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Permutation
Une permutation de n objets distincts est toute
disposition ordonnée de ces n objets qui occupent n places
déterminées. Le nombre de permutations de n objets distincts est égal
au produit des n premiers entiers naturels non nuls ou n!. Le
nombre de permutations de n objets est donné dans ce tableau.
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Nombre d'objets |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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Nombre de permutations |
1 |
2 |
6 |
24 |
120 |
720 |
5040 |
40 320 |
362 880 |
Il y a, par exemple, 720 façons de faire asseoir six
personnes sur un banc.
La permutation peut être circulaire,
discordante, figurée
ou rectiligne.
Quatre objets peuvent être permutés de 24 façons. Soit à
trouver les permutations de nombres de 1 à 4. On commence par fixer 1. On lui
associe 2 et on ajoute (3, 4) et (4, 3). On lui associe 3 et on ajoute (2, 4) et
(4, 2). On lui associe 4 et on ajoute (2, 3) et (3, 2). On fixe 2 et on procède
de la même façon en donnant toujours la priorité à un plus petit. Voici les
24 permutations :
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1 2 3 4 |
2 1 3 4 |
3 1 2 4 |
4 1 2 3 |
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1 2 4 3 |
2 1 4 3 |
3 1 4 2 |
4 1 3 2 |
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1 3 2 4 |
2 3 1 4 |
3 2 1 4 |
4 2 1 3 |
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1 3 4 2 |
2 3 4 1 |
3 2 4 1 |
4 2 3 1 |
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1 4 2 3 |
2 4 1 3 |
3 4 1 2 |
4 3 1 2 |
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1 4 3 2 |
2 4 3 1 |
3 4 2 1 |
4 3 2 1 |
Quand on veut construire un carré latin
avec les nombres de 1 à 4, on choisit une première permutation. On l’écrit
sur la première ligne de la grille. On recherche une permutation dont les
éléments en colonne sont différents. On l’écrit sur la deuxième ligne. On
fait de même pour trouver les éléments de la troisième et de la quatrième
ligne. Le choix d’une première permutation permet de trouver quatre carrés
latins différents. Voici ceux-ci avec la permutation 1, 2, 3, 4 sur la
première ligne :
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1 |
2 |
3 |
4 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
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2 |
1 |
4 |
3 |
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2 |
1 |
4 |
3 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
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2 |
4 |
1 |
3 |
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3 |
4 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
3 |
1 |
4 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
Cette notion mathématique est principalement appliquée dans les récréations combinatoires.
© Charles-É. Jean
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: P
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