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± Carré parfait. - Quand on multiplie un nombre entier par lui-même, on obtient un carré parfait. Par exemple, 49 est un carré parfait. Il arrive que le mot parfait soit omis. Les carrés des 20 plus petits entiers sont :
Si on soustrait le carré de sa racine, on obtient successivement 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, etc. Or, 2 = 1 × 2, 6 = 2 × 3, 12 = 3 × 4, 20 = 4 × 5, 30 = 5 × 6, 42 = 6 × 7. On voit que la différence d’un carré et de sa racine est le produit de deux nombres consécutifs. Si on divise tout produit par 2, on obtient 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... qui est la suite des nombres triangulaires. Connaissant un carré parfait et son rang, on peut trouver le carré suivant en additionnant au carré connu deux fois le rang, auquel on additionne un. Par exemple, le carré de rang 15 est 225, alors le suivant est 225 + (2 × 15 + 1) = 256. On note que les différences successives entre deux carrés consécutifs sont : 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, etc. Tout carré est égal à la somme de nombres impairs consécutifs à partir de 1. En effet, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Voici cinq propriétés concernant les carrés : 1. Un carré se termine par l’un des chiffres : 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. 2. Si l’unité d’un carré est 6, le chiffre des dizaines est impair. 3. Si l’unité d’un carré est 0, 1, 4, 5 ou 9, le chiffre des dizaines est pair. 4. Le carré d’un nombre dont l’unité est 5 se termine par 25. 5. Trois fois la somme de trois carrés est aussi la somme de quatre carrés. (Lewis Carroll) Par exemple, on peut écrire : 3(122 +152 + 192) = 32 + 42 + 72 + 462. Le tableau suivant donne les unités de la somme de deux carrés.
Il existe un truc pour calculer mentalement le carré d’un nombre se terminant par 5. Les deux derniers chiffres sont toujours 25. Les autres chiffres proviennent du produit du nombre formé par les chiffres autres que 5 et du nombre suivant en ordre numérique. Le carré de 15 est ‡1 × 2‡25 ou 225. Le carré de 25 est ‡2 × 3‡25 ou 625. Le carré de 35 est ‡3 × 4‡25 ou 1225. La somme de trois carrés peut être un carré. Pour trouver les nombres qui conviennent, on trace un grand carré dans lequel la bordure à gauche et en bas contient un nombre carré de cases, par exemple 25 comme dans la figure P ; le carré qui reste a 144 cases. On peut alors écrire : 52 + 122 = 132. Dans la figure Q, la bordure contient 36 cases. Le carré qui reste a 64 cases. On peut alors écrire : 62 + 82 = 102. On peut faire des bordures de trois colonnes et de trois lignes, etc. On peut trouver la somme de trois carrés qui est égale à un quatrième carré. Dans la figure R, le petit carré du coin est formé de quatre cases ; les bordures en violet ont 36 cases ; le carré qui reste a 81 cases. On peut écrire : 22 + 62 + 92 = 112.
En élevant au carré des nombres constitués des chiffres 1 et 9, on peut former des mosaïques numériques. En voici deux :
Voir aussi Carré parfait dans le Dictionnaire de mathématiques récréatives. © Charles-É. Jean |
