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Série A
Solution 39
La pièce peut être disposée de trois autres façons. La
première pièce du tableau suivant est celle qui est donnée dans le problème.
Les autres proviennent d’une rotation de 90 degrés de la précédente dans le
sens contraire des aiguilles d’une montre.
On prend d’abord la pièce du premier rang. Elle correspond
à un rectangle 3 × 4. On la place sur les trois premières lignes de la grille
à gauche. Elle occupe d’abord les colonnes (1, 2, 3, 4). On glisse la pièce
vers la droite ; elle occupe les colonnes (2, 3, 4, 5), puis (3, 4, 5,
6). On place la pièce sur les lignes (2, 3, 4). On obtient encore trois façons
de disposer la pièce. Le tableau présente la marche à suivre.
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Lignes |
Colonnes |
Façons |
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(1,
2, 3) |
(1,
2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6) |
3 |
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(2,
3, 4) |
(1,
2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6) |
3 |
|
(3,
4, 5) |
(1,
2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6) |
3 |
|
(4,
5, 6) |
(1,
2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6) |
3 |
La pièce montrée au premier rang peut donc être placée de
12 façons différentes. Celle montrée au troisième rang peut occuper autant
de façons. Les deux autres pièces peuvent se déplacer ainsi :
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Lignes |
Colonnes |
Façons |
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(1,
2, 3, 4) |
(1,
2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6) |
4 |
|
(2,
3, 4, 5) |
(1,
2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6) |
4 |
|
(3,
4, 5, 6) |
(1,
2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6) |
4 |
Dans chaque position, la pièce peut être placée de 12
façons. Il y a en tout 48 façons de disposer la pièce.
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Solution de l’énigme
On peut écrire : 5 + (5 + 5)/5.
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Série
B
Solution 39
Le résultat de la
soustraction de deux nombres dont l’un est le renversé de l’autre est
toujours un multiple de 9. Dans le cas présent, la différence est 18 ou 9 ´
2. En conséquence, le chiffre des dizaines moins le chiffre des unités est
égal à 2. Les nombres possibles sont 31, 42, 53, 64, 75, 86 et 97. Comme le
nombre est pair, on conserve 42, 64 et 86. Or, 42 + 24 = 66, 64 + 46 = 110, 86 +
68 = 154. On écarte les deux derniers résultats car ce sont des nombres de
trois chiffres.
L’érable a compté 42 marcheurs.
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La
somme des mesures des angles extérieurs d'un polygone convexe est
égale à 360 degrés.
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Série
C
Solution 39
Soit N = a0
+ 101a1
+ 102a2
+ 103a3
+ ... + 10nan
et la somme des chiffres S = a0 + a1
+ a2 + a3
+ ... + an. Alors, N - S = 9a1
+ 99a2 + 999a3
+ ... + (10n - 1)an.
Aussi, N - S est divisible par 3. Si S est divisible par 3, alors N l’est
aussi et réciproquement. Toute somme ultérieure des chiffres est divisible par
3 pour les même raisons. Si on additionne 1 à N, on a S + 1. Le reste de la
division par 3 étant 1 pour N, il l’est aussi pour S. Si on additionne 2 à
N, on a S + 2. Le reste de la division par 3 étant 2 pour N, il l’est aussi
pour S. Donc, on conserve les restes en passant de N à S. Si on divise 1, 4 et
7 par 3, le reste est 1. Si on divise 2, 5 et 8 par 3, le reste est 2.
En conséquence, l’algorithme est
valide.
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En
algèbre, une variable est une lettre de l’alphabet qui représente
des valeurs numériques.
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