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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Multipotent

° Nombre multipotent. – Entier naturel n dont le produit des diviseurs est égal à une puissance de n. Le nombre 405 est multipotent car 1 × 3 × 5 × 9 × 15 × 27 × 45 × 81 × 135 × 405 = 4055. Seuls les nombres premiers et les nombres élevés à une puissance paire ne sont pas dans cette classe. 

L’appellation des nombres multipotents est faite en fonction de la puissance de n.

Puissance

2

3

4

5

6

Appellation

Bipotent

Tripotent

Tétrapotent

Pentapotent

Hexapotent

Le tableau suivant donne, pour chaque nombre multipotent inférieur à 100, le nombre de diviseurs, le produit des diviseurs et la classe.

Nombre

Diviseurs

Produit

Classe

 

Nombre

Diviseurs

Produit

Classe

6

4

62

Bipotent

 

57

4

572

Bipotent

8

4

82

Bipotent

 

58

4

582

Bipotent

10

4

102

Bipotent

 

60

12

606

Hexapotent

12

6

123

Tripotent

 

62

4

622

Bipotent

14

4

142

Bipotent

 

63

6

633

Tripotent

15

4

152

Bipotent

 

65

4

652

Bipotent

18

6

183

Tripotent

 

66

8

664

Tétrapotent

20

6

203

Tripotent

 

68

6

683

Tripotent

21

4

212

Bipotent

 

69

4

692

Bipotent

22

4

222

Bipotent

 

70

8

704

Tétrapotent

24

8

244

Tétrapotent

 

72

12

726

Hexapotent

26

4

262

Bipotent

 

74

4

742

Bipotent

27

4

272

Bipotent

 

75

6

753

Tripotent

28

6

283

Tripotent

 

76

6

763

Tripotent

30

8

304

Tétrapotent

 

77

4

772

Bipotent

32

6

323

Tripotent

 

78

8

784

Tétrapotent

33

4

332

Bipotent

 

80

10

805

Pentapotent

34

4

342

Bipotent

 

82

4

822

Bipotent

35

4

352

Bipotent

 

84

12

846

Hexapotent

38

4

382

Bipotent

 

85

4

852

Bipotent

39

4

392

Bipotent

 

86

4

862

Bipotent

40

8

404

Tétrapotent

 

87

4

872

Bipotent

42

8

424

Tétrapotent

 

88

8

884

Tétrapotent

44

6

443

Tripotent

 

90

12

906

Hexapotent

45

6

453

Tripotent

 

91

4

912

Bipotent

46

4

462

Bipotent

 

92

6

923

Tripotent

48

10

485

Pentapotent

 

93

4

932

Bipotent

50

6

503

Tripotent

 

94

4

942

Bipotent

51

4

512

Bipotent

 

95

4

952

Bipotent

52

6

523

Tripotent

 

96

12

966

Hexapotent

54

8

544

Tétrapotent

 

98

6

983

Tripotent

55

4

552

Bipotent

 

99

6

993

Tripotent

56

8

564

Tétrapotent

         

Dans l’intervalle des entiers inférieurs à 100, il y a 32 bipotents, 16 tripotents, 10 tétrapotents, deux pentapotents et cinq hexapotents. Pour établir la classe d’un nombre multipotent, on trouve la quantité de diviseurs de ce nombre et on divise par 2. Par exemple, 99 a six diviseurs ; c’est un tripotent. 

On peut aussi compter le nombre de diviseurs inférieurs à la racine carrée du nombre. On peut aussi décomposer le nombre en facteurs premiers, additionner 1 à chaque puissance, multiplier les puissances augmentées et diviser par 2. Par exemple, 84 = 22 × 3 × 7. Les puissances sont successivement 2, 1 et 1. On fait 3 × 2 × 2 = 12 ; on divise par 2. Aussi, 84 est un hexapotent.

Voici des propriétés de quelques classes de nombres multipotents :
Ö Les bipotents sont formés en multipliant deux nombres premiers différents, comme 95 = 5 × 19 ou par les cubes d’un nombre premier, comme 8 = 23.

Ö Les tripotents sont formés en multipliant le carré d’un nombre premier et un autre premier, comme 99 = 32 × 11 ou en élevant un nombre premier à la puissance 5, comme 35 = 243.

Ö Les tétrapotents sont formés en multipliant trois nombres premiers différents, comme 2 × 3 × 5 = 30, en multipliant le cube d’un nombre premier par un autre premier, comme 23 × 3 = 24 ou en élevant un nombre premier à la puissance 7, comme 37 = 2187.

Ö Les pentapotents sont formés en multipliant la quatrième puissance d’un nombre premier par un autre premier, comme 24 × 3 = 48 ou en élevant un nombre premier à la puissance 9, comme 29 = 512.

Ö Les hexapotents sont formés en multipliant le carré d’un nombre premier par deux autres premiers, comme 22 × 3 × 5 = 60, en multipliant le carré d’un nombre premier par le cube d’un autre premier, comme 23 × 32 = 72, en multipliant la cinquième puissance d’un nombre premier par un autre premier, comme 25 × 3 = 96 ou en élevant un nombre premier à la puissance 11, comme 211 = 2048.

Le tableau suivant contient les 85 multipotents de 2001 à 2100.

Multiple

 Nombres multipotents

Quantité

2

 2005, 2018, 2019, 2021, 2026, 2031, 2033, 2038, 2041, 2042, 2045, 2047, 2049, 2051, 2059, 2062, 2066, 2071, 2073, 2077, 2078, 2095, 2098

23

3

 2007, 2009, 2012, 2023, 2036, 2043, 2057, 2061, 2075, 2084, 2092, 2097

12

4

 2001, 2006, 2008, 2013, 2014, 2015, 2022, 2035, 2037, 2054, 2055, 2056, 2065, 2067, 2074, 2082, 2085, 2086, 2091, 2093, 2094

21

5

 2032, 2096

2

6

 2004, 2020, 2034, 2044, 2048, 2050, 2060, 2068, 2076

9

8

 2002, 2010, 2024, 2030, 2046, 2058, 2072, 2079, 2090

9

 2028

1

10 

 2064

1

12

 2052, 2070, 2080, 2088

4

16

 2040

1

18

 2016, 2100

2

On a défini une classe de nombres pour lesquels on fait la somme des diviseurs du nombre au lieu du produit ; ce sont les nombres multiparfaits.

© Charles-É. Jean

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