° Nombre heureux. –  Entier naturel dont on fait la somme des carrés de ses chiffres et la même opération sur chaque résultat successif jusqu'à ce qu’on aboutisse à 1. Par exemple, 70 est un nombre heureux, car 7² + 0² = 49, 4² + 9² = 97, 9² + 7² = 130, 1² + 3² + 0² = 10 et 1² + 0² = 1. La séquence est donc 70, 49, 97, 130, 10, 1. La répétition des mêmes opérations se fait cinq fois. Le nombre de répétitions ou l’ordre du nombre heureux 70 est donc 5. 

Le tableau suivant présente les 59 plus petits nombres heureux.

On peut vérifier si un nombre compris entre 368 et 99 996 est heureux en faisant une seule fois la somme des carrés des chiffres. Si le résultat est dans le tableau, le nombre initial est heureux ; s’il n’y est pas, le nombre initial n’est pas heureux. Le nombre 56 734 est-il heureux ? On fait 5² + 6² + 7² + 3² + 4² = 135. Puisque 135 n’est pas heureux, 56 734 ne l’est pas. Connaissant un nombre heureux, on peut en déduire une infinité d’autres. 

Par exemple, si 319 est heureux, 139, 193, 391, 913, 931 le sont aussi. On peut insérer autant de zéros qu’on veut en diverses positions et ces nombres sont tous heureux. 

Pour vérifier si une suite d’entiers consécutifs comporte des nombres heureux, on commence par un nombre dont l’unité est 0. On fait la somme des carrés des chiffres de ce nombre ; puis, on additionne successivement 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 et 17. Si un résultat est dans le tableau, le nombre de la suite est heureux. Prenons la suite 370, 371, 372, ... 379. La somme des carrés des chiffres de 370 est 58. On fait 58 + 1 = 59, 59 + 3 = 62, 62 + 5 = 67, 67 + 7 = 74, 74 + 9 = 83, 83 + 11 = 94, 94 + 13 = 107, 107 + 15 = 122, 122 + 17 = 139. On a deux nombres heureux dans cet intervalle. L’un qui correspond à 94 et l’autre à 139. Comme 94 - 58 = 36 qui est le carré de 6, le nombre heureux est 376. Comme 139 - 58 = 81, le nombre heureux est 379. 

Les 10 plus petites paires de nombres heureux formées par des entiers consécutifs sont : (31, 32), (129, 130), (192, 193), (262, 263), (301, 302), (319, 320), (367, 368), (391, 392), (565, 566) et (622, 623). Si on considère une paire dont l’unité du premier nombre n’est pas 9, la différence entre le premier résultat trouvé pour chacun des deux nombres est égale à la somme des unités des deux nombres de la paire. Par exemple, le premier résultat de 367 est 94 et celui de 368 est 109. Les nombres 94 et 109 sont des nombres heureux et leur différence est 15 : ce qui correspond à la somme des unités 7 et 8. 

Les 10 plus petits triplets de nombres heureux formés par des entiers consécutifs sont : (1880, 1881, 1882), (4780, 4781, 4782), (4870, 4871, 4872), (7480, 7481, 7482), (7839, 7840, 7841), (8180, 8181, 8182), (8470, 8471, 8472), (8739, 8740, 8741), (8740, 8741, 8742) et (8810, 8811, 8812). 

Un nombre heureux appartient à une suite joyeuse. 

© Charles-É. Jean

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