Bidegré

Multidegré  pour lequel k est égal successivement à 1 ou à 2. Les deux identités suivantes sont des bidegrés :

x 9^k + 26^k + 40^k = 10^k + 24^k + 41^k. Si k = 1, l’identité est égale à 75 ; si k = 2, l’identité est égale à 2357.

x 1^k + 4^k + 14^k + 15^k = 2^k + 3^k + 13^k + 16^k. Si k = 1, l’identité est égale à 34 ; si k = 2, l’identité est égale à 438.

Les deux bidegrés sont symétriques puisque la somme de deux nombres de rangs opposés dans chaque identité est toujours la même. Cette somme est 50 dans le premier cas et 17 dans le second.

On peut former des bidegrés au moins de cinq façons :

1^e À partir d’une identité de nombres
Étape 1. On prend une identité comme 2 + 6 = 3 + 5.

Étape 2. On additionne un même nombre à chaque élément de l’identité. Par exemple, en additionnant 8, on obtient : 10 + 14 = 11 + 13.

Étape 3. On réunit les deux premiers éléments de la première identité et les deux derniers de la deuxième dans un premier membre d’une nouvelle identité ; puis les autres éléments dans le second membre de l’identité. On écrit : 2 + 6 + 11 + 13 = 3 + 5 + 10 + 14.

Étape 4. On attribue la puissance 2 à chaque nombre. On trouve le bidegré : 2^k + 6^k + 11^k + 13^k = 3^k + 5^k + 10^k + 14^k. Lorsque k = 1, l’identité est égale à 32 ; lorsque k = 2, elle est égale à 330.

2^e Par la réunion de deux triplets de Pythagore
Étape 1. On choisit deux triplets de Pythagore tels que la différence entre la somme des deux premiers éléments et le troisième est la même dans les deux triplets. Par exemple, dans les deux triplets (7, 24, 25) et (9, 12, 15), la différence est 6.

Étape 2. On réunit les deux premiers éléments du premier triplet et le troisième élément du deuxième triplet dans un premier membre d’une nouvelle identité ; puis les autres éléments dans le second membre de l’identité. Le bidegré est : 7^k + 15^k + 24^k = 9^k + 12^k + 25^k. Lorsque k = 1, l’identité est égale à 46 ; lorsque k = 2, elle est égale à 850.

3^e À partir de carrés magiques
Les première et troisième lignes d'un carré magique d'ordre 3 fournissent un bidegré. Il en est de même des colonnes de mêmes rangs. Également, les rangées horizontales symétriques par rapport à l'axe central horizontal de certains carrés magiques d'ordre 4, comme celui de Dürer, fournissent des bidegrés, tout comme les rangées verticales symétriques. Voici trois carrés magiques qui permettent d'écrire entre autres les bidegrés indiqués :

A : 2^k + 3^k + 7^k = 1^k + 5^k + 6^k
B : 5^k + 8^k + 14^k = 4^k + 10^k + 13^k
C : 1^k + 7^k + 12^k + 14^k = 3^k + 5^k + 10^k + 16^k

4^e En appliquant une première formule d’Euler
Soit p + q + r = s + t + u où k = 1 ou 2, on peut trouver des valeurs aux variables en fonction de a, de b, de c ou de d ainsi : p = a + c, q = b + c, r = 2a + 2b + c, s = c, t = 2a + b + c, u = a + 2b + c. En posant a = 2, b = 3 et c = 5, on a : 7^k + 8^k + 15^k = 5^k + 12^k + 13^k.

5^e En appliquant une seconde formule d’Euler
Soit p + q + r = s + t + u où k = 1 ou 2, on peut trouver des valeurs aux variables en fonction de a, de b, de c ou de d ainsi : p = ad, q = bc, r = ac + bd, s = ac, t = bd, u = ad + bc. En posant a = 1, b = 2, c = 3 et d = 4, on a : 4^k + 6^k + 11^k = 3^k + 8^k + 10^k.

© Charles-É. Jean

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