Série A

Solution 33

La position initiale des amis est 1, 2, 3, 4, 5. Elle apparaît sur la première ligne du tableau. On étudie trois situations où on a en premières places 2 et 1, 2 et 3, puis 3 et 4. Les positions marquées d’un astérisque conviennent.

Les deux premières places possibles sont : (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 3), (5,4). Si on compte la position du début en l'ajoutant à (2, 1), on a trois positions. Chaque place de départ ayant 1 ou 2 entraîne trois positions. On a sept positions ayant 1 ou 2, ce qui fait 3 × 7 = 21 positions. Chaque place de départ sans 1 ou 2 entraîne quatre positions. On a six positions sans 1 ou 2, ce qui fait 4 × 6 = 24. 

Les amis ont pris 45 dispositions différentes. 

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Série B

Solution 33

R₁ est inférieur à 9 car R₁ + V₁ = 9. Les valeurs possibles de R₁ sont alors 1, 2, 3, 4 ou 6 qui sont des diviseurs de 36 inférieurs à 9. Si R₁ = 1, V₁ = 8 qui n’est pas un facteur de 30. Si R₁ = 2, V₁ = 7 qui n’est pas un facteur de 30. Si R₁ = 3, V₁ = 6. Dans ce cas, R₂ = 12 et V₂ = 5. Alors, R₂ + V₂ = 17, qui est différent de 15. Si R₁ = 4, V₁ = 5. Dans ce cas, R₂ = 9 et V₂ = 6. Alors, R₂ + V₂ = 15. D’où, R₁ = 4 et R₂ = 9. 

Madame Ré a 13 perles.

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Série C

Solution 33

La somme des nombres de 1 à 11 est 66. Tous les éléments peuvent être comptés deux fois sauf ceux des quatre coins qui le seront une seule fois. Pour avoir la plus petite somme, on place 8, 9, 10, 11 dans les coins. On additionne à 66 les nombres de 1 à 7 ; la somme est 94. Comme il y a six rangées, on fait 94 ¸ 6 = 15 2/3. La plus petite somme peut être 16. On vérifie s’il existe au moins une configuration avec cette somme. En voici une :

D’où, la plus petite somme possible par rangée est 16.