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Ceci est le 12e livre édité par Récréomath.


Preuves à l'appui
100 récréations

Par Charles-É. Jean


Tous les problèmes sont inédits.


Récréations 1 à 50

 

Récréations 51 à 100

Solutions 1 à 50 Solutions 51 à 100

 

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Récréations
51 à 100
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51. Carrés et magie
Dans tout carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la première ligne est égale à la somme des carrés des éléments de la troisième ligne. Cela est vrai aussi pour la somme des éléments de la première et de la troisième colonne. À partir d’un carré magique d’ordre 3, il est possible de résoudre le système d’équations suivant :

A + B + C = D + E + F

A2 + B2 + C2 = D2 + E2 + F2

Montrez qu’un carré magique d’ordre 3 ne donne pas toutes les solutions entières du système d’équations.

 

52. Cubes de Léonard
Léonard élève 5 au cube et divise le résultat par 9. Le reste est 8. Il fait de même avec 8, 11 et 14. Le reste est toujours 8. Il écrit cette suite :

5, 8, 11, 14, 17, 20, ...

Montrez que, si on divise par 9 le cube de chaque terme de cette suite, le reste est 8.

 


53. Mine d’un mage
MINE de rien, un MAGE SEMA. Chaque lettre représente un chiffre différent.

      S E M A

  -  M A G E

     M  I N E

Montrez que E ne peut pas être égal à 3.

 

54. Deux classes
Les triangulaires appartiennent à la suite : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... L’exposant est D, si bien qu’on peut écrire : 1D = 1, 2D = 3, 3D = 6, 4D = 10, 5D = 15, etc. Les carrés appartiennent à la suite 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc. L’exposant est 2, si bien qu’on peut écrire : 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25, etc. Il existe une égalité qui met en relation ces deux classes de nombres : 32 + 42 = 4D + 5D. Cette égalité peut se traduire par cette proposition : Soit deux carrés successifs A2 et B2 et deux triangulaires successifs BD et CD, alors A2 + B2 = BD + CD

Montrez que, dans l’ensemble des entiers positifs, cette égalité est vraie pour un seul cas : 32 + 42 = 4D + 5D.

 

55. Treillis de Jeanne
Jeanne a écrit chacun des nombres de 1 à 8 dans ce treillis de telle manière que la somme dans chaque rangée de trois cercles reliés par une droite est 13.

Montrez que, s’il existe au moins une configuration où la somme est 13 dans chaque rangée, il en existe au moins une où la somme est 14.

 

56. Impairs d’Émile
Émile a écrit les premiers termes de la suite des nombres impairs en un triangle comme ci-après. Sur chaque ligne, on doit trouver successivement 1, 2, 3, 4, 5, ... termes.

1

3  5

7  9  11

13  15  17  19

21  23  25  27  29

.....................................

Montrez que la somme des nombres de chaque ligne est un cube.

 

57. Couples de Gabriel
Gabriel choisit deux nombres entiers. Il les additionne. Il les soustrait l’un de l’autre. Il les multiplie et les divise. À la fin, il additionne ces quatre résultats. Par exemple, il choisit le couple (15, 60). Il fait : 60 + 15 = 75, 60 - 15 = 45, 60 × 15 = 900 et 60 ÷ 15 = 4. La somme des résultats est 1024.

Montrez qu’il existe exactement trois couples de nombres entiers sur lesquels on peut opérer pour que la somme des résultats soit 675.

 

58. Jetons de Tristan
Dans cette figure, Tristan dispose chacun des jetons de 1 à 8 pour que la somme soit 15 dans chacune des quatre rangées de trois cercles reliés par une droite.

Montrez que A + B + C + D = 12.

 

59. Urne de Ludovic
Ludovic numérote 99 boules de 1 à 99. Il les met dans une urne. Au hasard, il prend trois boules à la fois et les remet dans l’urne.

Montrez que la somme des numéros des boules sera un multiple de 3 deux fois sur cinq.

 

60. Quel zig !
Si le nez hume le gaz au rez-de-chaussée, c’est le temps de sortir, selon un zig inconnu. Dans l’addition suivante, chaque lettre représente un chiffre différent.

       N E Z

   +  G A Z

       R E Z

        Z I G

Montrez que la plus petite valeur de Z est 7.

 

61. Dominos de Pascal
Pascal tire de sa boîte huit dominos : (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (3, 4), (5, 6). Il veut faire une chaîne circulaire de dominos telle que deux demi-dominos adjacents ont le même nombre de points.

Montrez qu’il est impossible de réaliser une chaîne circulaire avec ces huit dominos.

 

62. Double de Carmen
Carmen a composé le carré magique d’ordre 3 ci-après. La densité ou somme des nombres dans chaque rangée horizontale, verticale et diagonale est 42. Le médian est 14. La somme des éléments extrêmes d’une rangée qui passe par le centre est 28.

16

9

17

15

14

13

11

19

12

Montrez que, dans tout carré magique d’ordre 3, la somme des éléments extrêmes d’une rangée qui passe par le centre est le double du médian.

 

63. Triangle de Simon
Simon a écrit les premiers termes de la suite des entiers en un triangle comme ci-après. Sur chaque ligne, on doit trouver successivement 1, 3, 5, 7, 9, ... termes.

                       1

                  2    3    4

               5   6   7   8   9

         10 11 12 13 14 15 16

    17 18 19 20 21 22 23 24 25

  ................................................

Montrez que la somme des nombres de chaque ligne est un nombre impair.

 

64. Sommets d’Anselme
Anselme a formé la figure suivante dans les cases de laquelle il veut écrire chacun des nombres de 1 à 6. À l’intérieur de trois triangles, la somme des trois sommets de chaque petit triangle est indiquée.

Montrez qu’il est impossible de disposer les nombres de 1 à 6 dans cette figure.

 

65. Ciel d’Alice
Alice a écrit l’addition ci-après. Elle dit à son amie :

- Tu vois ce que j’ai écrit. Il te faut attribuer un chiffre à chaque lettre différente pour que l’addition soit vraie. Par exemple, tu pourrais trouver : 649 + 2508 = 3157. Toutefois, j’aimerais que tu n’utilises pas le zéro.

         B O N

  + H E U R

      C  I E L

Au bout de plusieurs minutes, l’amie n’a pas trouvé de réponse. Frustrée, elle affirme qu’aucune solution n’existe.

Montrez que l’amie a raison.

 

66. Escaliers de Paule
Paule a agencé des cubes pour faire des escaliers de 1, 2, 3 et 4 marches. Elle a utilisé respectivement 1, 3, 6 et 10 cubes. Elle dessine d'autres escaliers à la suite sur le même modèle.

Montrez que la quantité de cubes nécessaires pour construire deux escaliers voisins est un carré.

 

67. Premiers de classe
On peut partager tous les entiers en six classes qui prennent la forme 6n, 6n + 1, 6n + 2, 6n + 3, 6n + 4 ou 6n + 5.

Montrez que seuls les nombres de la forme (6n + 1) ou (6n + 5) peuvent être des nombres premiers.

 

68. Visages d’Amélie
Amélie a dessiné des visages, soit un carré de 16 et un autre de 25 visages. Elle dit à un ex ami qui l’a provoquée :

- Voilà ce que tu es, un homme aux 41 visages.

- Et toi Amélie, tu es une femme aux 999 visages.

En fait, l’ex s’est trompé. Il pensait que 999 pouvait être la somme de deux carrés comme 41 ; mais ce n’est pas le cas.

Montrez que 999 ne peut pas être la somme de deux carrés.

 

69. Somme de Julie
Dans une grille 3 ´ 3, Julie a écrit trois nombres : (a - 12), a et (a + 4) dans les positions illustrées. Elle veut compléter la grille pour que la somme des éléments soit la même dans chaque rangée horizontale, verticale et diagonale.

 

a - 12

 

 

 

a

 

a + 4

 

Montrez que cette somme est plus petite que 3a.

 

70. Fleurs de Clara
Tout en pensant à son jardin, Clara veut placer chacun des nombres de 1 à 11 dans les cellules ci-après. La somme doit être la même dans chacune des rangées de trois cellules reliées par une droite.

Montrez que la somme dans chacune des rangées ne peut pas être 15.

 

71. Passage de la vie
Dans cette addition, chaque lettre représente un chiffre différent.

    P A S

    + S A

       G E

     V I E

Montrez que A ne peut pas être égal à 5.

 

72. Suite de Roxanne
Roxanne a écrit les cinq premières lignes d’une suite en un triangle comme ci-après. Le premier terme est 2 et chaque autre terme est augmenté de 3. Elle continue la suite selon le même modèle.

                 2

              5   8

        11   14   17

     20   23   26   29

  32   35   38   41   44

Montrez que la somme des nombres de chaque ligne est supérieure au cube du rang de la ligne.

 

73. Triangle de Violette
Violette a tracé un grand triangle partagé en quatre petits triangles. Elle veut écrire chacun des nombres de 1 à 6 dans les cases des sommets. À l’intérieur de trois petits triangles, la somme des sommets est indiquée.

Montrez que, peu importe la façon de répartir les nombres, le 6 est toujours dans la position Y.

 

74. Pairs de Pauline
Pauline fait la somme des nombres pairs à partir de 2. Ainsi, elle a écrit :

2 + 4 = 6

2 + 4 + 6 = 12

2 + 4 + 6 + 8 = 20

Montrez que la somme des nombres consécutifs pairs à partir de 2 ne peut pas être 654 324.

 

75. Nonantie de Désiré
Désiré doit choisir neuf nombres dans ce tableau de telle sorte que leur somme soit 2000.

181

189

184

195

188

203

456

182

198

185

204

186

Montrez qu’il existe exactement trois triplets de nombres dont la somme est 2000.

 

76. Ber d’Albert
Albert rêve à son berceau. Il veut écrire les nombres de 1 à 8 dans les cases de ce ber. La somme doit être la même dans chaque rangée de trois ou de quatre cases reliées par une droite.

Montrez que la somme des nombres de chaque rangée ne peut pas être 14.

 

77. Coupure de Major
Major a placé six rangées de boules en un triangle comme ci-après. Il a tracé une droite entre la quatrième et la cinquième rangée. La partie supérieure contient 10 boules et l’inférieure 11 boules.

Montrez qu’un triangle de boules ne peut pas être partagé en deux parties égales lorsque le nombre de rangées est de la forme 4m + 1.

 

78. Oursons d’Alice
Alice fabrique neuf oursons et les numérote de 1 à 9. Elle dit à Aimée :

- Dispose les oursons en un triangle comme ci-après pour que la somme des numéros soit 18 sur chaque côté du triangle.

Montrez qu’il est impossible de disposer les oursons.

 

79. Années triples
Zoé presque centenaire s'inspire de trois années du 21e siècle pour écrire cette expression :

200233 + 200533 + 200833

Montrez que cette expression est un multiple de 3.

 

80. Cellules de Laure
Laure désire placer chacun des nombres de 1 à 9 pour que la somme soit 13 dans chaque rangée de deux, de trois ou de quatre cellules reliées par une droite.

Montrez qu’une seule disposition est possible. Le fait de pouvoir intervertir des nombres dans une même rangée ne constitue pas une nouvelle disposition.

 

81. Trios généreux
Soit a, b, c et d quatre entiers où b = a + 1 et d = c + 1.

Montrez que, pour chaque valeur de a, il existe un trio (a, b, c) pour lequel a2 + b2 + c2 = d2.

 

82. Totaux différents
Jean-Nil écrit chacun des nombres de 1 à 9 dans les deux carrés ci-après. Il trouve d’abord la somme de chacune des rangées horizontales, verticales et diagonales ; puis, il fait le total des huit rangées pour chaque carré. Le total pour le premier carré est 119 et celui pour le deuxième carré est 121.

9

4

8

 

1

6

2

2

1

5

 

8

9

5

3

6

7

 

7

4

3

Montrez que la différence des totaux est 2, sans faire l’addition rangée par rangée.

 

83. Histoire marine
Le marin Jules a écrit l’addition ci-après. Chaque lettre représente un chiffre différent.

     M A R I N

   + B U T I N

  B A T E A U

Montrez que M ne peut pas avoir une valeur inférieure à 9.

 

84. Nobles billes
Royal a une bille et il reçoit chaque jour trois fois le nombre de billes du jour précédent plus 1. Par exemple, il reçoit 1, 4, 13, 40, 121, ... billes. Majesté a aussi une bille et elle reçoit chaque jour trois fois le nombre de billes du jour précédent plus 2. Par exemple, elle reçoit 1, 5, 17, 53, 161, ... billes.

Montrez que, pour n’importe lequel jour, Majesté recevra autant de billes que Royal pendant deux jours consécutifs, soit ce jour-là et le précédent.

 

85. Pentagone de Carl
Carl dessine le pentagone ci-après. Il écrit cinq nombres dans les triangles intérieurs. Il additionne les nombres de chaque couple de triangles adjacents et écrit les résultats sur les sommets du pentagone. Parmi les nombres de 1 à 10, le 4 apparaît deux fois et le 8 est absent. Maintenant, Carl veut écrire chacun des nombres de 1 à 10 dans cette figure.

Montrez que cette tâche est impossible à réaliser.

 

86. Écureuil éveillé
En vue de l'hiver, les écureuils Roussi et Rousso ont fait des provisions de noix. Roussi qui est moins volage a travaillé neuf jours de plus que Rousso. Chacun a récolté le même nombre de noix par jour que le nombre de jours affectés à la cueillette. Ainsi, si l'un a travaillé pendant 32 jours, il a récolté 32 noix par jour. Après avoir fait le décompte des deux récoltes, Roussi dit à Rousso :

- Nous avons ensemble 1318 noix.

- C'est impossible, de reprendre Rousso sur-le-champ.

Montrez que les deux écureuils n’ont pas pu cueillir 1318 noix.

 

87. Pommes de Samuel
Samuel place devant lui trois paniers contenant chacun 144 pommes. Il distribue en parts égales le contenu de l’un entre neuf enfants, de l’autre entre 11 enfants et du troisième entre 13 enfants. Il reste deux pommes qui ne sont pas dans même panier.

Montrez que 144 est la plus petite quantité qui permet un reste de deux pommes.

 

88. Rames de Raymond
Raymond qui a eu une mauvaise expérience sur l’eau a écrit l’addition suivante. Chaque lettre représente un chiffre différent.

  R A M E

+ R I M A

L I M B E

Montrez que I ne peut pas être impair.

 

89. Carrés d’Émile
Émile écrit les égalités suivantes.

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

Montrez que la somme des nombres impairs consécutifs à partir de 1 est un carré.

 

90. Un H croisé
Henriot a dessiné la figure ci-après. Il veut placer les chiffres de 1 à 7 pour que la somme soit 13 dans chacune des cinq rangées de trois cellules reliées par une droite.

Montrez que la somme, dans chaque rangée, ne peut pas être 13.

 

91. Foin de Clovis
Une araignée se promène sur un treillis de brins de foin. Elle part du point supérieur gauche et doit se rendre à l’autre point. Après avoir passé par un brin, elle le fait exploser. Son maître Clovis veut qu’elle passe par 16 brins de foin.

Montrez que cette recommandation est impossible à réaliser.

 

92. Suite au cube
En pensant aux cubes, Réjeanne a écrit la suite ci-après. Le cube de 4 est 64. Elle divise ce nombre par 9 ; le reste est 1. Le cube de 7 est 343. Elle divise ce nombre par 9 ; le reste est 1.

1, 4, 7, 10, 13, ...

Montrez que, si l'on élève chaque terme de cette suite au cube et si l'on divise le résultat par 9, le reste de la division est toujours 1..

 

93. Cour d’école
Dans une cour d’école, il y a neuf balançoires disposées trois par trois. On demande aux 108 élèves d’occuper les balançoires. Le nombre d’élèves doit être le même horizontalement, verticalement et en diagonale. Chaque balançoire reçoit un nombre différent d’élèves. Celle la moins occupée en reçoit cinq.

Montrez qu’aucune balançoire ne peut recevoir plus de 19 élèves.

 

94. Boîtes d’Antoine
Antoine a décidé de placer les nombres de 1 à 11 dans cette figure de telle manière que la somme est 17 dans chaque rangée de trois boîtes reliées par une droite.

Montrez que la boîte A ne peut accueillir que 2.

 

95. Dominos de Rachel
Rachel ampute les cases des quatre coins d’une grille 5 × 5. Elle veut placer des dominos sur cette grille tronquée.

 

     

 

 

     

 

 

     

 

 

     

 

 

     

 

Montrez qu’elle peut y déposer au maximum neuf dominos.

 

96. Étoile de Luce
Luce a écrit les nombres de 1 à 12 dans l’hexagramme de gauche. La somme des nombres dans chaque rangée de quatre cases est 26. Luce prend la suite des nombres impairs comme 1, 3, 5, 7, etc. Elle écrit ces entiers dans la seconde figure en respectant l’ordre numérique de la première.

Montrez que, dans le second hexagramme, la somme des quatre nombres de chaque rangée est la même.

 

97. Solitaire d’Étienne
Étienne trace une grille 4 × 4. Il y place deux jetons bleus (B), deux jetons noirs (N) et deux jetons rouges (R), comme il est montré dans la figure de gauche. Il déplace les jetons un à un. Il les fait sauter horizontalement, verticalement ou obliquement par-dessus un autre pour se poser sur une case libre et adjacente au jeton sauté. À la fin, il doit obtenir la figure de droite.

R

N

R

N

 

 

 

 

 

 

B

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®

 

R

N

 

 

 

 

 

 

B

R

N

B

Montrez qu’il est impossible d’obtenir la figure de droite.

 

98. Triangle d’Alberte
Dans les cercles de ce triangle, Alberte veut placer chacun des nombres de 1 à 6 pour que la somme soit la même sur chaque côté du triangle..

Montrez que, peu importe la somme de chaque rangée, la somme des nombres des coins est toujours un multiple de 3.

 

99. Noix d’Isaac
Isaac a acheté 7 635 noix qu’il veut répartir en deux sacs. Chacun doit contenir un nombre carré de noix.

Montrez qu’il est impossible de partager les noix en deux carrés.

 

100. Cailloux de Tristan
Tristan a divisé son parterre en 15 parcelles comme ci-après. Dans chaque parcelle, sauf celles du bas, le nombre de cailloux doit être égal au total des cailloux qui se trouvent dans les deux parcelles inférieures. Émilie a placé 3, 4, 5, 6, 7 cailloux à la base, mais pas dans cet ordre. Elle a ainsi disposé 88 cailloux au sommet. Elle voudrait avoir, à la base, au moins une autre suite d’entiers consécutifs, tout en ayant 88 cailloux au sommet.

Montrez qu’il y a une seule autre suite d’entiers consécutifs qui permet de disposer 88 cailloux au sommet.