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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Crêté

° Nombre crêté. Entier naturel pour lequel chaque chiffre, lu de gauche à droite, est représenté par un point lesquels sont reliés entre eux par des segments en tenant compte de l’ordre des chiffres de cette façon :

1. Lorsque le chiffre qui suit est plus grand, le point est placé plus haut vers la droite.

2. Lorsque le chiffre qui suit est identique, le point est placé sur le même plan horizontal vers la droite.

3. Lorsque le chiffre qui suit est plus petit, le point est placé plus bas vers la droite.

Par définition, un nombre d’un seul chiffre est crêté. La figure qui représente le nombre est une crête. Les nombres de trois chiffres sont représentés par neuf crêtes différentes. Les voici :

Les crêtes (A, I), (B, H), (C, G), (D, F) contiennent mutuellement des nombres renversés en excluant les nombres dont l’unité est zéro. Il existe 28 nombres crêtés de forme A dans l’intervalle [100, 200]. Ce sont :

123

           

124

134

         

125

135

145

       

126

136

146

156

     

127

137

147

157

167

   

128

138

148

158

168

178

 

129

139

149

159

169

179

189

Quand on considère les nombres de trois chiffres, il existe le nombre de crêtes suivant  pour chaque forme :

Forme

A

B

C

D

E

F

G

H

I

Nombre

84

36

240

36

9

45

285

45

120

 

360

90

450

Le nombre de crêtes dans un intervalle de n chiffres est 3n. Ainsi, il y a une seule crête pour les nombres d’un chiffre, trois crêtes pour les nombres de deux chiffres, neuf crêtes pour trois chiffres, 27 crêtes pour quatre chiffres, etc. Le tableau donne le nombre de crêtes pour les nombres inférieurs au plus grand nombre de n chiffres.

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Crête

1

4

13

40

121

364

1093

3280

9841

29 524

Le terme général de cette suite est (3n - 1)/2.

© Charles-É. Jean

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