit un multiple de 3. Pour avoir une somme qui est un multiple de 3, il faut exclure des multiples de 3, y compris 0. Ce sont 0, 3, 6, 9. Par exemple, si on exclut 3, on peut avoir : 146 + 278 + 590 = 1014. Le nombre 1014 est un multiple de 3.

Problème 6

Trouvez trois nombres de trois chiffres (0 à 9) dont la somme est 1895. Le chiffre non utilisé n’est pas donné.

Démarche

La plus petite somme dans une colonne est 3 (0 + 1 + 2). La plus grande somme est 24 (7 + 8 + 9). Disséquons 1895 en unités, dizaines et centaines sans jamais dépasser la somme de 45.

Les données de la première ligne sont à rejeter car le manque, soit 13, n’est pas un chiffre. Les deux autres lignes permettent chacune au moins une solution dans laquelle il manque le 4.

Pour la deuxième ligne, on peut avoir : 182 + 763 + 950 = 1895.

Pour la troisième ligne, on peut avoir : 236 + 758 + 901 = 1895.

Problème 7

Trouvez trois nombres de trois chiffres (0 à 9, sauf 8) dont la somme est 1900 ? Solution 3.04-7

Problème 8

Trouvez trois nombres de trois chiffres (0 à 9, sauf un chiffre) dont la somme est 1901 ? Solution 3.04-8

Problème 9

Trouvez quatre nombres de deux chiffres (0 à 9, sauf 7 et un autre chiffre) dont la somme est 137. Solution 3.04-9

Problème 10

Trouvez quatre nombres de deux chiffres (0 à 9, sauf deux chiffres) dont la somme est 178. Solution 3.04-10

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3.05 La division

La division est l’une des quatre opérations mathématiques élémentaires la moins aimée. Comme la soustraction, elle produit des résultats moindres, mais elle est plus exigeante quand on opère manuellement. En résolution de problèmes, elle intervient de temps à autre. Toutefois, elle surgit parfois de façon surprenante. En voici trois exemples :

Problème 1

Une suite arithmétique de premier degré est une suite de nombres tels que chacun est égal au prédécesseur augmenté d’un nombre constant. Par exemple, 1, 4, 7, 10, 13, 16, … est une suite arithmétique dont la raison est 3.

Dans une suite arithmétique, le cinquième nombre est 17 et le vingtième nombre est 62. Trouvez le douzième nombre.

Démarche

Au lieu de se servir des algorithmes habituels, on applique la division en retenant le reste. On fait : 17 ÷ 5 = 3, reste 2 et 62 ÷ 20 = 3, reste 2. On obtient le même résultat. Le nombre 17 est formé par 5 × 3 + 2 et 62 par 20 × 3 + 2. Le nombre inconnu sera formé selon le même modèle : 12 × 3 + 2 = 38.

Le douzième nombre est 38.

Problème 2

Les nombres binaires sont formés des chiffres 0 et 1. On dit qu’ils sont en base 2. Les 10 plus petits nombres binaires sont : 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010.

Comment peut-on s’y prendre pour convertir en binaire un nombre écrit dans le système décimal ?

Démarche

• On divise le nombre donné par 2 en retenant le reste.

• On divise successivement chacun des quotients par 2, toujours en retenant le reste.

• On cesse d’effectuer la division par 2 quand le quotient est 0.

• On écrit les restes dans l’ordre en commençant par la fin jusqu’au début.

Soit à écrire 79 dans le système binaire. On fait : 79 ÷ 2 = 39 reste 1, 39 ÷ 2 = 19 reste 1, 19 ÷ 2 = 9 reste 1, 9 ÷ 2 = 4 reste 1, 4 ÷ 2 = 2 reste 0, 2 ÷ 2 = 1 reste 0, 1 ÷ 2 = 0 reste 1.

Le nombre 79 en binaire est 1 001 111.

Problème 3

Trouvez le nombre de zéros à la fin de n! ou la factorielle de n.

Démarche

• On divise n par 5.

• On divise le quotient obtenu par 5 et on répète cette opération jusqu'à ce que le quotient soit inférieur à 5, sans jamais se préoccuper du reste de la division.

• On additionne les quotients successifs.

Soi à trouver le nombre de zéros à la  fin de 36!, qui est le produit des nombres consécutifs de 1 à 36. On fait : 36 ÷ 5 = 7 reste 1, 7 ÷ 5 = 1 reste 2 et 7 + 1 = 8.

À la fin de 36!, il y a huit zéros. Le nombre est :

371 993 326 789 901 217 467 999 448 150 835 200 000 000.

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3.06 Une grille 3 × 3

Problème 1

Placez les nombres de 1 à 9 dans cette grille. La somme des nombres de deux cases extrêmes de la même couleur, y compris l’élément de la case du centre, doit être la même.

Démarche

• Plaçons 1 au centre. On peut compléter chaque rangée avec les combinaisons (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6). La somme est 12 par rangée. Une configuration possible est :

• Plaçons 2 au centre. On doit choisir la combinaison (1, 9), mais 8 ne peut pas être choisi. Il n’y a pas de configuration possible dans ce cas.

• Il n’y a pas de configuration quand on place 3, puis 4 au centre.

• Plaçons 5 au centre. On peut compléter chaque rangée avec les combinaisons (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6). La somme est 15. Une configuration possible est :

• Il n’y a pas de configuration quand on place 6, 7 et 8 au centre.

• Plaçons 9 au centre. On peut compléter chaque rangée avec les combinaisons (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5). La somme est 18. Une configuration possible est :

Bref, les sommes possibles sont 12, 15 et 18.

Problème 2

Placez les neuf plus petits nombres impairs dans la grille selon les mêmes règles que précédemment.

Démarche

Les neuf plus petits nombres impairs sont : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. On applique la même démarche que précédemment. Les éléments du centre sont successivement 1, 9 et 17. Les sommes sont respectivement 21, 27 et 33. On peut obtenir cette configuration :

Problème 3

Placez les nombres 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 17 dans la grille selon les mêmes règles.

Démarche

On additionne deux à deux les nombres de rangs opposés. On fait : 4 + 17 = 21, 5 + 16 = 21, 6 + 13 = 19. On a là une somme différente des deux premières. On prend 6 pour le centre. On a les combinaisons (4, 17), (5, 16), (8, 13), (9, 12). La somme des nombres de chaque rangée est 27 et c’est la seule. Voici un exemple de configuration :

Conclusion

Il peut y avoir d’autres stratégies pour trouver les sommes de chaque rangée. Je vous laisse le soin d’en trouver au moins une.

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3.07 Choix de chiffres

Les mathématiques et, en particulier, l’arithmétique fourmillent de situations où, à première vue, on est tenté de parler de mystère. Démontrer que ces situations ont des fondements mathématiques se fait par des outils souvent algébriques. En voici un exemple :

Problème

• Choisissez trois chiffres, sauf 0.

• Formez tous les nombres différents de deux chiffres en utilisant deux chiffres à la fois.

• Additionnez ces nombres.

• Additionnez les chiffres choisis.

• Divisez l’avant-dernier résultat par le dernier.

Quel est le résultat ?

Démarche

Voici deux exemples et la démonstration :

Premier exemple

• On choisit 2, 3 et 7.

• On peut former six nombres : 23, 27, 32, 37, 72, 73.

• La somme des six nombres est 264.

• La somme des chiffres est 12.

• On fait : 264 ÷ 12 = 22.

Deuxième exemple

• On choisit 1, 5 et 8.

• On peut former six nombres : 15, 18, 51, 58, 81, 85.

• La somme des six nombres est 308.

• La somme des chiffres est 14.

• On fait : 308 ÷ 14 = 22.

Le résultat est le même dans les deux situations. On peut essayer avec d’autres chiffres, le résultat sera toujours le même, soit 22. Mystère ! L’algèbre peut venir à notre secours.

Démonstration

• On choisit a, b et c.

• On peut former six nombres : ab, ac, ba, bc, ca et cb. (Ne pas confondre avec la multiplication algébrique.)

• La somme des six nombres pour les unités est 2(a + b + c). Elle est la même pour les dizaines. Toutefois, pour obtenir la valeur engendrée par la dizaine, on doit multiplier par 10. On fait : 20(a + b + c) + 2(a + b + c) = 22(a + b + c).

• La somme des chiffres est (a + b + c).

• On fait : 22(a + b + c) ÷ (a + b + c) = 22.

On voit que, peu importe les chiffres choisis, le quotient est toujours 22.

Conclusion

En généralisant et en faisant les opérations algébriques requises, on a élucidé le mystère. Le choix des chiffres peut changer, le résultat sera toujours le même.

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3.08 Un problème ancien

Les Frères des écoles chrétiennes (FEC) ont contribué d’une façon importante à l’éducation des jeunes québécois. Ils ont enseigné, mais aussi rédigé et édité des manuels scolaires. Un de leurs manuels est Arithmétique, Cours complémentaire. Dans l’édition de 1926, à la page 351, on peut lire ce problème.

Problème

Le carré de l’âge de Simon égale 16 fois l’âge qu’il aura dans 12 ans.

Quel est son âge actuel ? 

Commentaire

Ce problème se trouve dans la section des équations du second degré. Par le fait même, l’élève est invité à résoudre ce problème en appliquant la mécanique des équations de ce degré : ce qui est bien, mais ce qui, par ailleurs, ne se situe pas dans la résolution de problèmes où l’élève doit choisir ses stratégies.

Démarche 1

Un truc efficace pour bien comprendre le problème est de faire une hypothèse. Dans ce cas-ci, supposons que l’âge de Simon est 20, on pourra écrire : 20² = 16(20 + 12). On a donc : 400 = 512, ce qui est faux, mais utile pour écrire une équation.

On remplace 20 par x dans l’égalité dont le premier terme est 20². On peut écrire : x² = 16(x + 12). L’équation transformée est x² – 16x – 192 = 0. En décomposant en facteurs, on obtient : (x + 8)(x – 24) = 0. D’où, x' = -8 et x'' = 24. Comme il n’existe pas d’âge négatif, on rejette – 8.

Simon a 24 ans.

Démarche 2

Comme un des facteurs de l’égalité est 16, le nombre cherché est un multiple de 4. On essaie 4, 8, 12, 16, etc. comme étant le nombre cherché. Par exemple, si on prend 4, on peut écrire 4² = 16(4 + 12), ce qui correspond à 16 = 256. La valeur 4 ne convient pas. On continue jusqu’à 24.

Simon a 24 ans.

Démarche 3

Comme le nombre de gauche est un carré et que 16 est aussi un carré, il faut que le facteur de 16 soit un carré. On essaie 4, 13, 24. Par exemple, si on prend 13, on peut écrire 13² = 16(13 + 12), ce qui correspond à 169 = 400. La valeur 13 ne convient pas. On vérifie avec 24.

Simon a 24 ans.

Démarche 4

L’équation est : x² = 16(x + 12). On extrait la racine carrée de part et d’autre. On obtient x = ±4√(x + 12). Pour avoir un carré sous le radical, il faut donner à x les valeurs 4, 13, 24.

Simon a 24 ans.

Conclusion

Bref, ce problème d’allure simple peut nécessiter jusqu’à quatre démarches.

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3.09 Divisibilité de carrés

Pendant des siècles, les problèmes de divisibilité ont intéressé les mathématiciens amateurs et professionnels. L’avènement de l’algèbre a permis de prouver certaines propriétés. Plus tard, la calculatrice et l’ordinateur ont rendu désuet ce genre de problèmes.

Proposition 1

Prouvez que la somme d’un nombre et de son carré est toujours divisible par 2.

Preuve

Soit m² + m. On peut écrire m(m + 1). Comme les deux facteurs sont des nombres consécutifs, l’un est nécessairement pair et l’autre impair. Comme l’un est pair, la somme est divisible par 2.

Proposition 2

Prouvez que tout carré ou tout carré auquel on soustrait 1 est divisible par 3.

Preuve

On peut écrire tous les nombres sous la forme 3n, 3n + 1 et 3n + 2.

• (3n)² = 9n². Or, 9n² est divisible par 3 à cause du 9.

• (3n + 1)² = 9n² + 6n + 1. Si on soustrait 1, on obtient (9n² + 6n), une expression qui est divisible par 3, car chacun des termes est divisible par 3.

• (3n + 2)² = 9n² + 12n + 4. Si on soustrait 1, on obtient (9n² + 12n + 3), une expression qui est divisible par 3, car chacun des termes est divisible par 3.

Proposition 3

Prouvez que tout carré ou tout carré auquel on soustrait 1 est divisible par 4.

Preuve

On peut écrire tous les nombres sous la forme 4n, 4n + 1, 4n + 2 et 4n + 3. Si on élève au carré, on obtient successivement 16n², 16n² + 8n + 1, 16n² + 16n + 4, 16n² + 24n + 9. La première et la troisième expression sont divisibles par 4. Les deux autres le sont à la condition de soustraire 1.

Proposition 4

Prouvez que tout carré ou tout carré auquel on additionne ou soustrait 1 est divisible par 5.

Preuve

On peut écrire tous les nombres sous la forme 5n, 5n + 1, 5n + 2, 5n + 3 et 5n + 4. Si on élève au carré, on obtient successivement 25n², 25n² + 10n + 1, 25n² + 20n + 4, 25n² + 30n + 9, 25n² + 40n + 16. La première expression est divisible par 5. La deuxième et la cinquième expression sont divisibles par 5 à la condition de soustraire 1. Les deux autres le sont à la condition d’additionner 1.

Proposition 5

Prouvez que tout carré impair, divisé par 8, donne 1 pour reste.

Preuve

Soit (2m + 1) un nombre impair. Son carré est (4m² + 4m + 1). Si on soustrait 1, on obtient 4(m² + m). Or, 4 est divisible par 4 et, à cause de la proposition 1, (m² + m) est divisible par 2. Le carré est divisible par 8 (4 × 2), si on lui soustrait 1.

Proposition 6

Prouvez que la différence des carrés de deux nombres impairs est divisible par 8.

Preuve

Soit (2m + 1) et (2n + 1) les deux nombres impairs. La différence des carrés de ces nombres est 4(m² – n² + m – n) ou 4[(m² + m) – (n² + n)]. D’après la proposition 1, (m² + m) et (n² + n) sont chacun divisibles par 2. D’où, (m² – n² + m – n) est pair. L’un des facteurs est 4 ; l’autre sera 2 : ce qui fait un produit de 8.

Divisibilité des carrés de 1 à 9

Le tableau suivant donne le moindre nombre qu’il faut additionner ou soustraire aux carrés de 1 à 9 pour que le résultat soit divisible par les nombres de 3 à 9.

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3.10 Somme de deux carrés

Problème

Comment peut-on additionner mentalement deux carrés en requérant la coopération d’une autre personne ?

Démarche

1. Vous demandez de vous donner un nombre qui ne contient pas de zéro entre 10 et 59.

2. Vous soustrayez 1 au dernier chiffre. Ce chiffre devient la dizaine de l’autre nombre.

3. Vous trouvez le complément du chiffre de la dizaine, c’est-à-dire 10 moins le chiffre de la dizaine du nombre donné. Ce chiffre devient le dernier de l’autre nombre.

4. Vous énoncez ce dernier nombre.

5. Vous dites que vous allez faire instantanément la somme des carrés du nombre de départ et du dernier nombre.

6. Pour trouver la somme mentalement, on élève au carré chacun des chiffres du nombre donné et on fait la somme. On retient une autre fois la somme. Par exemple, si la somme est 34, le résultat final sera 3434.

Voici un exemple : quelqu’un dit 25. En réponse, vous dites 48. En effet, 5 – 1 = 4 et 10 – 2 = 8. Vous faites : 2² + 5² = 29. La somme est 2929. On peut vérifier que 25² + 48² = 2929.

Si, à l’étape 6, on trouve un nombre d’un seul chiffre, on fait comme si on avait un 0 en avant. Par exemple, quelqu’un choisit 12. Votre riposte sera 19. Or, 1² + 2² = 5. La somme est 0505 ou 505. En effet, 12² + 19² = 505.

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3.11 Les combinaisons

En termes d’habillement, une combinaison est un vêtement de travail ou de sport qui combine veste et pantalon en une pièce. En québécois, une combinaison est un sous-vêtement masculin d’une seule pièce des épaules aux pieds. En mathématiques, une combinaison est un sous-ensemble composé d’un nombre d’objets choisis parmi un nombre déterminé d’objets sans égard à l'ordre dans lequel on les dispose.

Problème 1

On veut faire asseoir quatre enfants dans quatre chaises placées en une rangée. Combien y a-t-il de possibilités de les placer ?

Démarche 1

• On a le choix d’une des quatre chaises pour placer le premier enfant. Il reste trois chaises vides : 4 possibilités.

• On a le choix d’une des trois chaises vides pour placer le deuxième enfant. Il reste deux chaises vides : 3 possibilités.

• On a le choix d’une des deux chaises vides pour placer le troisième enfant. Il reste une chaise vide : 2 possibilités.

• On doit placer le quatrième enfant dans la chaise vide : 1 possibilité.

On fait : 4 × 3 × 2 × 1 = 24. On écrit : 4! = 24. Par exemple, 4! se lit factorielle de 4.

Il y a donc 24 possibilités de placer les quatre enfants.

Démarche 2

Soit A, B, C et D les quatre enfants. Après avoir placé A dans la première chaise, on aura les dispositions suivantes :

ABCD    ABDC    ACBD    ACDB    ADBC    ADCB

Il y six possibilités. En plaçant B, dans la première chaise, il y a aussi six possibilités. Il en sera de même si on place C, puis D dans la première chaise : ce qui fait bien 24 possibilités.

Problème 2

Trouvez toutes les façons de combiner trois lettres à partir d’un ensemble de huit lettres.

Démarche

Soit A, B, C, D, E, F, G et H les huit lettres. On commence par trouver toutes les combinaisons ayant un A, toujours en respectant l’ordre alphabétique :

ABC   ABD   ABE   ABF   ABG   ABH

ACD   ACE   ACF   ACG   ACH

ADE   ADF   ADG   ADH

AEF   AEG   AEH

AFG   AFH

AGH

Cela donne 21 combinaisons.

On commence maintenant par B. On a :

BCD   BCE   BCF    BCG   BCH

BDE   BDF   BDG   BDH

BEF   BEG   BEH

BFG   BFH

BGH

Cela donne 15 combinaisons.

En commençant par C, on obtient 10 combinaisons. En commençant par D, on obtient 6 combinaisons. En commençant par E, on obtient 3 combinaisons. En commençant par F, on obtient 1 combinaison. Je laisse au lecteur le soin de les trouver.

En tout, on aura 56 combinaisons.

Généralisation

Il existe une formule pour trouver le nombre de combinaisons dans un ensemble sans être obligé de toutes les énumérer.

Prenons le problème précédent. Soit n le nombre total de lettres, soit p le nombre de lettres par combinaison, le nombre de combinaisons est :

Dans ce cas, on a :

On n’a pas besoin de faire toutes les multiplications. On se contente de simplifier. Le résultat est bien 56.

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3.12 Des nombres pairs

La théorie des nombres, qui est aussi appelée arithmétique supérieure, est une partie très importante des mathématiques. Elle énonce les propriétés des nombres. Ce faisant, on peut constater leur richesse, leur régularité, mais aussi leurs pirouettes parfois pleines de mystères. Il existe des cours à l’université sur la théorie des nombres.

Il est de bon aloi, pour résoudre les problèmes sur les nombres, de connaître leurs propriétés. Cela épargne beaucoup de temps et conduit à des résultats plus sûrs.

Problème

Trouvez les nombres pairs dont le triple contient trois de ces quatre chiffres une seule fois :

2       5       7       8

Démarche 1

Comme le plus petit nombre est 257. On fait : 257 ÷ 3 = 85,67. On commence par 86 et multiplier par 3 chacun des nombres pairs. Par exemple, 86 × 3 = 258 (voilà un premier nombre qui convient), 88 × 3 = 264 (non), 90 × 3 = 270 (non), etc. La démarche serait longue et fastidieuse.

Démarche 2

Il existe une propriété qui s’énonce ainsi : Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Parmi les quatre chiffres donnés, on en assemble trois dont la somme est divisible par 3. On a un seul triplet : 2 + 5 + 8 = 15, duquel on peut former six nombres : 258, 285, 528, 582, 825 et 852.

Or, 258 ÷ 3 = 86 (oui), 285 ÷ 3 = 95 (non, car impair), 528 ÷ 3 = 176 (oui), 582 ÷ 3 = 194 (oui), 825 ÷ 3 = 275 (non, car impair), 852 ÷ 3 = 284 (oui). Il existe quatre nombres qui répondent aux conditions. Ce sont : 86, 176, 194 et 284.

En guise de conclusion

La première démarche est dans le même sens que l’énoncé du problème soit nombre pair × par 3. La deuxième démarche se fait en sens inverse, soit quotient ÷ 3.

Il est probable que les personnes non expérimentées choisiront la première démarche. Elle est plus facile à adopter, mais plus longue. Les autres auront à réfléchir et à avoir recours à leurs connaissances pour choisir la seconde démarche.

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3.13 Le nombre de la bête

Le nombre 666 est connu comme le nombre de la bête. Son origine remonte à la Bible. En effet, dans l’Apocalypse, au chapitre 13, verset 18, Saint-Jean écrit : « Que l’homme doué d’esprit calcule le nombre de la Bête, c’est un nombre d’homme. Ce nombre est 666. »

Le numéro du chapitre est 6 + 6 + 6/6 = 13. La somme des chiffres de 666 est 18 comme le numéro du verset.

Comme 666 a été cité dans la Bible à quelques occasions, ce nombre a marqué l’imaginaire. On l’associe au diable, au démon ou à Satan, tout comme 13 est considéré par certains comme un signe de malchance. Si votre numéro de porte est 666 et si votre maison brûle, on dira que c’est Satan qui a mis le feu. Pourtant, la majorité des maisons qui ont ce numéro ne sont pas objets de déflagration.

Des faits divers sont quand même surprenants. Par exemple, lors de la mission Apollo 11, le président américain a appelé Neil Armstrong, premier homme à avoir marché sur la lune, en utilisant le numéro 666-6666.

Si on donne à chaque lettre la valeur numérique qui correspond à son rang, CHARLES = 66. Heureusement ou malheureusement, il manque un 6.

Problème 1

Trouvez des mots ou des expressions dont le résultat est 666 quand on multiplie la valeur numérique des lettres par 3, 6 et 9.

Des exemples

Si on donne à chaque lettre trois fois la valeur numérique qui correspond à son rang, QUÉBÉCOIS + ACCOMMODATION = 666, DIABLE + DÉMON + SATAN + TREIZE = 666, DIABLE + DÉMON + SATAN + JALOUX = 666, DIABLE + DÉMON + SATAN + EMPOCHER = 666.

Si on donne à chaque lettre six fois la valeur numérique qui correspond à son rang, DIABLE + MALHEUR = 666, DIABLE + TYRAN = 666, DIABLE + DUPERIE = 666, DÉMON + MALCHANCE = 666, SATAN + BOMBES = 666.

Si on donne à chaque lettre neuf fois la valeur numérique qui correspond à son rang, GUERRE = 666, LUCIFER = 666, DIABLE + SANG = 666, BÊTE + FOU = 666.

Problème 2

Trouvez des propriétés concernant le nombre 666.

Des exemples

• La somme des entiers de 1 à 36 est égale à 666. En effet, 1 + 2 + 3 + … + 35 + 36 = 666.

• La somme des carrés des sept plus petits nombres premiers est 666. En effet, 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17² = 666.

• La somme de ses chiffres et du cube de ces mêmes chiffres est 666. En effet, 6 + 6 + 6 + 6³ + 6³ + 6³ = 666.

• La somme des cubes de 1 à 36 est égale à 666 au carré. En effet, 1³ + 2³ + 3³ + ... + 35³ + 36³ = 666².

• On peut décomposer ce nombre ainsi : 2 × 3 × 3 × 37 = 666. La somme des chiffres de part et d’autre du signe d’égalité est 18, un multiple de 6 et un diviseur de 666.

• La pagination d’un livre de 666 pages nécessite 1890 chiffres ; la somme des chiffres est 18 dans les deux cas.

• Ce nombre qui est triangulaire peut s'exprimer comme la somme de trois autres nombres triangulaires : 15 + 21 + 630 = 666.

• La somme des chiffres des nombres de 1 à 666 est 222 111, un nombre formé de six chiffres dont la somme des chiffres est 9 qui est un diviseur de 666.

• C’est le premier terme d’une suite de 37 carrés consécutifs d’une égalité dans laquelle le premier membre contient 19 termes et le second 18 termes : 666² + 667² + ... + 683² + 684² = 685² + 686² + ... 702² + 703². Or, 666 ÷ 37 = 18.

• Ce nombre s’écrit DCLXVI en chiffres romains. Six des sept chiffres romains apparaissent en ordre décroissant une et une seule fois. Bien plus, si on donne à chaque lettre neuf fois son rang dans l’ordre alphabétique, on obtient 666.

• Ce nombre est la somme des cubes d’entiers de 1 à 5 et des cubes d’entiers de 1 à 6. On a : (1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³) + (1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³) = 666.

• La somme des nombres d’un carré magique qui contient les nombres de 1 à 36 est égale à 666. La somme des nombres de chaque rangée est 111, soit un sixième de la somme totale. Voici un carré magique dans lequel le 6 et le 36 sont aux extrémités de la première ligne :

Bref, 666 est un nombre dont les propriétés sont importantes. Toutefois, il n’est pas plus dangereux qu’un autre.

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